Funciones de una variable real II Integrales impropias

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Universidad de Murcia

Departamento Matemáticas

Funciones de una variable real II

Integrales impropias

B. Cascales, J. M. Mira y L. Oncina

Departamento de Matemáticas•Universidad de Murcia

Grado en Matemáticas•2012-2013 (22/04/2013 a ??/05/2013)

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Contents

Contenido

1 Recordatorio, series 2 _{Integrales Impropias}

Concepto, tipos y modelos importantes Condición de Cauchy

3 Criterios de convergencia para funciones positivas Convergencia absoluta

(3)

Recordatorio, series Integrales Impropias Criterios de convergencia para funciones positivas

Objetivos

1 _{Recordar el concepto de convergencia de series y sus propiedades, para}

establecer paralelismo con integrales impropias.

2 _{Definir y entender el concepto de integral impropia.} 3 _{Analizar los primeros ejemplos de integrales impropias.}

4 _{Entender y saber utilizar la condición de Cauchy para convergencia de}

integrales.

5 _{Aprender el concepto de convergencia absoluta de una integral.} 6 _{Utilizar en situaciones prácticas los conceptos anteriores.}

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Series: definición

Definición

Una serie numérica enKes un par de sucesiones(an)n∈_N,(Sn)n∈_N relacionadas

por la fórmulaSn=a1+· · ·+an. Una serie de este tipo se representa

abreviadamente mediante

∞ X

n=1

an.

1 _a_n_{se le llama término general de la serie.} 2 _S_n_{se llama suma parcial}_n_-ésima.

3 _{La serie numérica (o simplemente serie) se dice convergente si existe}

limnSn=:S∈K.

4 _S _{recibe el nombre de suma de la serie y se escribe}P∞

n=1an.=S. 5 _Cuando_a_n∈_R_{y lim}_n_S_n₌±∞_{la serie se dice divergente a}±∞_.

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Series: definición

Definición

∞ X

n=1

an.

1 _a_n_{se le llama término general de la serie.}

2 _S_n_{se llama suma parcial}_n_-ésima.

limnSn=:S∈K.

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Series: definición

Definición

∞ X

n=1

an.

limnSn=:S∈K.

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Series: definición

Definición

∞ X

n=1

an.

limnSn=:S∈K.

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Series: definición

Definición

∞ X

n=1

an.

limnSn=:S∈K.

4 _S_{recibe el nombre de suma de la serie y se escribe}P∞

n=1an.=S.

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Series: definición

Definición

∞ X

n=1

an.

limnSn=:S∈K.

4 _S_{recibe el nombre de suma de la serie y se escribe}P∞

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Ejemplos de series

Ejemplo La serie geométrica ∞ X n=0 rn

con|r|<1 es una serie convergente con suma 1 1−r. Si|r| ≥1 la serie es divergente. Ejemplo La serie ∞ X n=1 1 n2

es convergente ya que la sucesión(Sn)nes monótona creciente y acotada.

La serieP∞

n=1 1

(11)

Convergencia de series

Condición necesaria de convergencia

Si la serieP∞_n₌₁anconverge entonces existe limnany vale 0.

Condición de Cauchy para la convergencia de una serie La serie numérica

∞ X

n=1

an

es convergente si y sólo si para cada >0 existen0∈Ntal que se verifica

|ap+ap+1+· · ·+aq|< ,

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Convergencia de series

Condición necesaria de convergencia

Si la serieP∞_n₌₁anconverge entonces existe limnany vale 0.

Condición de Cauchy para la convergencia de una serie La serie numérica

∞ X

n=1

an

es convergente si y sólo si para cada >0 existen0∈Ntal que se verifica

|ap+ap+1+· · ·+aq|< ,

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Criterio de convergencia de la integral: ejemplos

Criterio de comparación

SeanPan,Pbnseries de términos no negativos. Si existen0∈NyM>0 tales quean≤Mbn

para todon0≤n∈N, entonces la convergencia dePbnimplica la convergencia dePan.

Criterio de comparación

SeanPan,Pbnseries de términos estrictamente positivos y supongamos que existel:=lim an bn 1 Si 0<l<∞entonces las dos series tienen el mismo carácter.

2 Sil=0 entonces la convergencia dePbnimplica la convergencia dePan.

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Reordenación de series

Definición

SeanPanyPbndos series. Diremos que la seriePbnes una reordenación de la seriePan

si existe una biyecciónφ:N−→Ntal quebn=aφ(n).

Proposición

SeaPanuna serie convergente de términos positivos, entonces cualquier reordenada suya

converge y ambas tienen la misma suma.

Definición

La seriePanconan∈Rse dice absolutamente convergente si la serieP|an|es convergente.

Proposición

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Reordenación de series

Definición

SeanPanyPbndos series. Diremos que la seriePbnes una reordenación de la seriePan

si existe una biyecciónφ:N−→Ntal quebn=aφ(n).

Proposición

SeaPanuna serie convergente de términos positivos, entonces cualquier reordenada suya

converge y ambas tienen la misma suma.

Definición

La seriePanconan∈Rse dice absolutamente convergente si la serieP|an|es convergente.

Proposición

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Concepto, tipos y modelos importantes

Condición de Cauchy

Concepto de integral impropia: tipos

En la integral de Riemann se usa una función acotada en un intervalo acotado cerrado[a,b]. Las integrales impropias corresponden a alguna situación de no acotación, sea en la función, sea en el intervalo, o en ambos.

Ejemplo 1. Función no acotada en intervalo acotado Seaf(x) = √1

x enI= (0,1]y queremos ver cómo definir

R1 0

1

√

x dx

Tomamos ahorau∈(0,1]y calculamos

Z 1 u 1 √ x dx= 1 1 2 1−√u

y entonces definimos de manera natural definimos

Z 1 0 1 √ x dx:=ulim→0+ Z 1 u 1 √ x =ulim→0+ 1 1 2 1−√u=2

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Concepto de integral impropia: tipos

En la integral de Riemann se usa una función acotada en un intervalo acotado cerrado[a,b]. Las integrales impropias corresponden a alguna situación de no acotación, sea en la función, sea en el intervalo, o en ambos.

Ejemplo 1. Función no acotada en intervalo acotado Seaf(x) = √1

x enI= (0,1]y queremos ver cómo definir

R1 0

1

√

x dx

Tomamos ahorau∈(0,1]y calculamos

Z 1 u 1 √ x dx= 1 1 2 1−√u

y entonces definimos de manera natural definimos

Z 1 0 1 √ x dx:=ulim→0+ Z 1 u 1 √ x =ulim→0+ 1 1 2 1−√u=2

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Ejemplo 2. Función acotada en intervalo no acotado Seaf(x) = 1

x2 en el intervaloI= [1,∞), y queremos darle sentido a la

expresión

Z ∞

1

x2 dx

Dadou∈[1,∞)cualquiera, podemos calcular

Z u 1 1 x2 dx= h −1 x iu 1 = 1−1 u

y entonces de manera natural definimos

Z ∞ 1 1 x2 dx:=_ulim_→∞ Z u 1 1 x2 dx=_ulim_→∞ 1−1 u =1

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Ejemplo 3. Función no acotada en intervalo no acotado Seaf(x) = 1

x2 en el intervaloI= (0,∞), y queremos dar sentido a Z ∞

0

1

x2 dx

Por analogía con la integral de Riemann ordinaria es razonable definir Z ∞ 0 1 x2 dx:= Z 1 0 1 x2 dx+ Z ∞ 1 1 x2 dx

La primera integral corresponde a función no acotada en intervalo acotado; la segunda a función acotada en intervalo no acotado.

Z 1 0 1 x2 dx:=_ulim_→₀+ Z 1 u 1 x2 =_ulim_→₀+ −1+1 u =∞

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Definición

f : [a,b)→R, (b≤ ∞), diremos que es localmente integrable si para todo

u∈[a,b),f restringida a[a,u]es integrable, es decir, existeRu

a f(x)dx.

•Si f es localmente integrable y existe lim

u→b−

Z u

a

f(x)dx∈R,

diremos que la integral impropiaRb

a f(x)dx es convergente y que su valor es

Z b a f(x)dx:= lim u→b− Z u a f(x)dx.

•Análogamente definimos paraf : (a,b]→Rla integral impropiaRabf(x)dx.

•Si el límite anterior es+∞o−∞, diremos que la integral (impropia) diverge hacia+∞o−∞respectivamente. Si no existe dicho límite diremos que no existe la integral en sentido impropio.

La integral impropia es lineal

La linealidad de la integral de Riemann y el paso al límite que involucra la integral impropia hace que esta última sea lineal también.

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Definición

a f(x)dx.

u→b−

Z u

a

f(x)dx∈R,

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Definición

a f(x)dx.

u→b−

Z u

a

f(x)dx∈R,

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Proposición

Seaf : [a,b)−→Rlocalmente integrable y seaa<c <b. Son equivalentes:

1 _f _{es integrable en sentido impropio en}_[_a_,_b₎ 2 _f _{es integrable en sentido impropio en}_[_c_,_b₎

Además se cumpleRb a f(x)dx= Rc a f(x)dx+ Rb c f(x)dx. Definición

Seaf(a,b)−→R, con−∞ ≤a<b≤+∞. Diremos que la integral impropia

Rb

a f(x)dx es convergente si existec ∈(a,b)de modo que las integrales

impropiasRc

a f(x)dxy

Rb

c f(x)dx son convergentes. En este caso, definimos

Z b a f(x)dx:= Z c a f(x)dx+ Z b c f(x)dx.

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Proposición

Seaf : [a,b)−→Rlocalmente integrable y seaa<c <b. Son equivalentes:

1 _f _{es integrable en sentido impropio en}_[_a_,_b₎ 2 _f _{es integrable en sentido impropio en}_[_c_,_b₎

Además se cumpleRb a f(x)dx= Rc a f(x)dx+ Rb c f(x)dx. Definición

Seaf(a,b)−→R, con−∞ ≤a<b≤+∞. Diremos que la integral impropia

Rb

a f(x)dx es convergente si existec∈(a,b)de modo que las integrales

impropiasRc

a f(x)dxy

Rb

c f(x)dx son convergentes. En este caso, definimos

Z b a f(x)dx:= Z c a f(x)dx+ Z b c f(x)dx.

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Ejemplos importantes: las armónicas

Z ∞ 1 1 xα dx converge siiα >1 Z 1 0 1 xα dx converge siiα <1 Más ejemplos Z +∞ −∞ 1 1+x2 dx, Z ∞ 0 te−t dt, Z 1 −1 1 p |x|dx Z ∞ −∞ 1 p |x|dx, Z 1 0 1 (x−1)√x dx

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Condición de Cauchy y aplicaciones

Como la convergencia se define en términos de existencia de un límite, una cierta condición de Cauchy resulta esperable.

Proposición (Condición de Cauchy)

La integral impropiaRb

a f(t)dt,donde f : [a,b)−→Res localmente integrable

y b≤+∞, es convergente si y sólo si para cada >0existe c∈(a,b)tal que si c≤y <z<b entonces Z z y f(t)dt < .

Una consecuencia de la condición de Cauchy es que sib=∞y existe limx→∞f(x) =LyR

∞

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Condición de Cauchy y aplicaciones

∞

(28)

Condición de Cauchy y aplicaciones

∞

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Condición de Cauchy y aplicaciones

En los ejemplos que hemos visto siempre hemos podido calcular una primitiva y así estudiar la convergencia de la integral impropia y su valor. Pero no siempre es así.

Ejemplo

Consideremosf(x) :=sen1

x parax ∈(0,1].¿La siguiente integral converge?

Z 1

0

f(x)dx

Proposición

Sig: (a,b]→Res acotada yg∈ R([c,b])para todoc∈(a,b]entoncesg es integrable en(a,b]en sentido impropio.

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Condición de Cauchy y aplicaciones

En los ejemplos que hemos visto siempre hemos podido calcular una primitiva y así estudiar la convergencia de la integral impropia y su valor. Pero no siempre es así.

Ejemplo

Consideremosf(x) :=sen1

x parax ∈(0,1].¿La siguiente integral converge?

Z 1

0

f(x)dx

Proposición

Sig: (a,b]→Res acotada yg∈ R([c,b])para todoc∈(a,b]entoncesg es integrable en(a,b]en sentido impropio.

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Convergencia absoluta

Criterios de convergencia para funciones positivas

Sif ≥0, es obvio queF(x) :=Rx

a f es creciente por lo que la convergencia de

la integral impropia equivale a la acotación deF. Proposición (Criterio de comparación)

Sean f,g: [a,b)−→R+con b≤ ∞y supongamos que existen c∈[a,b)y

una constante M>0tales que f(t)≤Mg(t)para todo t∈[c,b). Entonces la convergencia deRb a g implica la convergencia de Rb a f . (Y la divergencia deRb a f implica la divergencia de Rb a g ). Corolario

Sean f,g: [a,b)−→R+. Suponemos existe L:=limx→b

f(x) g(x) (1) Si0<L<∞entoncesRb

a f y

Rb

a g tienen el mismo carácter.

(2) Si L=0entoncesRb

a g converge implica

Rb

a f converge.

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Relación entre series numéricas e integrales impropias

Proposición (Criterio de la integral)

Sea f : [a,∞)−→R+ monótona decreciente y sea an=f(n). Entonces la serie

P

an converge si, y solo si, converge la integral impropiaR

∞

a f

Una imagen que lo dice todo

n n+ 1 n−1 f g h Aplicación La serieP∞ n=1 1 n2 es convergente y para cada enterok≥2 ∞ X n=k 1 n2 ≤ Z ∞ k 1 (x−1)2dx

Utilizar lo anterior para dar una estimación deP∞_n₌₁ 1

n2 cuando se

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Ejemplos del criterio de comparación

1 _{Estudio de la convergencia de} Z ∞ 1 sen 1 x2dx 2 _{Estudio de la convergencia de} Z 2 1 1 p (2−x)(x−1) dx

Ejemplo de estudio del carácter

Carácter, según los valores del número realk, de la integral impropia

Γ(k) := Z ∞

0

tk−1e−tdt

CalculeΓ(k)parak=1,2,3,4,5. ¿Se atreve con la fórmula paraΓ(k)para

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Convergencia absoluta

Proposición (Convergencia absoluta implica convergencia)

Sea f : [a,b)−→Rcon b≤ ∞y supongamos que la integral impropiaRab|f|

converge. Entonces también converge la integral impropiaRb

a f

La clave de la demostración es la condición de Cauchy.

Para analizar la convergencia de una integral impropia con integrandof de signo no constante, lo primero es sustituirf por|f|y aplicar los criterios de comparación. Pero...

no basta sólo con eso

Ejemplos de integrales convergentes, aunque no absolutamente

Z ∞ 0 senx x dx Z ∞ 0 senx2dx

Estos ejemplos son casos particulares de teoremas más generales (ver bibliografía), pero exceden los contenidos de este curso. Podemos usar_Maximapara experimentar las afirmaciones.

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Convergencia absoluta

Proposición (Convergencia absoluta implica convergencia)

Sea f : [a,b)−→Rcon b≤ ∞y supongamos que la integral impropiaRab|f|

converge. Entonces también converge la integral impropiaRb

a f

La clave de la demostración es la condición de Cauchy.

Para analizar la convergencia de una integral impropia con integrandof de signo no constante, lo primero es sustituirf por|f|y aplicar los criterios de comparación. Pero... no basta sólo con eso

Ejemplos de integrales convergentes, aunque no absolutamente

Z ∞ 0 senx x dx Z ∞ 0 senx2dx

Estos ejemplos son casos particulares de teoremas más generales (ver bibliografía), pero exceden los contenidos de este curso. Podemos usar_Maximapara experimentar las afirmaciones.

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Bibliografía

J. M. Mira; B. Cascales y S. Sánchez-Pedreño http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-i-2009