I.E.S. Ana Mª Matute FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O.

I.E.S. Ana Mª Matute

FÍSICA

FÍSICA

FÍSICA

FÍSICA

Y

QUÍMICA

4º E.S.O.

Índice

1. Cálculo vectorial ... 1

2. Cinemática... 10

3. Dinámica del punto material ... 21

4. Estática de fluidos... 30

5. Trabajo y energía... 38

6. Calorimetría ... 49

7. Formulación química inorgánica ... 62

CÁLCULO VECTORIAL

1.- TIPOS DE MAGNITUDES FÍSICAS

Existen en la naturaleza varios tipos de magnitudes físicas. Se suele distinguir entre unas y otras, por el número de datos que es necesario conocer, sobre dicha magnitud, para que quede perfectamente definida. Por vivir en un espacio de tres dimensiones (largo, ancho y alto), el número de datos que es necesario conocer para determinar cualquier magnitud física, es siempre una potencia de tres, es decir, 3n donde n es un número natural incluyendo el cero.

Los nombres que reciben las magnitudes físicas son los siguientes: Nº de datos Nombre de la magnitud

si n=0 30=1 Escalar (Tensor de orden cero)

si n=1 31=3 Vector (Tensor de orden uno)

si n=2 32=9 Tensor de orden dos

si n=3 33=27 Tensor de orden tres

…… …. ……….

Durante el presente curso (de hecho hasta llegar a la universidad) sólo se manejarán escalares y vectores. El manejo de las magnitudes escalares es ya conocido, son las magnitudes que precisan de un único número (y unidad) para ser conocidas, aunque un físico preferirá siempre referirse a ellas por el nombre que hemos dado, podríamos llamarlas también magnitudes numéricas. Son magnitudes escalares, por ejemplo: masa, densidad, tiempo, temperatura, energía, etc.

Centraremos, por tanto, nuestro estudio durante el presente tema las magnitudes vectoriales. Son magnitudes vectoriales, por ejemplo: fuerza, velocidad, aceleración, etc.

2.- Vectores. Tipos vectores.

Los vectores los representaremos gráficamente mediante un segmento orientado (flecha) y los simbolizaremos mediante una letra latina con una flechita encima.

a

r

En ocasiones, sobre todo en matemáticas, es necesario utilizar el vector que une dos puntos (por ejemplo A y B) dicho vector se simboliza

A AB

Los tres datos que precisa una magnitud vectorial pueden darse de varias maneras, una de las más habituales es dar módulo, dirección y sentido, y opcionalmente, el punto de aplicación, hacia el final del tema se verá otra forma de dar estos datos. Módulo de un vector es la intensidad de la magnitud física que representa. La longitud de la flecha debe ser proporcional al módulo del vector, así por ejemplo, la velocidad de un objeto que se mueva a 80 Km/h, debe representarse con una flecha doble de larga que, la de otro objeto que se mueva a 40 Km/h.

Dirección de un vector es la dirección en la que se aplica la magnitud física. Se indica dando una recta y la flecha debe estar contenida en ella. Señalar que, por ejemplo, las rectas norte-sur y sur-norte son exactamente la misma, por lo que es necesario dar otro dato.

Sentido de un vector es uno de los dos posibles dentro de la recta indicada por la dirección del vector. Se indica mediante la punta de flecha.

Para dar de forma completa la velocidad de un coche deberemos decir, por ejemplo, se mueve a 80 Km/h (módulo), por la carretera de Burgos (dirección), hacia Madrid (sentido). Aún así, esta descripción de la velocidad puede ser incompleta, ya que no dice nada del punto en el cual se encuentra el vehículo, o lo que es lo mismo, de donde se debe dibujar el vector, éste es el punto de aplicación.

Los vectores pueden clasificarse de tres maneras distintas, dependiendo de la importancia que en física tenga, para un vector concreto el punto de aplicación. Vector ligado: es aquel que está ineludiblemente unido a su punto de aplicación. Vector deslizante: es aquel cuyo punto de aplicación se puede considerar

cualquiera de la recta que lo contiene.

Vector libre: es aquel cuyo punto de aplicación puede ser cualquier punto del espacio.

Resaltar que para dar un punto de aplicación son necesarios otros tres datos, ya sea dando las coordenadas del punto, como suele hacerse en matemáticas, o dando el vector de posición como suele hacerse en física, de este vector se hablará más adelante. Por lo tanto, si el vector con el que se está tratando es un vector ligado, será necesario dar dos vectores, o lo que es lo mismo seis datos.

3.- Suma de vectores (composición).

La suma de dos vectores es otro vector, que se obtiene a partir de los originales por aplicación de la regla del paralelogramo.

Esta regla consiste en obtener el vector suma gráficamente, para lo cual se hace coincidir el punto de aplicación de los dos vectores, por el extremo de cada vector se traza una recta paralela al otro vector, finalmente se une el punto de aplicación de los vectores con el punto de corte de las rectas trazadas, y ese es el vector resultante.

ar a b r r + b r

Otra opción, que evidentemente produce el mismo resultado pero que puede ser especialmente útil en caso de necesitar sumar varios vectores, es colocar el segundo vector a continuación del primero, el vector suma se obtiene entonces uniendo el principio del primer vector con el final del segundo.

ar b r a b r r +

Resta de vectores: para decir como de restan dos vectores empezaremos por definir

opuesto de un vector: es otro vector de igual módulo, igual dirección y sentido opuesto. Lo representaremos anteponiendo el signo menos al vector.

(opuesto de b b r r − = ) b r b r −

Tiene ahora perfecto sentido la siguiente expresión que nos sirve de definición:

) ( b a b a r r r r − + = −

obsérvese que la expresión anterior, que parece trivial si se tratase de números, no lo es en el caso de vectores, antes no sabíamos cómo restar vectores y ahora sí.

a b r r − b r − ar b r

Hay una regla que suele ser útil para restar vectores, y que evidentemente ofrece el mismo resultado, consiste en unir el final del sustraendo con el final del minuendo. a b r r − b r − ar a b r r − b r

Propiedades de la suma de vectores:

Propiedad conmutativa: a b b ar r r r + = + Propiedad asociativa: a b c a b cr r r r v s + + = + +( ) ( ) Elemento neutro: a ar ar r r r = + = +0 0 Elemento opuesto:

( ) ( )

0 r r r r r = + − = − + a a a a

El elemento neutro para la suma de vectores, el vector cero (0

r

), es una abstracción matemática, y representa un vector de longitud cero, y con cualquier dirección y sentido; es su existencia la que permite definir el vector opuesto de uno dado, y por tanto la resta de vectores.

4.- Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar (λ) por un vector (ar) es otro vector, cuyo módulo es

λ veces el de ar, cuya dirección es la de ar, y cuyo sentido es el de ar si λ es positivo y el opuesto si λ es negativo. ar −2⋅ar ar ⋅ 2 −1⋅ar ar ⋅ 3 ⋅ar 2 1

Evidentemente, y afortunadamente, se nos cumple aquí la propiedad de que

a ar=−r

⋅

−1 , ya que de no ser así tendríamos graves problemas de consistencia con nuestras definiciones.

Propiedades del producto de un escalar por un vector

( )

a b a b r r r r ⋅ + ⋅ = + ⋅ λ λ λ

(

λ

+

µ

)

⋅ar=

λ

⋅ar+

µ

⋅ar a ar= r ⋅ 1 0 0 r r = ⋅a

A Pesar de su parecido, las dos primeras propiedades no deben ser confundidas con la propiedad distributiva, y a que éstas afectan a elementos de dos tipos distintos, escalares y vectores.

Resaltar que λ y µ son dos números reales cualesquiera, enteros, fraccionarios o decimales, positivos o negativos.

5.- Descomposición de un vector

La descomposición de vectores puede hacerse en dos o tres dimensiones. Puesto que durante el presente curso vamos a trabajar en dos dimensiones veremos también así la descomposición de vectores. En cualquier caso, hacerlo en tres dimensiones supone únicamente una complicación adicional en cuanto a los dibujos, no en cuanto a los conceptos.

Descomponer un vector es obtener otros dos, en direcciones prefijadas, que sumados dan el vector inicial.

Para descomponer un vector deberemos aplicar una especie de regla del paralelogramo al revés. Colocaremos el vector en el punto de intersección de las rectas (direcciones) dadas y trazaremos paralelas a éstas por el extremo del vector.

r1 1 ar ar 2 ar r2 1 ar y a2 r

son las componentes de ar según las direcciones r1 y r2, ya que

Especialmente útil y frecuente es la descomposición de vectores en la dirección de los ejes cartesianos X e Y, la descomposición se hace igual que en el caso anterior, pero es especialmente sencilla.

Y ay r ar X x ar y x a a ar= r + r

La terminología para las componentes de ar, ax

r y ay

r

será usada así, aquí por primera y última vez a fin de evitar futuras confusiones.

6.- Componentes cartesianas de un vector

Vector unitario es un vector de módulo (longitud) igual a 1

Definimos unos vectores unitarios en las direcciones de los ejes X e Y y sentido positivo de dichos ejes. Estos vectores unitarios los llamaremos i

r y j

r

, y en función de ellos se puede expresar cualquier vector contenido en el plano XY, en dos dimensiones. Veamos un par de ejemplos:

Y Y b r j r ⋅ 4 a i j r r r ⋅ + ⋅ =3 2 ar b i j r r r ⋅ + ⋅ − = 2 4 j r ⋅ 2 j r j r i r i r ⋅ 3 X i r ⋅ −2 i r X

Los números que multiplican a los vectores unitarios i

r y j

r

son las componentes cartesianas de los vectores ar y b

r

, se suelen representar como ax, ay, etc., de

forma que cualquier vector cr puede escribirse como:

j c i c c x y r r r ⋅ + ⋅ = en nuestros ejemplos: ax = 3 , ay = 2 bx = -2 , by = 4

Las componentes cartesianas de un vector son números (escalares), y como tales pueden ser enteros, fraccionarios o decimales, positivos o negativos.

Los signos de las componentes de un vector nos indican su orientación, así si la componente ‘x’ de un vector es positiva el vector estará situado en el primer o cuarto cuadrante, y si la componente ‘y’ es positiva estará en el primer o segundo cuadrante, a la inversa si son negativas.

7.- Expresión de las operaciones con vectores en función de las

componentes cartesianas

Cuando tenemos los vectores expresados en función de sus componentes cartesianas es especialmente sencillo operar con ellos, basta con seguir las reglas siguientes, que pueden deducirse gráficamente con gran facilidad.

Sean a ax i ay j r r r ⋅ + ⋅ = y b bx i by j r r r ⋅ + ⋅ = SUMA a b ax bx i ay by j r r r r ⋅ + + ⋅ + = + ( ) ( ) RESTA a b ax bx i ay by j r r r r ⋅ − + ⋅ − = − ( ) ( )

PRODUCTO POR UN ESCALAR a

(

ax

)

i

(

ay

)

j

r r r ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

λ

λ

λ

VECTOR OPUESTO a ax i ay j r r r ⋅ − ⋅ − = −

Las componentes cartesianas proporcionan también un método sencillo para calcular el módulo (longitud) de un vector, ya que aplicando el teorema de Pitágoras a cualquiera de los ejemplos anteriores deducimos fácilmente la siguiente expresión: (representaremos el módulo de un vector encerrando dicho vector entre unas barras verticales, similares a las del valor absoluto, el significado sin embargo de estas barras es claramente distinto a las de valor absoluto, y distinguiremos entre unas y otras por la flechita que llevarán encima los vectores cuando se trate del módulo de un vector)

MÓDULO DE UN VECTOR

Obsérvese que el módulo de un vector es un número siempre positivo, que cumple alguna propiedad que puede parecer curiosa a primera vista, pero que es evidente cuando se reflexiona un poco, por ejemplo:

b a b a r r r r + ≤ +

En la anterior expresión el signo de igualdad será válido únicamente si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido.

2 2 y x

a

a

a

r

=

+

+

PROBLEMAS

1.- Dados los vectores a i j b j

r r r r r v · 4 · 3 ; · 3 · 2 + =− + = , represéntalos gráficamente,

obtén, también gráficamente, el vector a b

r r

− y exprésalo en función de sus componentes. 2.- Dado el vector a i j r r r · 5 · 2 + −

= , calcula el módulo de los vectores ar, 2·ar, -3·ar,

a a ar, 7·r, 10·r ·

5 − . Deduce una relación que permita calcular el módulo del vector λ·ar si se conoce el módulo de ar.

3.- Dados los vectores a i j b i j c j

r r r r r r r r · 4 ; · 2 · 4 ; · 2 = + = − − = : A) Comprueba que a b a b r r r r · 2 · 2 ) ·( 2 + = + B) Comprueba que b b b r r r · 3 · 2 )· 3 2 ( + = + C) Calcula , b, y cr r r a . D) Calcula a b cr r r + −2· · 3 . E) Calcula 3·(b ar) 5·(ar cr) r + + −

F) Calcula dos escalares λ y µ que cumplan a b cr

r r = + · ·

µ

λ

4.- Dibuja dos vectores de módulos 3 y 5 cuya suma tenga módulo 6. Dibuja otros dos vectores de módulos 4 y 5 cuya suma tenga módulo 2.

5.- Descompón el vector en las direcciones dadas.

6.- Dados los vectores de la gráfica: Obtén gráficamente el vector a b

r r

+ y sus componentes. Comprueba que el resultado gráfico coincide con el numérico.

a

r

b

r

X Y

CINEMÁTICA

Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos, sin ocuparse de las causas que lo provocan.

1.- Sistema de referencia y vector de posición

Si queremos estudiar el movimiento (cambio de posición) de un cuerpo, el primer paso, parece que debe ser, definir la manera en la que se determinará la posición del cuerpo, para luego poder estudiar cómo cambia esta posición. Debe darse, sin embargo, un paso previo, no tendría ningún sentido, por ejemplo, que digamos que un objeto está situado a 3 metros, si no indicamos a 3 metros de qué. Debemos por tanto empezar por definir el objeto, material o no, respecto del cual se determinará la posición y se estudiará el movimiento del cuerpo, esto es lo que en física se conoce como sistema de referencia.

Un sistema de referencia es un sistema de ejes coordenados, en general tres ejes, aunque con frecuencia nos bastará con usar dos, o incluso uno.

Z Y

Y

X

X

A la hora de afrontar el un problema de cinemática, el primer paso debe ser siempre dar la situación y orientación de los ejes del sistema de referencia (S.R.). No hay en principio limitación sobre la posición y orientación a escoger para el S.R., y cada persona puede escoger las que le parezca conveniente, aunque a la hora de dar las soluciones obtenidas, probablemente deberá indicar el S.R. utilizado pues las soluciones dependerán de él. Si hay sin embargo algunos consejos útiles, que durante el presente curso seguiremos siempre que sea posible:

Si el móvil estudiado se mueve sobre una línea recta haremos coincidir uno de los ejes con dicha línea.

Siempre que la naturaleza del problema planteado no lo desaconseje gravemente, orientaremos, en nuestros dibujos, la parte positiva del eje X hacia la derecha, y la del eje Y hacia arriba (tal como en el dibujo anterior).

Si hay en realidad una limitación para la orientación de los ejes en el S.R., cuando tratemos con tres ejes, estos deben ser dextrógiros, sin embargo como durante el presente curso no se van a utilizar estos S.R., dejaremos esa precisión para otros años.

Vector de posición es un vector que une el origen del sistema de referencia con el objeto estudiado. Se representa como rr, y por ser un vector de particular importancia en física se le hace un honor especial, y sus componentes cartesianas en lugar de llamarse rx y ry se llaman simplemente x e y.

Y y rr j r X i r x

Si el objeto estudiado se mueve el vector de posición cambiará con el tiempo, y evidentemente también sus componentes x e y. Se define trayectoria seguida por el objeto como el conjunto de puntos que ocupa el móvil a lo largo del tiempo. Estos puntos coinciden con los apuntados por el extremo del vector de posición, es un conjunto infinito de puntos, y todos ellos forman una línea, en general curva, esta línea es la trayectoria. Y r1 r r0 r r2 r Trayectoria X

2.- Velocidad

Es esta la magnitud física encargada de medir lo rápidamente que cambia de posición un cuerpo. Podemos hacer una primera aproximación a la velocidad definiendo una velocidad media, de forma muy intuitiva, como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo que se ha tardado en recorrerlo. Esta magnitud no es, sin embargo, la que deseamos, pues nosotros necesitamos una magnitud que nos mida lo rápidamente que cambia de posición un objeto en cada instante, y no por termino medio. Nos aproximaremos a nuestro objetivo a partir de la vmedia definida de

la siguiente manera: si en lugar de calcular la velocidad media en todo el recorrido, la calculamos en sólo una pequeña parte de él, la velocidad que obtenemos así, sin dejar de ser una media, será mucho más aproximada a la velocidad real que ha

j y i x r r r r ⋅ + ⋅ =

llevado el objeto durante esa pequeña parte del recorrido. Cuanto más pequeño sea el trozo de recorrido escogido más aproximada será la media calculada a la velocidad real. Podemos definir entonces la velocidad instantánea como la velocidad media calculada en una parte del recorrido infinitamente pequeña.

1 ∆ S Y 1 rr ∆rr t S vm ∆ ∆ = 2 r2 r t S lim v t ∆ ∆ = → ∆ 0 X

Esta ultima definición no es aún totalmente satisfactoria, ya que aunque proporciona una medida de lo rápidamente que se desplaza el móvil, no dice absolutamente nada de la dirección y sentido en que lo hace. Podemos arreglar este defecto sin mas que sustituir en la ecuación ∆S por ∆rr, ya que como podemos apreciar en el dibujo, si ∆t tiende a cero los puntos 1 y 2 se encuentran muy próximos, con lo cual ∆S y ∆rr se confunden (prácticamente se superponen), y además ∆rr tiene la dirección y sentido apropiado.

∆rr =∆S

si ∆t  0 entonces ∆rr es tangente a la trayectoria ∆rr tiene el sentido del movimiento

En consecuencia, definiremos por fin, la velocidad mediante la siguiente expresión:

La última expresión (la derivada) no la utilizaremos en el presente curso.

3.- Aceleración

Es la magnitud física encargada de medir lo rápidamente que cambia la velocidad de un cuerpo. Seguiremos para definirla un método similar al utilizado para definir la velocidad. 1 2 r r rr= r −r ∆

dt

r

d

t

r

lim

v

t

r

r

r

=

∆

∆

=

→ ∆ 0

1 v1 r Y v1 r 1 rr 2 1 2 v v vr=r −r ∆ r2 r v2 v v2 v X

Empezamos por definir una aceleración media, que mide el cambio de la velocidad, por termino medio, en un cierto intervalo de tiempo ∆t,

t v am ∆ ∆ = r r

puesto que esta aproximación en general no es satisfactoria, calculo la aceleración media en intervalos de tiempo cada vez más pequeños, y finalmente defino la aceleración instantánea, como la aceleración media calculada en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño.

4.- Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

Es el movimiento de un cuerpo que se mueve siguiendo una trayectoria recta con velocidad constante. Resaltar, que aunque no nos importe, hay en esta definición una redundancia, ya que si la velocidad, como vector, es constante, la trayectoria necesariamente ha de ser recta, con lo cual es innecesario indicarlo.

Para el estudio de este movimiento, y siguiendo el consejo dado anteriormente, situaremos el S.R. con uno de sus ejes, por ejemplo el X, coincidiendo con la trayectoria. Al hacerlo así todos los vectores relevantes para el problema quedarán situados sobre este eje.

Y v vx i r r ⋅ = i x r r r ⋅ = 0 0 r r r x x i r r r r ⋅ − = − = ∆ 0 ( 0) X i x r r r ⋅ =

Puesto que la velocidad es constante, es evidente que el cálculo de la velocidad media dará siempre el mismo resultado, independientemente del intervalo de tiempo en el que la calculemos, y aún cuando el intervalo de tiempo tienda a cero, es decir en este caso:

dt

v

d

t

v

lim

a

lim

a

t m t

r

r

r

r

=

∆

∆

=

=

→ ∆ → ∆ 0 0

t

r

v

v

m

∆

∆

=

=

r

r

r

despejando es esta expresión ∆rr =vr⋅∆t, sustituyendo cada vector por su valor en función de las componentes cartesianas tendremos: (x−x0)⋅i =vx⋅i ⋅(t−t0)

r r

. En esta expresión podemos prescindir del vector unitario, lo cual equivale a decir que los dos vectores que hay a ambos lados de la igualdad, sólo pueden ser iguales si lo son sus componentes x (lo que multiplica a i

r

), también es innecesario precisar que se trata de la componente x de la velocidad, puesto que es la única existente (la componente y vale cero), teniendo todo esto en cuenta la anterior expresión nos queda:

En esta expresión habrá que tener en tener cuenta:

‘x’

y

‘x

0

’

son componentes del vector de posición, o lo que es lo mismo,

coordenadas del punto en el que se encuentra el móvil, por tanto serán positivas si el móvil se encuentra en la parte positiva del eje X (hacia la derecha), y negativas si se encuentran en la parte negativa del eje X (hacia la izquierda).

‘v’ es la componente x del vector velocidad, por tanto será positivo si el móvil se desplaza hacia la derecha y negativo si lo hace hacia la izquierda.

‘t’

y

‘t

0

’

son respectivamente el instante (hora) en el cual el móvil se encuentra

en su posición final ‘x’, y el instante (hora) en el que el móvil se encuentra en su posición inicial ‘x0’. La diferencia entre ambos es el tiempo transcurrido.

Es frecuente encontrarse la ecuación anterior escrita de la forma:

no hay una diferencia real entre las dos expresiones, ya que en este último caso la

‘t’

representa el tiempo que transcurre desde que el móvil pasa de la posición inicial a la final, por lo que coincide con el valor de t – t0 en la expresión anterior.

Nosotros utilizaremos una u otra expresión indistintamente, según nos convenga.

5.- Gráficas x-t y v-t en el M.R.U.

Las gráficas v-t y x-t son especialmente fáciles de dibujar en este caso, basta con tener en cuenta que puesto que la velocidad es constante, no cambia con el tiempo, con lo cual la gráfica v-t debe ser una recta horizontal.

x – x0 = v·(t – t0)

V v

t

t0 t

móvil desplazándose en el sentido positivo del eje X (hacia la derecha)

V

t0 t t

v

móvil desplazándose en el sentido negativo del eje X (hacia la izquierda)

Para dibujar la gráfica x-t basta con darse cuenta de que la ecuación del M.R.U. implica una relación lineal entre ‘x’ y ‘t’, con lo cual estas gráficas serán, efectivamente lineales:

X

x

x0

t0 t t

Móvil desplazándose hacia la derecha (aumentando x) X x=x0 to t t Móvil en reposo (x no cambia) X x0 x t0 t t

Móvil desplazándose hacia la izquierda (disminuyendo x)

6.- Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A.)

Es el movimiento de un cuerpo que se mueve siguiendo una trayectoria recta con aceleración constante.

Igual que hicimos en el M.R.U., al ser la trayectoria recta situaremos nuestro sistema de referencia con uno de sus ejes coincidiendo con la trayectoria, entonces todos los vectores que intervienen en el problema quedan sobre dicho eje.

Y v v x i r r ⋅ = 0 0 v vx i r r ⋅ = 0 v v vr = r−r ∆ r x i r r ⋅ = 0 0 r r r x x i r r r r ⋅ − = − = ∆ 0 ( 0) a ax i r r ⋅ = X r x i r r ⋅ =

Puesto que la aceleración es constante, la aceleración media, calculada en cualquier intervalo de tiempo, dará siempre el mismo resultado, aún cuando el intervalo de tiempo tienda a cero, es decir, en este caso:

t v a a m ∆ ∆ = = r r r

desarrollando los incrementos y despejando v−v0=a⋅(t−t0)

r r r

, integrando esta

ecuación (cosa que haremos otro año) obtenemos: 2

0 0 0 0 ( ) 2 1 ) (t t a t t v r rr−r = r ⋅ − + r⋅ −

expresamos ahora cada vector en función de sus componentes cartesianas, eliminamos el vector unitario, que aparece en todas las expresiones, y los innecesarios subíndices x, pues ya se sabe que todos los vectores están sobre el eje X, y nos queda:

Combinando estas dos ecuaciones se puede obtener una 3ª en la que se han eliminado los tiempos, ésta es:

téngase en cuenta que ésta última no es una nueva ecuación, sino una combinación de las anteriores, luego no puede pretenderse utilizar estas ecuaciones para resolver un sistema con tres incógnitas.

Igual que se hizo con el M.R.U. puede, si así se prefiere, sustituir ‘t – t0’ ,

instante final menos inicial, por tiempo transcurrido, ‘t’ , con lo que las ecuaciones anteriores se reescribirán de la forma:

Tanto en este caso, como en el del M.R.U. es costumbre hacer coincidir con la trayectoria el eje X si ésta es horizontal, o el eje Y si la trayectoria es vertical, en este segundo caso, las ecuaciones que se obtienen son exactamente las mismas, pero sustituyendo las ‘x´s’ por ‘y´s’.

7.- Gráficas x-t , v-t y a-t en el M.R.U.A.

Empezaremos por la gráfica a-t, la más sencilla. Si suponemos el móvil desplazándose hacia la derecha, entonces una aceleración positiva (hacia la derecha), implica que el móvil incrementa su velocidad cada unidad de tiempo en una cantidad igual a la aceleración. Una aceleración negativa implicará, por el contrario, una disminución de la velocidad.

v = v0 + a·(t – t0) x – x0 = v0·(t – t0) + ½ a·(t – t0)2 v2 = v02 + 2·a·(x – x0) v = v0 + a·t x – x0 = v0·t + ½ a·t2 v2 = v02 + 2·a·(x – x0)

a a t0 t t Aceleración positiva: velocidad aumentando a t0 t t a Aceleración negativa: Velocidad disminuyendo

Si por el contrario, el móvil estuviese desplazándose hacia la izquierda (v negativa), una aceleración positiva implicaría una disminución de la velocidad (en módulo) y viceversa.

Para dibujar las gráficas v-t, observamos que según la 1ª ecuación del M.R.U.A., hay una relación lineal entre velocidad y tiempo, con lo cual las correspondientes gráficas serán también lineales.

V

v

v0

t0 t t

Móvil desplazándose hacia la derecha (v positiva) velocidad aumentando (a positiva) V v v0 t

Móvil desplazándose hacia la derecha (v positiva)

velocidad disminuyendo (a negativa)

En cuanto a las gráficas x-t para dibujarlas observaremos que la 2ª ecuación del M.R.U.A. que relaciona posición y tiempo, es una ecuación de 2º grado, con lo que las correspondientes gráficas han de ser parábolas.

X x xo t t0 t

Móvil alejándose hacia la derecha, pero cada vez más despacio (v positiva, a negativa, frenando) X x x0 t t0 t

Móvil alejándose hacia la derecha, cada vez más deprisa (v positiva, a positiva, acelerando) X x0 x t t0 t

Móvil acercándose desde la derecha, cada vez más despacio (v negativa, a positiva, frenando)

8.- Movimientos no rectilíneos

Parece bastante intuitivo que las ecuaciones obtenidas para el M.R.U. y para el M.R.U.A. han de poder adaptarse al caso de movimientos con velocidad constante (en módulo), o con velocidad (en módulo) variando uniformemente, pero con trayectoria no rectilínea. Esta adaptación efectivamente, puede hacerse, pero no está libre de algunas complicaciones bastante notables, por lo que no la haremos de momento. Simplemente, cuando afrontemos un problema con movimiento no rectilíneo, supondremos que “estiramos la carretera”, lo cual no dará ninguna ventaja a los ladrones para escapar de la policía, ni hará que adelantemos o retrasemos nuestra hora de llegada del viaje. En definitiva, todas las magnitudes interesantes para la resolución de nuestro problema seguirán siendo las mismas, sea la trayectoria rectilínea o no.

PROBLEMAS

1.- Dos coches con velocidades 72 Km/h y 90 Km/h, separados inicialmente 90 m, se dirigen uno hacia el otro. Calcula la distancia que los separa al cabo de: 1 s, 2 s, 3 s, y 4 s. sol: 45 m; 0 m; 45 m; 90 m.

2.- De un cruce de carreteras perpendiculares salen dos coches, uno a 15 m/s y otro a 20 m/s. Calculas la distancia que los separa al cabo de: 1 s, 2 s, 3 s y 4 s.

sol: 25 m; 50 m; 75 m; 100 m.

3- Un coche de ladrones sale del banco a 120 Km/h. 0,5 h mas tarde sale en su persecución un coche de policías a 150 Km/h. Calcula el tiempo que tardan en alcanzar a los ladrones y el punto en que los alcanzan.

4.- Un tren viajando a 72 Km/h rebasa a un observador quieto en el andén. En ese momento un pasajero hace rodar una pelota en la dirección del movimiento del tren con velocidad 10 m/s. Calcula, respecto del observador, la velocidad de la pelota y su posición al cabo de 0,5 s si:

a) La pelota se lanza en el mismo sentido de avance del tren. b) La pelota se lanza en sentido contrario.

sol: 30 m/s, 15 m; 10 m/s, 5 m.

5.- Un nadador pretende cruzar un río de 30 m de ancho nadando a 1 m/s directamente hacia la orilla opuesta. Si el río tiene una corriente de 18 Km/h, calcula:

a) La velocidad del nadador respecto de la orilla. b) Tiempo en alcanzar la orilla opuesta.

c) Distancia total recorrida por el nadador. sol: 5,1 m/s; 30 s; 153 m.

6.- Un tren entra en una estación con velocidad 64 Km/h. ¿Cuál es el valor de la deceleración si desde que se aplican los frenos hasta que el tren se detiene recorre aún 150 m.

Sol: -1,05 m/s2.

7.- Un coche se dirige a velocidad constante de 90 Km/h hacia una pared. Cuando se encuentra a 100 m de ella, el conductor toca el claxon. ¿A qué distancia de la pared se encuentra cuando oye su eco?

Dato: vs = 340 m/s sol: 86,3 m

8.- ¿Con qué velocidad se debe lanzar una piedra hacia arriba si se desea que suba hasta 45 m de altura?. ¿En qué instante se encontrará la piedra a 40 m de altura y que velocidad llevará entonces?. ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en volver a caer al suelo?.

sol: 30 m/s ; 2 s y 4 s ; 10 m/s y -10 m/s ; 6 s

9.- Desde un globo que se encuentra a 10 m de altura y subiendo con velocidad 18 Km/h se deja caer una piedra. Calcula el tiempo que tardará en llegar al suelo y la velocidad con la que se estrellará contra éste.

sol: 2 s ; -15 m/s

10.- Un ciclista al salir acelera a 0,1 m/s2 durante 2 min, después mantiene su velocidad constante durante 5 min, momento en el que pincha, permanece 5 min reparando el pinchazo y decide volver a su casa, para lo que acelera a 0,1 m/s2 durante 1 min, manteniendo la velocidad constante el resto del camino. Calcula la distancia total recorrida por el ciclista y el tiempo que ha estado fuera de casa. Calcula todos los datos que necesites para ello y dibuja las gráficas x-t, v-t y a-t correspondientes al movimiento del ciclista.

sol: 8640 m ; 29.5 min

11.- Desde una torre de 45 m de altura se deja caer una piedra. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad en Km/h con la que se estrellará contra éste. Supón que a 24 m de altura está la base de una ventana de 1 m de alto; una persona que estuviese mirando hacia la ventana ¿durante cuánto tiempo vería pasar la piedra?.

12.- La gráfica adjunta representa el movimiento de un cuerpo que parte del origen de coordenadas. Calcula su posición a los 8 s y dibuja la gráfica a-t correspondiente.

sol: 90 m.

13.- Desde una ventana situada a 25 m de altura se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con velocidad 72 Km/h. Calcula :

a) La altura máxima hasta la que subirá.

b) El tiempo que tardará en llegar al suelo y la velocidad con la que se estrellará contra éste.

sol: 45 m; 5 s, -30 m/s.

14.- Un grifo que se encuentra a 80 cm del suelo esta goteando a razón de una gota cada 0,2 s. Calcula la distancia que separa las gotas en el momento en que la primera llega al suelo.

Sol: 60 cm y 20 cm.

15.- Una persona corre a 8 m/s hacia un autobús. Cuando se encuentra a 40 m de éste el autobús arranca con aceleración 1 m/s2. ¿Alcanzará al autobús?. Sugerencia: Supón que sí le alcanza y calcula el instante en que lo hará.

sol: NO.

16.- Calcula la profundidad de un pozo si desde que se deja caer una piedra hasta que se la oye golpear contra el fondo pasan 3 s.

Dato: vsonido = 340 m/s. Sol: 41,4 m.

17.- Un ratón se dirige hacia un ama de casa con velocidad 6 m/s. Cuando se encuentra a 5 m de ella la mujer arranca huyendo del ratón con aceleración 2 m/s2. ¿Cuánto tiempo tarda el ratón en alcanzar a la mujer?. ¿Con qué aceleración mínima hubiera debido arrancar el ama de casa para no ser alcanzada?.

Sol: 1s ; 3,6 m/s2.

18.- Sujeto mediante una cuerda al techo de un ascensor y a 1.5 m del suelo de éste hay un objeto. Cuando el ascensor arranca con aceleración 2 m/s2 la cuerda se rompe. ¿Cuanto tiempo tarda el objeto en golpear contra el suelo?.

Sol: 0,5 s.

19.- Desde lo alto de una torre de 50 m de altura se deja caer una piedra y simultáneamente se lanza otra verticalmente hacia arriba desde su base con velocidad 20 m/s. Calcula la altura a la que se cruzan las piedras, el tiempo que tardan en cruzarse y la velocidad de cada una en ese momento.

Sol: 18,75m ; 2.5 s; -25 m/s, -5 m/s. t(s) V(m/s)

12

DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

Dinámica es la parte de la física que estudia el efecto que, sobre el movimiento de los cuerpos, tienen las fuerzas.

Punto material es un objeto sin dimensiones (tamaño cero) pero con masa. El motivo de definir y estudiar el punto material es el de simplificar, si el objeto estudiado no tiene dimensiones no se verá afectado de rotaciones, y no será necesario estudiar éstas, que quedarán para un tema de Dinámica de Rotación en años futuros. La limitación puesta en este tema no es excesiva, ya que en la práctica, todo lo que aquí estudiemos es válido para objetos extensos, con la única condición de que no roten.

1.- Leyes de Newton

Toda la dinámica clásica (previa a Einstein) se basa en las leyes de la dinámica que Newton formuló en el siglo XVII. Hay además una cuarta ley de Newton, que también veremos en este tema, pero que se estudia por separado, pues en lugar de ser una ley general sobre dinámica, estudia una fuerza particular.

Estas tres leyes de Newton son en realidad principios, pues son indemostrables, son sencillas y son la base sobre la que sobre la que sustenta la dinámica, y buena parte de la Física en general. Todas ellas tienen en consecuencia un sobrenombre que hace referencia a su condición de principio.

1ª Ley de Newton o Principio de Inercia.

Toda partícula libre se mueve con M.R.U.

Partícula libre es aquella que no está sometida a ninguna fuerza, o bien la suma de las fuerzas aplicadas a ella es cero.

Resaltar que una partícula que se mueve con velocidad constantemente igual a cero (no se mueve) es un caso particular del M.R.U. y por tanto está incluida en la 1ª ley.

En una terminología más vulgar, podríamos enunciar la 1ª ley diciendo que, si a una partícula no le hacemos nada, seguirá igual, si estaba quieta seguirá quieta, y si se estaba moviendo seguirá moviéndose en línea recta y con velocidad constante.

Esta ley, que hoy puede parecer evidente y sencilla, no lo ha sido siempre, y de hecho hubiese sido categóricamente rechazada por los antiguos griegos, que pensaban que: si a un objeto en movimiento no se le hace nada, se parará al cabo de cierto tiempo. Esta objeción, y otras parecidas que se pueden hacer, son debidas a la dificultad para estudiar en la naturaleza una partícula realmente libre, en particular, desvinculada de la fuerza de rozamiento, que es la que confundía a los antiguos griegos.

2ª Ley de Newton o Principio Fundamental de la Dinámica.

La suma de las fuerzas aplicadas a un cuerpo es proporcional a la aceleración que producen en él, siendo la masa del cuerpo el coeficiente de proporcionalidad.

Esta ley puede resumirse mediante una expresión vectorial, que descompondremos en componentes, que es la forma habitual en que se suele utilizar.

∑

F

x

=

m

⋅

a

x

∑

F

=

m

⋅

a

r

r

∑

F

y

=

m

⋅

a

y

La masa que aparece en esta expresión es conocida como masa inercial, ya que es una medida de la inercia del objeto; hay que hacer mucha más fuerza para provocar la misma aceleración en un objeto grande (con mucha masa), que en otro pequeño (con poca masa), es decir, para modificar su estado de reposo o de M.R.U. La definición de masa inercial la haremos precisamente a partir de esta ley:

Masa inercial es el coeficiente de proporcionalidad entre la fuerza que se aplica a un cuerpo y la aceleración que se produce en él.

Fuerza es todo agente capaz de modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo o de deformarlo. Es precisamente el efecto deformador de las fuerzas el que proporciona un método cómodo y sencillo para medirlas, como veremos más adelante en la ley de Hooke.

Como se comprueba fácilmente la 1ª ley de Newton se puede considerar como una consecuencia de la 2ª, ya que:

si

∑

=0 r r F entonces 0 r r = a , ⇒ M.R.U.

3ª Ley de Newton o Principio de Acción y Reacción

Si un cuerpo ‘A’ ejerce una fuerza sobre otro ‘B’ (acción), entonces ‘B’ ejerce otra fuerza sobre ‘A’ (reacción), de igual módulo, igual dirección, y sentido opuesto.

Si llamamos FAB

r

a la fuerza que ejerce A sobre B, entonces esta ley puede resumirse en la expresión:

Suele encontrarse esta expresión escrita como que, la suma de ambas fuerzas es cero, lo cual aún siendo completamente correcto desde un punto de vista matemático, suele conducir a errores, ya que ambas fuerzas normalmente no se suman por aplicarse a cuerpos distintos.

BA AB

F

F

r

r

−

=

Resaltar que ambas fuerzas son exactamente iguales en cuanto a módulo, y que su aparición es simultánea.

2.- Ley de Hooke

Esta ley relaciona la fuerza ejercida sobre un sólido elástico con la deformación sufrida por este. Aunque esta ley puede aplicarse a todo tipo de cuerpos elásticos se aplica principalmente al caso de muelles o resortes.

La fuerza deformadora que se aplica a un resorte es directamente proporcional a la deformación (alargamiento o compresión) que produce.

Podemos expresar esta ley matemáticamente de la siguiente manera: si suponemos el eje X alineado con el resorte:

Y ∆x=x−x0

F

r

X x0 x ∆x Donde F r

es la fuerza con la que tiramos del muelle, ∆xes el alargamiento y K es la constante elástica del muelle, que mide la dureza del mismo. También es frecuente encontrar esta ley escrita de la forma:

Donde en este caso F

r

es la fuerza que ejerce el muelle para intentar recuperar su forma inicial, que es, evidentemente, de igual módulo, igual dirección y sentido opuesto a la anterior.

Indicar que la elasticidad de los cuerpos tiene siempre un límite. Si sobrepasamos ese límite la ley de Hooke deja de ser válida y produciremos una deformación permanente.

3.- Algunas fuerzas de interés

Peso

Es la fuerza con la que la Tierra (u otro cuerpo celeste) atrae un objeto.

i

x

K

F

r

r

⋅

∆

⋅

=

i

x

K

F

r

r

⋅

∆

⋅

−

=

p

peso

=

r

suelo

Podemos calcular su valor muy fácilmente, si suponemos un cuerpo inicialmente en reposo, y sometido únicamente a la acción de su peso, según sabemos dicho cuerpo caerá con una aceleración igual a la de la fuerza de la gravedad, por tanto aplicando la 2ª ley de Newton tendremos:

∑

F =m⋅ar

r

Resaltar que prtendrá la misma dirección y sentido que gr, y por tanto será vertical y hacia abajo (hacia el centro del cuerpo celeste).

Normal

Es la fuerza que aparece que aparece entre dos superficies en contacto y que impide la penetración de los cuerpos. Es siempre perpendicular a las superficies en contacto y tiene el sentido de impedir la penetración. La normal es la fuerza con que se aprietan una contra otra las dos superficies.

Tensión

Tensión es la fuerza que ejerce una cuerda en unión de dos cuerpos. Lleva la dirección de la cuerda y el sentido de tirar (una cuerda nunca puede empujar, sólo tirar). Si se trata de una cuerda ideal (inextensible y sin masa), la tensión es la misma (en módulo) en todos los puntos de la cuerda.

Fuerza de rozamiento

Es la fuerza que aparece entre dos superficies en contacto y que se opone al deslizamiento de una superficie sobre otra. Lleva la dirección del deslizamiento, o de la tendencia de éste, y sentido opuesto. Distinguiremos dos casos:

a) fuerza de rozamiento estática

cuando las dos superficies están en reposo una respecto de otra, ya que las fuerzas que tienden a producir el deslizamiento son insuficientes para vencer la fuerza de rozamiento. En este caso la fuerza de rozamiento toma el valor justo y necesario para compensar las otras fuerzas existentes, con un valor máximo (en módulo) dado por:

g

m

p

r

=

⋅

r

N r N r T r T r vr r F r N Fr e e r v

µ

≤ ,

N

r

es la normal, fuerza con que se aprietan una contra otra las dos superficies

e

µ es el coeficiente de rozamiento estático, cuyo valor depende del material del que estén hechos los objetos.

Las superficies se mantendrán en reposo, una respecto de otra, mientras las fuerzas que tienden a desplazarlos no superen el valor máximo de la fuerza de rozamiento estática, en el momento en que esto ocurra se iniciará el deslizamiento y comenzará a actuar la…

b) fuerza de rozamiento dinámica

es la que aparece cuando hay deslizamiento de una superficie respecto de la otra, en este caso la fuerza de rozamiento lleva la dirección del desplazamiento y sentido opuesto, y su módulo tiene un valor fijo dado por:

d

µ es el coeficiente de rozamiento dinámico, cuyo valor depende del material del que están hechos los objetos.

Siempre ocurre que µe>µd, sin embargo, la diferencia entre ambos

coeficientes suele ser pequeña, por lo que si no se indica lo contrario se supondrá que son iguales.

4.- Ley de la Gravitación Universal de Newton

La fuerza que se ejerce entre dos masas puntuales es directamente proporcional a las masas, inversamente proporcional a la distancia que las separa, lleva la dirección de la recta que las une y, es siempre atractiva. Como demostró en su momento Gauss, esta ley es válida también para cuerpos de forma esférica, o una esfera y un punto, en ese caso, la distancia que figura en la ley es entre los centro de las esferas. La ley será también aproximadamente válida para cuerpos irregulares si la distancia entre los cuerpos es mucho mayor que sus dimensiones.

cuerpo 1 2 , 1 F r cuerpo 2 u1,2 r r1,2 N Fr d d r v µ = , 2 , 1 2 2 , 1 2 1 2 , 1 u r m m G F r r ⋅ ⋅ − =

Donde : 2 , 1 F r

Fuerza que ejerce 1 sobre 2 (la ejerce 1 y la sufre 2)

2 , 1

ur Vector unitario en el sentido de 1 hacia 2

G constante de gravitación universal, de valor ₂

2 11 10 67 , 6 Kg m N G = ⋅ − ⋅

Podremos aplicar esta ley al caso de un cuerpo situado sobre la superficie terrestre, ya que uno de los cuerpos es esférico, y el otro de dimensiones mucho menores que la distancia que los separa (el radio de la Tierra).

g m p F r r r ⋅ = = RT

PROBLEMAS

1.- Comenta la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) La relación entre la fuerza con la que se tira de un muelle y el alargamiento producido es una relación lineal de proporcionalidad directa.

b) Si un coche se mueve por una carretera curva, con velocidad constante (en módulo), es que la resultante de las fuerzas aplicadas a él es cero.

c) Si sobre un cuerpo que se encuentra en movimiento no se ejercen fuerzas, este se detiene al cabo de un cierto tiempo.

d) La fuerza de acción es siempre ligeramente superior a la de reacción, pues si no fuese así ambas se anularían y sería imposible provocar movimientos.

e) Cuando lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba, en el punto más alto de su trayectoria se encuentra en equilibrio.

f) La Tierra y una manzana se atraen entre sí con fuerzas exactamente igual de intensas.

2.- Un coche de masa 1000 Kg, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de 108 Km/h tras recorrer 150 m. Calcula el valor de la fuerza total ejercida sobre él.

Sol: 3000 N.

En este caso, y operando con módulos para mayor sencillez, tenemos:

2 T T R m M G F = ⋅ r g m pr = ⋅ r

e igualando nos queda:

2 T T R M G gr =

Sustituyendo los valores y operando, obtenemos:

9

,

8

₂

s

m

g

r

=

3.- Un cuerpo de masa 5 Kg, que se encuentra deslizando sobre una superficie horizontal, con velocidad 10 m/s, se detiene por efecto del rozamiento al cabo de 20 s. Calcula la fuerza de rozamiento que le ha detenido y el valor del coeficiente de rozamiento.

Sol: 2,5 N; 0,05

4.- Un cuerpo de masa 50 Kg se encuentra en reposo, sobre una superficie horizontal, con la que los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son respectivamente 0,3 y 0,2. Calcula la fuerza de rozamiento y la aceleración a la que se encuentra sometido cuando lo empujamos con una fuerza de:

a) 80 N Sol: 80 N; 0 m/s2 b) 120 N Sol: 120 N; 0 m/s2 c) 160 N Sol: 100 N; 1,2 m/s2 d) 200 N Sol: 100 N; 2 m /s2

5.- Calcula el “peso aparente” de una persona de masa 70 Kg que se encuentra sobre una báscula en el interior de un ascensor que:

a) sube con aceleración 2 m/s2 Sol: 840 N; 84 Kp b) sube con aceleración 1 m/s2 Sol: 770 N: 77 Kp c) baja con aceleración 2 m/s2 Sol: 560 N; 56 Kp d) baja con velocidad constante Sol; 700 N; 70 Kp expresa el resultado en Newtons y Kilopondios.

6.- Se empuja horizontalmente un cuerpo de masa 20 Kg con una fuerza de 50 N, provocando en él una aceleración de 2 m/s2. Calcula el valor de la fuerza de rozamiento que actúa y del coeficiente de rozamiento.

Sol: 10 N; 0,05

7.- Una nave espacial de masa 10.000 Kg, cuando está viajando con una velocidad de 30.000 Km/h, pone en funcionamiento sus motores de frenado durante 2 min., con lo que reduce su velocidad a 27.300 Km/h. Calcula la fuerza de frenado, supuesta constante.

Sol: 6,25·104 N

8.- De un muelle de 20 cm de longitud situado verticalmente, se cuelga un cuerpo de masa 400 g, estirándose el muelle hasta los 25 cm. Calcula la constante elástica del muelle y el alargamiento sufrido por él al colgar un cuerpo de masa 1000 g.

Sol: 80 N/m 12,5 cm

9.- Un niño de masa 8 Kg se encuentra de pie sobre el suelo y colgado de un muelle de constante elástica 300 N/m. Si el muelle está estirado 20 cm, ¿cuál es el peso aparente del niño? (fuerza con la que se apoya contra el suelo). Expresa el resultado en Newtons y Kilopondios.

Sol: 20 N = 2 Kp

10.- Calcula la fuerza de atracción, de tipo gravitatorio, a la que se encuentran sometidas dos personas, de masas 70 Kg y 50 Kg separadas 1 m. Supón que puede aplicarse la Ley de Gravitación Universal.

11.- Calcula la fuerza neta a la que se encontraría sometido un objeto de masa 2 toneladas que se encontrase a 50 millones de km de la Tierra, a 100 millones de Km del Sol, y alineado con ellos. Calcula el punto en que se debería encontrar el objeto para estar en equilibrio. Datos: MSol=2·1030 Kg, MTierra=6·1024 Kg

Sol: 26,68 N, 1,497·1011 m

12.- Calcula la atracción gravitatoria que ejerce la Luna sobre un cuerpo de masa 10 Kg que se encuentra sobre la superficie terrestre.

Datos: rTierra-Luna= 384.400 Km, MLuna=7,38·1022 Kg Sol:3,33·10-4 N

13.- Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna. Datos: MLuna= 81 1 MTierra, RLuna= 11 3

RTierra Sol: gLuna

6 1

≈ gTierra

14.- Calcula el valor de todas y cada una de las fuerzas, que actúan sobre cada uno de los cuerpos de la figura, sabiendo que el conjunto se mueve con aceleración 2 m/s2, y que el coeficiente de rozamiento entre estos y el suelo es µ=0,1.

suelo

15.- Dos niños tienen dos juguetes idénticos. El primero lo empuja por el suelo, con velocidad constante, con una fuerza que queda 30º por debajo de la horizontal, el segundo tira de él con una fuerza que queda 30º por encima de la horizontal. Razona cual de los dos está haciendo más fuerza.

16.- Dos caballos, uno en cada orilla de un río, remolcan contracorriente y mediante cuerdas una balsa que va por medio del río con velocidad constante. La corriente ejerce sobre la balsa una fuerza de 4000 N, y las cuerdas forman ángulos de 30º y 60º con la dirección de la corriente. Razona que caballo está haciendo más fuerza. Calcula la fuerza ejercida por cada caballo.

Sol: 3464 N; 2000 N

16.- Un bloque de masa 5 Kg se encuentra sobre una mesa horizontal con la que roza con coeficiente de rozamiento 0,2 y unido mediante una cuerda que pasa por una polea a otro cuerpo de masa 2 Kg que cuelga. Calcula la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda.

17.- Dos cuerpos están unidos mediante una cuerda que pasa por una polea. Ambos cuerpos cuelgan verticalmente. Obtén una expresión que dé la aceleración con la que se moverán los cuerpos en función de su masa. Calcula la aceleración si la masa de uno es doble de la del otro.

Sol: g m m m m a ⋅ + − = 2 1 2 1 a= ⋅g 3 1 suelo

2 Kg

F r suelo 1º 2º

3 Kg

5 Kg

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Estudio de los fluidos en equilibrio.

Fluido: sustancia que puede cambiar de forma con gran facilidad (líquidos o gases).

Aunque el tema hace referencia a fluidos en general, resaltar que hay partes específicas para líquidos, y otras para gases.

1.- Presión

Magnitud física que mide el efecto deformador o rompedor de las fuerzas. Es evidente que el efecto deformador de una fuerza no sólo depende de la intensidad (módulo) de la misma, veamos un ejemplo.

Si apretamos fuertemente una mano contra la pared, difícilmente provocaremos una deformación, si lo conseguiremos sin embargo si apretamos contra la pared una chincheta, ¿cuál es la diferencia?. Concluimos que el efecto deformador que provocamos será mayor, cuanto mayor sea la fuerza aplicada, y cuanto menor sea la superficie sobre la que se aplica.

Definimos entonces presión a partir de la siguiente expresión

que cumple los requisitos antes mencionados. UNIDADES

La unidad de presión será unidad de fuerza entre unidad de superficie. Por tanto en el S.I.

[ ]

Pascal Pa

m N

P = ₂ = =

Existe otra unidad de presión de uso frecuente, es el ₂ cm

Kp

, y su relación con el Pa es la siguiente:

Pa 98000 m N 98000 m 1 m c 10000 p K 1 N 9,8 p K 1 1 _{2 2} 2 2 2 = ⋅ ⋅ = = m c cm Kp

2.- Presión en el interior de los líquidos

Un líquido es un fluido incompresible. Podemos imaginarlo como un conjunto de bolas (las moléculas del líquido), que se encuentran prácticamente en contacto y deslizándose unas sobre otras.

S

F

P

r

Existe sin embargo una diferencia sustancial con la imagen mental que nos podemos hacer de un cajón lleno de canicas, en nuestro caso las moléculas del líquido están moviéndose continuamente, con una velocidad media que depende de la temperatura a la que se encuentre el líquido.

La presión que ejerce un líquido está provocada por el peso de las moléculas que lo componen, de forma que una molécula situada a cierta profundidad es empujada (presionada) hacia abajo por el peso de todas las que tiene encima.

La presión sin embargo no hace fuerza únicamente hacia abajo, sino en todas direcciones. La fuerza ejercida por la presión es normal (perpendicular) a cualquier superficie en contacto con el líquido. La bola de la segunda fila presiona a las de la primera, esto acaba traduciéndose en una fuerza perpendicular a las paredes verticales.

Para calcular la presión hidrostática (ejercida por un líquido), supondremos una pequeña porción de líquido encerrado dentro de un cilindro, de paredes muy finas y sin masa. Este cilindro estará en equilibrio, flotando entre dos aguas y en posición vertical. Por estar en equilibrio la suma de fuerzas aplicadas a él debe ser cero, aplicando esto en dirección vertical tendremos:

F2 – F1 – m·g = 0

como F2 = P2·S

F1 = P1·S

m = V·d V=S·(h2-h1)

Sustituyendo todos estos valores: P2·S - P1·S - S·(h2-h1)·d·g = 0

Simplificando y reordenando nos quedará:

que es la ecuación fundamental de la hidrostática, y que nos da la diferencia de presión entre dos puntos cualquiera de un líquido. Destacar que según se deduce de esta ecuación todos los puntos a la misma profundidad están a la misma presión.

Si en esta ecuación consideramos que el punto superior está en la superficie libre del líquido, y llamamos a este punto con subíndice cero y al otro con ninguno, nos quedará: aire agua 1 F r 2 F r g mr h1 h2 P2 – P1 = d·g·(h2 – h1) P = P0 + d·g·h

que nos da la presión en cualquier punto del líquido, en función de la profundidad a la que se encuentra respecto de la superficie libre, y siendo P0 la presión sobre dicha

superficie libre del líquido (normalmente la presión atmosférica), y dgh la presión debida al líquido, presión hidrostática.

3.- Principio de Pascal

La presión ejercida sobre un punto cualquiera de un líquido en reposo se transmite íntegra e instantáneamente a todos los puntos del líquido.

Pascal demostró espectacularmente este principio rompiendo un barril con una pequeña cantidad de agua. Una pequeña masa de agua introducida en un tubo largo y fino aumenta considerablemente la presión en el interior del barril y acaba reventando éste.

Una aplicación del principio de Pascal es la prensa hidráulica, que consiste en dos cilindros comunicados y de secciones diferentes llenos con un líquido, la presión ejercida sobre uno de los cilindros se transmite al otro

S1 S2

con lo que la fuerza ejercida en la superficie de cada cilindro es proporcional a su superficie.

4.- Principio de Arquímedes.

Todo cuerpo sumergido, total o parcialmente, en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja.

El empuje es evidentemente una fuerza, ya que es igual a un peso, el del fluido desalojado.

Esta ley que fue enunciada por Arquímedes como principio, consiguió demostrarse posteriormente, por lo que pasó a la categoría de teorema. Nosotros haremos una demostración simplificada con un cuerpo regular, pero el resultado es válido para cualquier cuerpo.

2 2 1 1 2 1 S F S F P P = ⇒ =

Supongamos un prisma sumergido en líquido, el empuje es provocado por la diferencia de presión entre sus caras superior e inferior.

E = F2 – F1 = P2·S – P1·S

E = dlíquido·g·S·(h2 – h1)

E = mlíquido desalojado·g

Si la densidad del sólido sumergido es menor que la del fluido, y se encuentra totalmente sumergido, el peso del sólido es menor que el empuje, por lo que al soltar el cuerpo subirá y flotará, asomando parte de él fuera del fluido. Por el contrario si la densidad del sólido es mayor que la del fluido, su peso es mayor que el empuje y se hundirá, no flota.

Cuando un cuerpo se encuentra sumergido en un fluido aparenta pesar menos de su peso real, esta es debido al empuje, podemos definir el peso aparente de un cuerpo sumergido mediante la siguiente expresión:

Pesoaparente = Pesoreal - Empuje

5.- Presión atmosférica

Los gases, y entre ellos la atmósfera, también ejercen presión sobre los cuerpos sumergidos en su interior y sobre las paredes de los recipientes que los contienen, esta presión es debida a las colisiones de las partículas de gas contra cualquier superficie y es normal a la superficie. En el siglo XVII Torricelli ideó un experimento para medir la presión ejercida por la atmósfera. Consiste en llenar un tubo largo de mercurio, taparlo darle la vuelta, introducir la parte tapada en un recipiente con mercurio y destapar. Parte del mercurio contenido en el tubo cae creando una zona de vacío en la parte superior del tubo, se mide entonces la altura de mercurio que queda en el tubo sobresaliendo del recipiente.

F1

F2

h1

h2

E = dlíquido·g·Vlíquido desalojado

Puesto que la presión en todos los puntos de un líquido que se encuentran al mismo nivel tiene que ser la misma, escogemos un punto en la superficie del recipiente y otro al mismo nivel pero en el interior del tubo. La presión en el primer punto es la atmosférica, mientras que en el segundo como se encuentra a cierta profundidad P0 = dHg·g·h sustituyendo los valores

obtenemos:

UNIDADES

Es frecuente utilizar como unidad de presión la atmósfera (atm.) que definimos mediante: 1 atm = 101300 Pa

también se utiliza como unidad de presión el milímetro de mercurio (mm de Hg), cuya relación con la atmósfera es evidentemente:

1 atm = 760 mm de Hg y utilizando la relación anterior

1 mm de Hg = 133Pa m t a 1 Pa 101300 · m t a 760 1 atm 760 1 _{= =}

6.- Leyes de los gases perfectos

Gases ideales o perfectos: son gases formados por partículas de tamaño cero y sin interacción (fuerzas) entre ellas.

Estos gases en la práctica no existen, pero podrán ser considerados como tales aquellos en los que las dimensiones de las partículas sean despreciables frente a la distancia media que las separa, y con una interacción suficientemente pequeña. Se pueden considerar como gases ideales todos aquellos que se encuentren suficientemente alejados de sus condiciones (presión y temperatura) de ebullición.

Las leyes que rigen el comportamiento el de los gases perfectos son de carácter experimental y pueden resumirse mediante las siguientes fórmulas, ya expresadas forzosamente con la temperatura en la escala absoluta (ºK).

Ley de Gay-Lussac: Si P=cte. .

0 0 cte T V T V = =

Ley de Charles: Si V=cte. .

0 0 _cte T P T P _{= =}

Ley de Boyle-Mariotte Si T=cte. P0•V0 =P•V =cte.

Las tres leyes están expresadas, naturalmente, en el supuesto de estamos trabajando en todo momento con la misma cantidad (nº de moles) de gas.

h=0,76 m

Hg aire

Combinando adecuadamente estas tres ecuaciones podemos obtener la Ecuación de estado de los gases perfectos:

Puesto que la anterior ecuación es válida para cualquier cantidad fija de un gas perfecto, podemos calcular el valor de la constante que en ella aparece para 1 mol de gas en condiciones normales, a dicha constante se le llama constante de los gases perfectos y su valor es:

El valor de la constante es independiente, según las leyes anteriores, de las condiciones en las que se calcule. Si en lugar de para un mol se calcula para n moles, el volumen y por tanto la constante será n veces mayor, con lo cual la ecuación puede ser reescrita poniendo:

para n moles nR T V P · · ₌ o en su forma habitual

PROBLEMAS

1.-

a) ¿Por qué se usan raquetas para andar por la nieve? b) ¿Por qué cortan mejor los cuchillos afilados?

c) ¿Cuál es la única condición necesaria para que un sólido flote en un líquido? d) ¿Qué pesa más en el aire, 1 Kg de madera o 1 Kg de plomo?

e) ¿Por qué Torricelli escogió mercurio para su experimento?

f) ¿Qué le pasa al volumen de un gas si duplicamos su temperatura (en grados Kelvin) y triplicamos la presión?

2.- Mediante un elevador hidráulico, cuyo émbolo mayor tiene una sección de 1500 cm2, deseamos elevar un peso de 60000 N. ¿Cuál debe ser la sección del émbolo menor para que podamos hacerlo aplicando una fuerza de 200 N.

Sol: 5 cm2

3.- Calcula la longitud mínima que debería tener un tubo de vidrio para repetir con él el experimento de Torricelli utilizando agua.

Sol: 10,34 m.

.

•

•

0 0 0

_cte

T

V

P

T

V

P

=

=

K mol J K mol l atm R ·º 31 , 8 ·º · 082 . 0 = =

P·V = n·R·T

4.- Calcula la presión hidrostática en el fondo de la fosa de las Marianas a 11,5 Km de profundidad. Expresa el resultado en Pa, atm, y Kp/cm2. Calcula la fuerza que se ejercería sobre una mirilla circular de 10 cm de radio a esa profundidad.

Dato: dagua mar=1030 Kg/m3

Sol: 1,16·108 Pa, 1146 atm, 1185 Kp/cm2; 3,65·106 N

5.- Calcula la fuerza que es necesario realizar para abrir una escotilla circular de 30 cm de diámetro de un submarino que se encuentra a 100 m de profundidad.

Sol: 72800 N

6.- Unos objetos, A, B, C y D, están totalmente sumergidos en agua dulce. Completa la siguiente tabla:

Masa (Kg) Volumen (m3) Densidad (Kg/m3) Empuje (N)

A 250 O,2

B 1000 2000

C 4000 24500

D 900 392

7.- Calcula la densidad del hielo, sabiendo que de un iceberg asoma fuera del agua

9 1

del volumen total. Dato: dagua mar=1030 Kg/m3

Sol: 916 Kg/m3

8.- La masa de la cesta, aparejos y pasaje de un globo aerostático suma 500 Kg. Calcula el volumen mínimo de aire caliente que debe encerrar el globo para elevarse. Datos: daire frio=1,3 Kg/m3, daire caliente= 1,2 Kg/m3

Sol: 5000 m3

9.- Un trozo de corcho de forma cúbica se encuentra flotando en agua. Calcula la fracción de arista que asoma fuera del agua. Dato: dcorcho= 0,4 g/cm3

Sol: =

5 3

60 %

10.- Un gas se encuentra a 27 ºC ocupando un volumen de 5 l cuando la presión ejercida por el gas es 3 atm. Si se expande hasta un volumen de 10 l, disminuyendo la presión a 1 atm., ¿cuál es la temperatura final del gas?.

Sol: -73 ºC

11.- En una bombona de 12 litros hay oxígeno a 1,4 atm. y 310 ºK. Halla: a) el número de moles de oxígeno.

b) la densidad del oxígeno en esas condiciones. Dato: M(O) = 16 uma

Sol: 0,66 moles; 1,76 g/l = 1,76 Kg/m3

12.- Calcula el volumen que ocupan 80 g de metano (CH4) a 20 oC y 740 mm de Hg. Si

la temperatura aumenta a 40 oC, ¿cuánto ha de valer la presión para que el volumen se mantenga constante.