LOS NÚMEROS RACIONALES

LOS NÚMEROS

RACIONALES

OBJETIVOS:

• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

• Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

OBJETIVOS:

• Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.

• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.

1. Números racionales (Q)

1.1 Propiedades de los racionales

1.2 Operatoria en los racionales

1.3 Transformaciones de números racionales

1.4 Comparación de fracciones

2. Números irracionales (Q*)

Contenidos

3. Números reales ( IR )

4. Números imaginarios ( II )

5. Números complejos ( C )

1

.NÚMEROS RACIONALES (

Q

)

Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:

a

b / a y b son enteros, y b es distinto de cero

Q

-

;

;

15

,0

Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN), 3 es Cardinal (3 IN₀), 3 es Entero (3 Z), y como 3 = , 3 es racional (3 3

Q







IN IN





Z Q



Todo número entero es racional.

1.1 Propiedades de los racionales

• Amplificar y simplificar fracciones

Ejemplo:

2∙ 3∙

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo

número.

6 6

Al amplificar la fracción por 6 resulta:2 3

= 12 18

• Las fracciones se pueden clasificar en:

Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.

Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.

Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.

Ejemplo:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

3

3 = 915

Al simplificar la fracción por 3 resulta:27 45

27 : 45 :

• Inverso multiplicativo o recíproco

de una fracción

El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9

es: 9 2

1.2 Operatoria en los racionales

• Suma y resta

Ejemplos:

1. Si los denominadores son iguales: 4

15 + 715 = 11 15

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: 2 15 + 745 = 2∙3 + 7∙1 45 = 6 + 7 45 = 13 45 4 15 - 715 = -3 15 y

3. Si los denominadores son primos entre sí: 5 12 + 718 = 5∙3 + 7∙2 36 15 + 14 36 = = 29 36

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): 4 5 + 78 = 4∙8 + 5∙7 40 32 + 35 40 = = 67 40

-4 5 ∙ 87 = -32 35 =

• Multiplicación:

-• División:

-• Número Mixto:

8

1.3 Transformación de números racionales

• De fracción a decimal:

Ejemplo:

Se divide el numerador por el denominador.

7

4 = 1,75

• De decimal finito a fracción:

Ejemplo:

El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.

100 175 = 1,75 = 7 4 25∙7 25∙4 =

• De un número decimal periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.

2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

Ejemplo 1: _{2,35 = 235 – 2 = 233}

99 99

Ejemplo 2: _{0,376 = 376 – 0 = 376}

999 999

Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

3,21 = 321-32 =

289

90

90

• De un número decimal semi periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.

Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

1.4 Comparación de fracciones

• Multiplicación cruzada:

Ejemplo:

Al comparar 13 (Multiplicando cruzado) 15 9 10 y 13 ∙ 10 y 15 ∙ 9 130 y 135 Como 130 < 135, entonces: 13 15 9 10 <

• Igualando denominadores:

Al comparar _y (Igualando denominadores)

13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 y 52 60 35 60 y Como 52 > 35, entonces 13 15 7 12 >

• Transformar a decimal:

Al comparar y (Transformando a decimal) 13 15 = 0,86666666… 7 12 = 0,58333333… 13 15 7 12 > Como 0,86 > 0,583 , entonces

• Igualando Numeradores:

Ejemplo:

Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130)

10 3 13 4 y 10·13 3·13 13·10 4·10 y 130 39 130 40 y Por lo tanto, 10 3 13 4 es mayor que

Ejemplo: En la secuencia: 6 , 5 16 , 5 26 , 5 36 , ... 5

¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? 1 ,₅

De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 .

5

Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término. 65₅ 1 ,₅ 65 = 13 5 Es decir: Respuesta:

1.5 Secuencia Numérica

Observación:

La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: 1 + 1 , 5 1 + 3 , 5 1 + 5 , 5 1 + 7 , 5 1 + 13… 5 ... , 1° 2° 3° 4° ... , 7°…

Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,

¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?

Respuesta:

Es , más un número impar, lo que se expresa como: 1 5

1 + (2n - 1) 5

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).

2. Números Irracionales (

Q*

)

Q* =

Q

U

Q*=

3. Números Reales (

IR

)

Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.

IR = Q U Q*

IN IN



Z Q IR





4. Números imaginarios (

II

)

IR

U

II = O

Ejemplo:

Raíces de índice par y parte subradical negativa:

,

2

_

,

4





25

,



16

5. Números complejos (

C

)

Es el conjunto formado por el producto cartesiano entre los números reales y los números imaginarios.

Diagrama representativo:

IN IN



Z Q IR C





II C



Sinteticemos en el siguiente

mapa conceptual

Conjunto Q

Propiedades

y comparación Operatoria Transformaciones

Decimal finito a fracción Decimal periódico a fracción Decimal semiperiódico a fracción Adición Sustracción Multiplicación División Simplificación Amplificación Fracciones equivalentes