x + 4 y + 6 z = 0 Solución: 1 2 2 2

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(1)Ejemplos Ejemplo 1: Las matrices simplifican el trabajo al resolver un sistema de ecuaciones lineales, en efecto, como puede observarse en el método de Gauss-Jordan, el nombre de las incógnitas no juega un papel importante en la solución, lo que realmente son importantes son los números y las posiciones, de ahí la utilidad del lenguaje matricial. Resolver el siguiente sistema  x + 2 y + 2z = 2  3x − 2 y − z = 5    2 x − 5 y + 3z = − 4  x + 4 y + 6 z = 0 Solución: 1 2 2 2    3 − 2 − 1 5  La matriz ampliada queda:  . Haciendo operaciones elementales entre filas 2 − 5 3 − 4   1 4 6 0   obtenemos:. 1 2 2 2  1 2 2 2  1 2 2 2  ⇒       ⇒ − 8 − 7 −1  3 − 2 − 1 5  F2 → − 3F1 + F2  0 − 8 − 7 − 1  F → 9 F − 8F  0 2 3  2 − 5 3 − 4  F3 → −2F1 + F3  0 − 9 − 1 − 8  3 0 0 − 55 55      F4 → F2 + 4 F4   1 4  F4 → − F1 + F4  0  0  6 0 2 4 − 2 0 9 − 9        1 2 2 2 ⇒   F3 → (− 1 / 55) F3  0 − 8 − 7 − 1 . De aquí concluimos que la única solución al sistema es: z = − 1 ;  0 F4 → (1 / 9) F4 0 1 − 1    0  F4 → F3 − F4 0 0 0   y = 1 ; x = 2 , es decir: S = {( 2 , 1 , − 1 )} .. Ejemplo 2:  1  2 A − 5B =  0  Hallar las matrices A y B deducidas de:   2  − A + 3B =   3 Solución.. − 2 1  1 0.

(2)  1 − 2   2 A − 5B =   0 1   Tenemos:  ; sumando:  4 2   − 2 A + 6B =   6 0  . 1 − 2   4 2   5 0  B= +  = , 0 1   6 0   6 1 . de la segunda ecuación: 5 0  2 1 13 A = 3 − = 6 1  3 0 15. − 1 . 3. Ejemplo 3: 0 1 1 3  2 2 3  5 3   3 ; B =  Dadas las matrices: A = 2 ; C =  ; D=  ; E =   , hallar:  0 − 2 − 1 1 0 2 1     3 1 a) ABC b) AB y BA Solución. a) 3 1 − 1 2     ABC = ( AB )C =  2 0   =  4   − 1    3 7 − 1. 10 + 6 6 + 3 16 9 10 + 3 15 + 0 13 15 = b) AB =  ; BA =    = .  5 + 0 3 + 0  5 3  4 +1 6 + 0   5 6  NOTA: Como podrá observarse: AB ≠ BA .. Ejemplo 4: Dadas. las. matrices:. 1 2 0  A = 3 0 1 ; 2 1 1. 1 1 1  B =  3 1 2 ; 0 1 0. 2 1 0 C = 0 − 2 1 , calcular la matriz: 1 2 1. 2 At + B −1 − C . Solución: Primero calcula mos B −1 por medio de operaciones elementales entre filas. Disponemos nuestros cálculos por medio de la siguiente matriz por bloques..

(3) 1 1 1 1 0 [B I ] =  3 1 2 0 1 0 1 0 0 0 1 − 1 ⇒ F1 → F1 + F3 0 − 2  F2 → F2 − F3 0 0  ⇒ F1 → − 0.5F1 F2 → −0.5 F2 F3 → − F3. 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 ⇒ ⇒      0 0 − 2 − 1 − 3 1 0 0 − 2 − 1 − 3 1 0   F2 → − 3F1 + F2 F3 → F2 + 2F3 0 1 0 0 − 1 − 3 1 2 1 0 0 0 1 0 −2 1 0  − 2 0 0 4 − 2 − 2 ⇒    0 0 0 − 2 0 −2 0 0 0 − 2  F1 → − 2F1 + F2  0 − 1 − 3 1 2  0 −1 − 3 1 2 . 1 1 0 0 − 2 1 1  − 2 1   −1  0 1  . Por lo tanto: 0 1  . Concluimos que: B =  0 0 1 0 0  0 0 1 3 − 1 − 2  3 − 1 − 2. 2A + B t. −1. 1  2 1 0 − 2 6 5  2 6 4 − 2 1    −C = 4 0 2 + 0 0 1  − 0 − 2 1 =  4 2 2         0 2 2  3 − 1 − 2 1 2 1  4 − 1 − 1. Ejemplo 5: Resolver la ecuación: xA + I = B , siendo:  1 0 0 − 1 1 0 1; I = A = 1  ; B =    2 2 3 2   0 1 Solución: De la ecuación dada: xA = B − I ; xAA −1 = ( B − I ) A −1 . Aplicando operaciones elementales entre filas a la matriz A ( ver ejemplo 4 ), hallamos que: 0 1   A −1 =  , − 1 1    4 2  0  − 3 / 4 − 1 / 2  − 1 − 1   1 así: x = ( B − I ) A −1 =   = .  3 − 1/ 2  − 1/ 4 1 / 2  25 / 8 − 1/ 4. Ejemplo 6:  1 1 1  1 1 0 1 2 2  x1 x 2 x3          Sean A =  0 1 1 ; B =  1 1 1  ; C =  3 1 0  y X =  x4 x 5 x6  . Si I 3 + ABX = 2C − A .  0 0 1  0 2 1 1 1 1 x         7 x8 x9  a) Expresar la ecuación matricial anterior como un sistema de 9 ecuaciones para las incógnitas: x1 , x 2 ,..., x9 . b) Encontrar ( si es posible ) los valores de x1 , x 2 ,..., x9 . Solución:.

(4)  2 4 2 0 3 3      AB =  1 3 2  ; 2C − A − I 3 =  6 0 − 1 , a) Tenemos: además: 0 2 1 2 2 0      ABX = 2C − A − I 3 el sistema matricial anterior es equivalente a:. luego,. como.  2 4 2  x1 x2 x3   0 3 3        1 3 2  x 4 x5 x 6  =  6 0 − 1 ó  0 2 1  x x x   2 2 0    7 8 9    2 x1 + 4 x 4 + 2 x7 2 x 2 + 4 x5 + 2 x8 2 x3 + 4 x6 + 2 x9   0 3 3      x2 + 3 x5 + 2 x8 x3 + 3 x6 + 2 x9  =  6 0 − 1  ó  x1 + 3x4 + 2x 7   2 2 0  2 x 4 + x7 2 x5 + x8 2 x6 + x9     2 x1 + 4 x4 + 2x 7 = 0   2 x2 + 4 x 5 + 2 x8 = 3  2 x3 + 4 x6 + 2 x 9 = 3   x1 + 3x4 + 2x 7 = 6   x2 + 3 x5 + 2 x8 = 0  x + 3x + 2x = −1 6 9  3  2 x4 + x 7 = 2   2 x5 + x8 = 2 2 x6 + x9 = 0  2 4 2   b) Usando operaciones elementales entre filas puede mostrarse que la matriz AB =  1 3 2  0 2 1   1 / 2 0 − 1    −1 tiene inversa, de hecho: ( AB ) = 1 / 2 − 1 1  . Como: ABX = 2C − A − I 3 , y ( AB ) −1  − 1 2 − 1   existe, deducimos que: 1/ 2 0 − 1 0 3 3   − 2 − 1 / 2 3 / 2       −1 X = ( AB) ( 2C − A − I 3 ) = 1/ 2 − 1 1  6 0 − 1 =  − 4 7 / 2 5 / 2  . La conclusión  − 1 2 − 1 2 2 0   10 −5 − 5     . es inmediata: x1 = −2 ; x2 = −1 / 2 ; x3 = 3 / 2 ; x 4 = − 4 ; x5 = 7 / 2 ; x6 = 5 / 2 ; x 7 = 10 ; x8 = −5 ; x9 = −5 .. Ejemplo 7: Sea N una matriz tal que N k +1 = 0 , y sea T = I + N + N 2 + N 3 + ... + N k . Determinar un método que proporcione el cálculo de T a partir de la matriz inversa de alguna matriz. Aplicar esta idea para encontrar T = I + N + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 , si:.

(5)  0 2 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0   N = 2 0 0 010 2    0 0 0 0 0 01   0 2 01 3 0 0    1 1 0 0 0 0 0  (Nota: Este método puede ser aplicado en la actividad 2: Administración de inventarios) . Solución: Consideramos: T ( I − N ) = ( I + N + N 2 + L + N k −1 + N k )( I − N ) = I + N + N 2 + L + N k −1 + N k − N − N 2 − N 3 − L N k −1 − N k − N k +1 = I − N k +1 = I − 0 = I Esto significa que T ( I − N ) = I , y por ende se concluye que: T = ( I − N ) −1 . Para el caso particular de la matriz N que se da arriba, tenemos: 1 − 2 0 0 0 0 0    0 1 0 0 0 0 0  0 0 1−3 0 0 0    I − N =  − 2 0 0 1 −1 0 − 2 ,    0 0 0 0 1 0 −1   0 − 2 0 −1 − 3 1 0     −1 −1 0 0 0 0 1  1 2 0 0 0 0 0    0 1 0 0 0 0 0  15 39 1 3 3 0 9    de aquí, al obtener la inversa de I − N , hallamos: T =  5 13 0 1 1 0 3  . 1 3 0 0 1 0 1     8 24 0 1 4 1 6    1 3 0 0 0 0 1 . Ejercicios 0  0 1. Sea A =  0  0 . 1 0 0  0 1 0 , ¿ cuál es el valor de An para n ≥ 4 ? 0 0 1  0 0 0 .

(6) Solución: La matriz igual a cero 1 5 2    2. Dada la matriz: A = 0 3 − 1 , determinar la matriz inversa A −1 , y comprobar que 4 1 0  AA −1 = A −1 A = I .. 2 − 11  1 −1  − 4 − 8 1  . Solución: A =  43  − 12 19 3  −1. 1 2 0 1 1 1     3. Dadas las matrices A = 3 1 2 y B = 0 1 0 , calcular la matriz: A 2 B −1 . 1 0 3  3 1 2 3 − 2 3 8 −1 0  Solución:    19 − 12 − 5  0 1/ 2 0  0 1 0    0  y M = 1 0 0 . 4. Dadas la matrices: A = 1 / 2 0  0 0 0 1 0 1 / 2 1 1 1 1 a) Mostrar que: A = M ; A 2 = I ; A 3 = M ; A 4 = I . 2 4 8 16 b) Hallar la suma: I + A + A 2 + A3 + L + An + L 4 / 3 2 / 3 0  Solución: (b) 2 / 3 4 / 3 0 .  0 0 2.  1 − 1 5 0 1 − 2     5. Dada la matriz simétrica A = − 1 2 0 , y la matriz C = 3 1 1  , encontrar la matriz:  5 0 3 1 0 3  t B = CAC , ¿ es simétrica?  14 − 37 − 29  61  , como puede observarse es simétrica. Solución: B =− 37 38  58  − 29 61 0 0  1   6. Dada la matriz C = 0 1/ 2 1 / 2  , calcular la matriz inversa, ¿ es ortogonal? 0 − 1 / 2 1 / 2  0 0  1 −1   Solución: C = 0 1/ 2 − 1/ 2  , como puede verse con facilidad C es simétrica ya que: 0 1/ 2 1 / 2  −1 t C =C ..

(7) 7. Usar el concepto de matriz ampliada para resolver los sistemas 2 x + 3 y − z = 1  x− y −z =2  a)   x − y − 2z = 1  x + y − 3z = 0 x + 2y − 4z = 3  x − y − z = −3  b)   x − 2 y = −5 2 x + y − 5z = 0. Solución: a) El sistema es incompatible; b) El sistema es compatible con una infinidad de soluciones, de hecho: S = {( 2 a − 1, a + 2 , a ) : a ∈ ℜ} 8. Calcular el valor de “a” para que el siguiente sistema de ecuaciones, admita soluciones no nulas y calcularlas. 3x + 2 y − 5z − 10t = 0  6x + y − z − 5t = 0    3x − y + 3z + 4t = 0  x + 2 y + z + at = 0 Solución: a = − 10 / 3 ; S = {( t / 3, 2 t , − t , t ) : t ∈ ℜ} ..  x + 4 y + 3 z = 12  9. a) Determinar la matriz A de coeficientes del sistema:  − x − 2 y = −12 . ¿ Existe A−1 ? Si  2 x + 2 y + 3z = 8  existe, resolver el sistema usando A −1 . 4 3 1  2 1 3 4 − 2 3       b) Sean las matrices: A = − 1 − 2 0 , B =  3 1 4 , C = 1 0 2 . Mostrar que A tiene  2 − 2 4 5 0 3 5 2 3 inversa y encontrarla. Después resolver la ecuación matricial: A −1 XA + C = B . 4 3 1 − 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2    −1   Solución: a) A =  − 1 − 2 0 , A =  1/ 4 − 1 / 4 − 1 / 4 . De X = A −1 B , hallamos: 2 3 1/ 2 1/ 6   2  1/ 6  4  X =  4  . − 8 / 3 − 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2  c) La matriz A es la misma que la del inciso A, luego A =  1/ 4 − 1 / 4 − 1 / 4 . 1/ 2 1/ 6   1/ 6 −1.

(8) 1.5 − 1.166   3.833   Despejando a X tenemos que: X = A( B − C ) A ≈ − 0.9166 0.25 − 0.4166 .  6.4166 2.25 − 5.0833 −1. 1 2 1 1 2 3 1 10. Sean las matrices: E =  ; F =   ; G = [2] ; R =  ; S =   ; T = [1]; y las   3 4 0 4 5 6 1 E F  R S  matrices por bloques A =   yB =  . Calcular el producto AB usando la 0 G 0 T multiplicación por bloques.  9 12 15 4    Solución: AB = 19 26 33 7  0 0 0 2 . Actividades Actividad 1: Programa de quema de calorías Carlos pesa 72 kilogramos y desea perder peso mediante un programa de dieta y ejercicio. Después de consultar la tabla 1 elabora un programa de ejercicio en la tabla 2. ¿Cuántas calorías quemará todos los días si sigue este programa? TABLA 1: Calorías quemadas por hora Peso ( en kilogramos) 62 65 69 72. Caminar 2 millas/ h ( caminadora ) 213 225 237 249. Tipo de ejercicio Correr 5.5 millas/h Andar en bicicleta (caminadora) (fija) 5.5 millas/h 651 688 726 764. 304 321 338 356. TABLA 2: Horas por día asignadas a cada actividad Programa de ejercicio Caminar Correr Andar en bicicleta Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes. 1.0 0.0 0.4 0.0 0.4. 0.0 0.0 0.5 0.0 0.5. 1.0 0.0 0.0 0.5 0.0. Jugar tenis (moderado) 420 441 468 492. Jugar tenis 0.0 2.0 0.0 2.0 0.0. Apoyo para el profesor La información perteneciente a Carlos está localizada en el renglón 4 de la tabla 1. Esta información se puede representar con una matriz X de 4 x 1. La información de la tabla 2 se puede representar por una matriz A de 5 x 4, así la pregunta se responde calculando el producto AX..

(9)  1.0    0.0   AX =  0.4   0.0    0.4 .  605.0  Lunes 0 .0 1 .0 0 .0        0.0 0.0 2.0  249  984.0  Martes        764   481.6  Miércoles 0.5 0.0 0.0  =     356    492    0.0 0.5 2.0   1162.0  Jueves       0.5 0.0 0.0   481.6  Viernes. Actividad 2: Administración de inventarios La administración de inventarios es un problema complejo, que requiere métodos cuantitativos para lograr resultados óptimos. Los inventarios insuficientes reducen los costos financieros, pero causan, generalmente, interrupciones en el proceso de producción. Los inventarios excesivos permiten mantener altos niveles de producción y satisfacer oportunamente la demanda, pero implican un costo elevado de inmovilización financiera. El control de inventarios de materias primas y productos intermedios, oscila entre un extremo y otro, de abundancia y escasez, sometido a las presiones opuestas por las finanzas y la producción. Existen métodos matriciales para la programación y el control de los inventarios que permiten evitar ambos extremos. En la terminología usual de producción, los insumos más básicos se conocen como partes ( nivel cero ), los ensambles de primer nivel requieren sólo partes, los ensambles de segundo nivel son aquellos que requieren partes y ensambles de primer nivel, un ensamble de tercer nivel requiere partes y ensambles de primer y segundo nivel, y así sucesivamente. En la siguiente tabla de doble entrada se tienen en las columnas los productos finales, y en las filas las partes y ensambles que se utilizan para producirlos. Los números de la tabla representan los requerimientos de partes y ensambles necesarios ( filas ) para fabricar una unidad de producto final ( columnas ) Productos A B C D E F G. Insumos A 0 2 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 0 0 C 0 0 0 3 0 0 0 D 2 0 0 0 1 0 2 E 0 0 0 0 0 0 1 F 0 2 0 1 3 0 0 G 1 1 0 0 0 0 0 Por ejemplo, la columna del producto A indica que para ensamblar una unidad de A se requieren 2 unidades de D y una unidad de G; la columna del producto B indica que en el ensamble de ese producto se requieren 2 unidades de A, 2 de F y 1 de G. Las columnas C y F son vectores nulos ya que tanto C como F son partes ( no requieren de otras partes )..

(10) A la tabla anterior se le conoce como matriz de ensamble, ya que cada elemento de la misma indica qué y cuánto debe utilizarse para fabricar una unidad de producto final. En otras palabras, en la matriz  0 2 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0   N = 2 0 0 010 2  0 0 0 0 0 01     0 2 01 3 0 0    1 1 0 0 0 0 0  cada elemento n ij representa el número de ensambles tipo i que se requieren para producir un ensamble ( producto ) tipo j. NOTAS: a) Sabemos que C y F son partes, esto es, no requieren ensambles ni partes para su elaboración. En la matriz N, lo observamos en el hecho de que las columnas respectivas son vectores nulos. b) B es un ensamble del más lato nivel, o sea que no se utiliza como insumo de otro ensamble más complejo. En la matriz N lo observamos en el hecho de que la fila respectiva es un vector nulo. c) El sistema no debe presentar ciclos para que su solución sea relativamente simple; esto es, si el producto A requiere del producto B directa o indirectamente, el producto B no debe requerir del producto A. En la matriz N lo observamos en el hecho de que si nij ≠ 0 , n ji = 0, y de que los elementos de la diagonal principal son todos nulos. El problema: Precisar un método para determinar el número total de partes o ensambles i que deben ser fabricadas o ensambladas en algún nivel del proceso, para obtener una unidad del producto j. Apoyo para el profesor: Empecemos, por ejemplo, respondiendo la siguiente pregunta: ¿cuántas unidades de la parte F se requieren en el segundo nivel para producir una unidad del producto B al nivel cero? El razonamiento es el siguiente: Los requerimientos directos ( primer nivel ) para una unidad del producto B como se observa en la segunda columna de la matriz N, son: 2 unidades del producto A, 2 unidades del producto F y 1 unidad del producto G. A su vez , cada unidad de A no requiere directamente de ninguna parte F ( n6 ,1 = 0) ; F no requiere de F ( n6 , 6 = 0) y cada unidad G tampoco requiere directamente de F ( n6 , 7 = 0) . Esto significa que al segundo nivel, no se requiere de ninguna parte F. La forma operativa de obtener este resultado es: (número de partes F necesarias para una unidad A: n6 ,1 ) x (número de unidades de A requeridas para cada unidad B: n1, 2 ) + (número de partes F necesarias para una unidad F: n6 , 6 ) x (núme ro de unidades F requeridas por cada unidad B: n6 , 2 ) + ( número de partes F necesarias para una unidad G: n6 , 7 ) x ( número de unidades G requeridas por cada unidad B: n7 ,2 ) = n6,1 x n1, 2 + n6, 6 x n 6, 2 + n6, 7 x n7 ,2 = ( 0 ) ( 2 ) + ( 0 ) ( 2 ) + ( 0 ) ( 1 ) = 0. Más generalmente, el cálculo dl número de partes F necesarias en el segundo nivel para producir una unidad del producto B, se obtiene mediante el producto matricial siguiente:.

(11)  2 0    0    [0 2 0 1 3 0 0]0  = ( 0)( 2) + (2)(0) + (0)(0) + (1)( 0) + (3)( 0) + ( 0)( 2) + (0)(1)00 0     2 1    que corresponde al producto del sexto vector fila de N por el segundo vector columna de N ( i = 6; j = 2 ). Éste es el número de partes F necesarias en el segundo nivel para producir una unidad del producto B. Este mismo procedimiento nos sirve para calcular todos los requerimientos de ensambles y partes necesarias al segundo nivel para elaborar una unidad de cada producto al nivel cero. Así podemos definir l matriz P = N 2 cuyos elementos pij representan el número de requerimientos i necesarios al segundo nivel par producir una unidad del producto j al nivel cero. 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 3 0 6    P = N 2 = 2 6 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 0    2 0 0 010 5    0 2 0 0 0 0 0 Comentarios: a) Cada columna de la matriz P nos indica los requerimientos que corresponden a un producto dado. En la primera columna leemos los requerimientos para producir una unidad de A, en la segunda columna los necesarios para producir una unidad de B y así sucesivamente hasta la última columna que resume los correspondientes a una unidad de G. b) En la matriz N habíamos visto que los vectores columnas de C y F son nulos desde el primer nivel ( son partes ). En la matriz N2 se observa que también el vector columna D es nulo, en razón de que el ensamble D tiene requerimientos sólo de primer nivel. c) La primera columna de esta matriz P nos indica que al segundo nivel se requieren 6 unidades de C, 2 unidades de D, 1 unidad de E y 2 unidades de F, para producir una unidad de A. La segunda columna indica que se requieren 6 unidades de D, 1 unidad de E y 2 unidades de G para producir una unidad de B. d) Los vectores fila nulos de la matriz P ( primero y segundo ) indican, que al segundo nivel no se requieren como insumos los productos A y B. Con este mismo sistema de multiplicación se obtienen los requerimientos de materiales al tercero, cuarto y quinto niveles, así:.

(12) 0 0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0   6 18 0 0 0 0 3   Q = N 3 = 1 5 0 0 0 0 0  0 2 0 0 0 0 0    5 9 0 0 0 0 1    0 2 0 0 0 0 0  Los elementos q i , j de la matriz Q representan el número de requerimientos i necesarios al tercer nivel para producir una unidad del producto j al nivel cero. Asimismo: 0 0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0   3 15 0 0 0 0 0    R = N 4 = 0 2 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0  1 11 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0   S = N 5 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 2 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 Los elementos ri j ; si j de las matrices R y S representan el número de requerimientos i necesarios al cuarto y quinto niveles respectivamente, para producir una unidad del producto j al nivel cero. Finalmente: 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   N 6 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 matriz nula, que nos indica que no hay más requerimientos de materiales para el nivel sexto y posteriores. Ahora podemos determinar los requerimientos totales del proceso de producción ( para todos los niveles). Al nivel cero se requiere una unidad de cada producto, lo que se representa con la matriz I = N 0 . Al primer nivel los requerimientos se representan por la matriz N, al segundo nivel por la matriz N 2 , al tercer nivel por la matriz N 3 , etc..

(13) Si el proceso de producción tiene k niveles, la matriz N k +1 será siempre nula, como hemos observado en el caso anterior donde N 6 es la matriz cero. La matriz de los requerimientos totales se obtiene entonces así: T = I + N + N 2 + N 3 + ... + N k Como puede verse ( con algo de paciencia ), para nuestro caso: 1 2 0 0 0 0 0    0 1 0 0 0 0 0  15 39 1 3 3 0 9    T =  5 13 0 1 1 0 3  1 3 0 0 1 0 1     8 24 0 1 4 1 6    1 3 0 0 0 0 1  Los elementos t i j de la matriz T representan al número total de partes o ensambles que deben ser fabricadas o ensambladas en algún nivel del proceso, para obtener una unidad del producto j. Los valores del segundo vector columna de la matriz, que corresponden al producto B, pueden verificarse revisando la tabla dada a todos sus niveles, y obteniendo las sumas parciales para cada uno de los productos. En el ejemplo 6 se encuentra una manera alternativa para calcular a la matriz T.. Actividad 3: De casamientos y solterías Estimados alumnos del TEC de Monterrey Como seguramente es de su conocimiento, el DIF ha realizado diversos estudios con respecto a la incidencia que hay hacia el divorcio entre la población femenina de la ciudad de México. La razón de nuestro interés sobre el tema abarca aspectos tales como desintegración familiar, discriminación laboral, atención a niños con escasos recursos y con problemas familiares, etc. El problema como podrán imaginar es enorme en el D.F. y más aún por todo lo que, en cuanto a la integración familiar, repercute en nuestra sociedad. Nuestro estudio parcial se apoya sobre estadísticas que hemos elaborado respecto a mujeres casadas, solteras y divorciadas que nos ha proporcionado el INEGI, no obstante, con el fin de anticipar cierto tipo de acciones, necesitamos con urgencia determinar números estimados para las poblaciones de mujeres solteras y casadas para periodos de un año y dos años. En particular, queremos saber si algún modelo puede ajustar las poblaciones mencionadas para los años 2001 y 2002. La presente carta es una petición formal de ayuda que hacemos a su universidad con el fin de establecer un modelo para resolver el problema que les hemos planteado. Una vez que dispongamos de él, nuestra intención será actualizarlo con base en datos que iremos actualizando en un periodo máximo de dos años. Les agradeceremos la atención que se sirvan prestar a la presente, solicitándoles nos respondan lo más pronto que les sea posible dado que por cuestiones de administración las medidas que podamos implementar deben ser dadas con bastante tiempo de antelación. ATTE. Lic. Marco Antonio Soto Ruiz Jefe de la sección de planeación del DIF.

(14) Rúbrica Elementos Problema. Investigación. Solución. 4 Es capaz de adaptar, a partir de sus comparaciones con problemas similares, una posible estrategia de solución. Encuentra las relaciones posibles en el marco de una estrategia global que le llevará al análisis requerido.. 3 Busca conectar su problema con situaciones similares.. 2 Establece con claridad el problema.. 1 Identifica aspectos básicos del problema.. Logra relacionar la mayor parte de los datos a partir de relaciones verbales y/o matemáticas .Sin embargo, no obtiene una estrategia general para su solución.. Tiene algunas nociones sobre las relaciones matemáticas que necesita establecer para la solución.. Identifica algunos de los datos que le es preciso investigar.. Precisa los elementos y datos que podrían ayudarle a tomar una decisión o proponer una solución.. Es capaz de indagar y seleccionar posibles soluciones y datos útiles.. Es capaz de buscar diversas referencias para resolver su problema.. Indaga entre los aspectos básicos de cursos que ha estudiado en su carrera.. Vincula su problema con otros que, aunque tienen contextos diferentes, en esencia se refieren al mismo problema. Presenta varias. Investiga relaciones entre las operaciones de matrices y ciertas aplicaciones. Clarifica en el marco del problema la utilidad de las operaciones con matrices.. Ideas de carácter intuitivo y de sentido común.. Presenta. Presenta una. Presenta una.

(15) alternativas de solución. Va más allá de lo que se le pide.. Entiende con precisión el problema, a tal punto que le es posible simular las diferentes posibilidades.. Tecnología. Usa diversas fuentes de información y busca ideas en Internet. Usa diversas fuentes de información, software para resolver, y algún paquete para presentar sus resultados.. una posible solución fundamenta da sobre sus investigacio nes. Investiga y localiza información en el INEGI o alguna otra fuente.. Usa diversas fuentes de información Precisa sus fuentes de información .. solución parcial cuantitativa sin un fundamento sólido. Su análisis es parcial, incompleto. Aunque sus ideas son buenas, no logra precisar sus soluciones parciales en el marco de la solución global. Busca soluciones en Internet.. solución de carácter cualitativo sin lograr ahondar en detalles. Obtiene algunas consideracio nes que le podrían ayudar a analizar la situación.. Navega sin rumbo claro.. No aplica.. No la usa.. Apoyo para el profesor: En el INEGI o alguna otra fuente de información, obténganse datos sobre las poblaciones de mujeres solteras, casadas, y divorciadas en la Cd. De México. Fórmese una matriz A de la siguiente manera. Los registros de la primer columna de A serán el porcentaje de mujeres divorciadas y no divorciadas, la segunda columna será el porcentaje de mujeres solteras que se casaron y el porcentaje de solteras que se mantuvieron en ese estado, respectivamente en el año 2000. Sea X el vector columna el número total de mujeres casadas y el número de mujeres solteras, respectivamente. Interprétense los productos: AX y A 2 X.. Uso de tecnología Ver Notebook de Mathematica. Tema 2:Matrices..

(16) Autoevaluación 1. Elegir la opción verdadera. a) El producto de las matrices A y B puede realizarse únicamente cuando tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. b) Una matriz A n x n, tiene inversa si al reducirla a su forma escalonada ésta tiene exactamente n filas diferentes de cero. c) Si la matriz de coeficientes A n x n, correspondiente a un sistema homogéneo se reduce a una matriz escalonada con al menos una fila igual a cero, entonces el sistema es inconsistente. d) Si la matriz de coeficientes A n x n correspondiente a un sistema homogéneo se reduce a una matriz escalonada con al menos una fila igual a cero, entonces el sistema sólo tiene como solución a la solución trivial e) La ecuación matricial AX = B, tiene solución única sólo si la matriz B tiene inversa. Respuesta correcta: b) 2. Elegir la opción falsa. a) Dos matrices A y B se dice que son equivalentes por filas cuando son iguales entrada a entrada. b) La ecuación matricial AX = B, tiene solución única sólo si la matriz A tiene inversa. c) La suma de las matrices A y B puede realizarse únicamente cuando tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. d) Sean A y B dos matrices invertibles, entonces: ( AB ) −1 = B −1 A −1 e) Hay matrices para las cuales: A−1 = A t . Respuesta correcta: a) 3. Elegir la opción que contiene a la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz  6 3 − 4   A = − 4 1 − 6 .  1 2 − 5  . −5  1 2   a)  0 1 − 26 / 9  0 0 0    1 0 − 26 / 9    0  b)  0 1 0 0 0  . −2  1 0   c)  0 1 − 26 / 9  0 0 1    1 0 − 26 / 9    d)  0 1 − 26 / 9  0 0 0  .

(17) 7 /9  1 0   e)  0 1 − 26 / 9  0 0 0   Respuesta correcta: (e) 2 2   y f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 2x + 4 . Elegir la opción que contiene a la matriz f ( A ). 4. Sea A =  3 − 1   1 a)  2 4 b)  8. − 2  − 6  − 6  − 1 . 1  −3 c)    1 − 16  −4 8   d)   12 − 16 −6 4  e)    1 − 8 Respuesta correcta: ( d ) 5. Elegir la opción que contiene la afirmación verdadera: a) Si las matrices A y B son compatibles para el producto, y sus elementos son números complejos, entonces las entradas del producto AB deben ser complejas. b) Si A, B y C son matrices 2 x 2, entonces B ≠ C implica que: AB ≠ AC . c) Si A es invertible, entonces es un producto de matrices elementales. d) Si para las matrices A, B y C : AB = AC, entonces B = C. e) Si A, B y C son todas matrices n x n y AB = BA y BC = CB, entonces AC = CA. Respuesta correcta: (c).

(18)

x + 4 y + 6 z = 0 Soluci&oacute;n: 1 2 2 2

x + 4 y + 6 z = 0 Solución: 1 2 2 2