Libro de Texto Agosto 2021 Enero 2022 Álgebra

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche

Libro de Texto

Agosto 2021 – Enero 2022

Plantel: ___________________________________________

Nombre del Alumno: __________________________________

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Carrera: __________________________________________

Semestre: _ Grupo:

Álgebra

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Eje: Pensamiento aritmético al lenguaje algebraico.

Componentes: Patrones, simbolización y generalización, elementos de algebra básica.

Contenido central: Uso de las variables y las expresiones algebraicas, usos de los números y sus propiedades, conceptos básicos del lenguaje algebraico.

Contenido específico:

• Resolución de ecuaciones lineales en textos diversos: ¿qué caracteriza a la solución?

• Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, en estrecha conexión con la función lineal: ¿qué caracteriza al punto de intersección?, ¿siempre existe solución?

• Ecuaciones cuadráticas en una variable y su relación con la función cuadrática.

Interpretación geométrica y algebraica de las raíces. Tratamiento transversal con el tiro parabólico y los máximos y mínimos de una función cuadrática. ¿Cómo se interpreta la solución de una ecuación lineal y las soluciones de una ecuación cuadrática?

Aprendizajes esperados:

1. Significa, gráfica y expresa algebraicamente, las soluciones de una ecuación.

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Ecuaciones lineales con una incógnita

¿Qué es una ecuación?

Es una expresión algebraica que incluye:

una o varias incógnitas, representadas con letras (comúnmente las últimas del alfabeto x, y, z)

una o varias constantes, representadas con números (o con letras diferentes a las de las incógnitas)

uno o varios operadores, que indican la relación entre las incógnitas y las constantes un signo igual, que indica que el valor de lo que está a la derecha es idéntico al valor de lo que está a la izquierda

A la expresión algebraica que está a cada lado del igual se le llama miembro de la ecuación. Por tanto, hay un miembro derecho y un miembro izquierdo en cada ecuación.

Existen ecuaciones de muy diversos tipos. Se distinguen entre sí por las operaciones que unen o afectan a sus elementos. Aquí presento algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita. La x representan a la incógnita y a, b, c, d representan a las constantes. En una ecuación lineal, la incógnita está elevada a la primera potencia, en una cuadrática, la incógnita está elevada al cuadrado, en una racional, la incógnita debe estar en el denominador de una fracción, en una radical, la incógnita debe estar dentro del signo del radical.

Esta entrada la dedicaré solamente a la solución de ecuaciones lineales con una incógnita, en las cuales sólo hay una incógnita elevada a la primera potencia. Son ecuaciones que se pueden llevar a la forma ax + b = 0, donde a no puede ser cero, pero b sí

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¿Para qué sirve una ecuación?

Una ecuación expresa las relaciones entre valores conocidos (constantes) y desconocidos (incógnitas) y permite, mediante ciertas operaciones algebraicas, identificar el valor de las incógnitas.

Las ecuaciones pueden ser algo puramente matemático, abstracto, o pueden ser la representación de un problema concreto. En el primer caso, resolverlas es una tarea matemática que ejercita la mente. En el segundo caso, resolverlas ayuda a encontrar la solución a un problema.

¿Qué significa resolver una ecuación?

Resolver una ecuación NO es “hallar x“.

Es encontrar el(los) valor(es) de la(s) incógnita(s) para el(los) cual(es) se cumple la igualdad. A esos valores también se le llaman soluciones o raíces de la ecuación.

Como al encontrar dicho valor llegamos a una expresión como esta: x = 9, suele decirse también que resolver una ecuación es “despejar la x”, es decir, dejarla sola a un lado del igual mientras su valor está al otro lado del igual.

Ojo: “despejar x” NO significa “quitarle” el coeficiente y el exponente. Significa que éstos valgan 1. Decir x = 9 significa que una equis elevada a la potencia uno vale nueve.

Todas las soluciones a las ecuaciones se pueden comprobar si se sustituye, en la expresión original, la incógnita por cada solución y se verifica que los valores de las expresiones a ambos lados del igual sean idénticos.

Algunos estudiantes consideran que su trabajo terminó cuando obtuvieron el valor de la incógnita. Yo animo a mis alumnos a que siempre comprueben sus respuestas.

Considero que les ayuda a ser disciplinados en verificar su trabajo y les da la ventaja de saber que ese ejercicio está bien resuelto.

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?

Buena pregunta, lo cual significa que la respuesta no es sencilla. La cantidad de soluciones depende de la estructura de la ecuación.

En la primera sección presenté ejemplos de ecuaciones lineales, cuadráticas, racionales y radicales. Ahora agregaré que a las ecuaciones lineales también se les puede llamar ecuaciones de primer grado, a las cuadráticas de segundo grado y así sucesivamente conforme el exponente más grande de la expresión aumente:

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Tomando una versión simplificada del Teorema Fundamental del Álgebra, se puede considerar que una ecuación de primer grado tiene una solución, una de segundo grado tiene dos soluciones, una de tercer grado tiene tres soluciones y así sucesivamente. Sólo que esas las soluciones no necesariamente son distintas y no necesariamente son números reales. Puede haber soluciones repetidas o puede haber soluciones que son números complejos.

O, según el planteamiento inicial, puede no haber soluciones o haber un número infinito de ellas. Necesitamos avanzar más en esta entrada para entenderlo. Lo explicaré al final.

En las ecuaciones no polinómicas, el número de soluciones ya no tiene relación directa con el mayor exponente, depende de otros aspectos que no abordaré en esta entrada.

¿Cuáles son las operaciones con las que se resuelve una ecuación que es lineal desde el origen?

Existen ecuaciones que no son lineales de origen, pero que en alguno de los pasos de solución se convierten en lineales. Esas las veremos en otra ocasión.

En esta entrada, hablaremos sobre las ecuaciones que son lineales de origen y que se resuelven mediante las operaciones inversas y los elementos neutros.

Al principio escribiré todos los pasos que llevan a la solución, para que se observe claramente qué está ocurriendo.

**La operación contraria a la suma es la resta. Si hay una constante sumada a la incógnita, se resta a ambos lados de la ecuación:

x + 3 = 5 planteamiento original

x + 3 – 3 = 5 – 3 restar 3 a ambos lados de la ecuación

x + 0 = 2 queda el elemento neutro de la suma del lado de la incógnita x = 2 ecuación resuelta

Comprobación: 2 + 3 = 5 -> 5 = 5

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**La operación contraria a la resta es la suma. Si hay una constante restada a la incógnita, se suma a ambos lados de la ecuación:

x – 3 = 2 planteamiento original

x – 3 + 3 = 2 + 3 sumar 3 a ambos lados de la ecuación

x – 0 = 5 queda el elemento neutro de la resta del lado de la incógnita x = 5 ecuación resuelta

Comprobación: 5 – 3 = 2 -> 2 = 2

**La operación contraria a la multiplicación es la división:

OJO: si el coeficiente de la x es negativo, debe dividirse a ambos lados del igual entre ese número, con todo y su signo.

**La operación contraria a la división es la multiplicación:

Cada paso del proceso de solución lleva a una ecuación equivalente a la anterior (que tiene las mismas soluciones).

¿Cómo resolver una ecuación lineal con más elementos?

Para resolver una ecuación lineal más compleja, es necesario primero realizar las sumas y restas necesarias para que dé un lado de la ecuación quede la incógnita con su coeficiente y del otro lado quede la constante. Se pueden hacer varias operaciones en cada paso, para ahorrar tiempo. Después, sólo es necesario dividir entre el coeficiente de la incógnita para terminar de resolver la ecuación.

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Veamos algunos ejemplos y los cuidados que es necesario tener en cada caso. Omitiré el paso del elemento neutro para abreviar:

**Cuando el coeficiente de la x queda 1 después de las sumas y restas:

3x + 6 = 2x + 8 planteamiento original

3x – 2x + 6 – 6 = 2x – 2x + 8 – 6 se resta 2x y 6 a cada lado del igual

x = 2 el coeficiente de la x ya es 1, ecuación resuelta Comprobación: 3 * 2 + 6 = 2 * 2 + 8 -> 12 = 12

**Cuando el coeficiente de la x de la derecha es mayor, podemos decidir que las x queden del lado derecho para evitar la división entre un número negativo. Llegar a x

= 2 es exactamente lo mismo que llegar a 2 = x.

2x + 8 = 3x + 6 planteamiento original

2x – 2x + 8 – 6 = 3x – 2x + 6 – 6 se resta 2x y 6 a cada lado del igual 2 = x ecuación resuelta

Comprobación: 2 * 2 + 8 = 3 * 2 + 6 -> 12 = 12

Nota: Al restar 3x – 2x = x estamos haciendo una “reducción de términos semejantes”, es decir, sumando y restando términos que tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes.

**Siempre debemos considerar que las multiplicaciones y divisiones son por TODO el lado de la ecuación.

Así se resolvería esta ecuación primero haciendo las restas 2x + 8 = 6

2x + 8 – 8 = 6 – 8 2x = -2

2x / 2 = -2 / 2 x = -1

Comprobación: 2 * (-1) + 8 = 6 -> 6 = 6

Así se resolvería primero haciendo las divisiones:

2x + 8 = 6

2x / 2 + 8 / 2 = 6 / 2 x + 4 = 3

x + 4 – 4 = 3 – 4 x = – 1

Comprobación: 2 * (-1) + 8 = 6 -> 6 = 6

El segundo procedimiento es más propenso al error, por incluir varias divisiones y porque se corre el riesgo de no dividir todos los términos entre 2.

Veamos un ejemplo sin escribir todos los pasos:

4x + 1 = 2x + 9

2x = 8 Restamos 2x y 1 a ambos lados de la ecuación x = 4 Dividimos entre 2 ambos lados de la ecuación

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Ojo: la comprobación siempre debe hacerse en la expresión original, porque si la hacemos en una posterior y tuvimos un error para llegar a ella, no nos daremos cuenta:

4 (4) + 1 = 2 (4) + 9 -> 17 = 17

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Ecuación 1

Solución

Para resolver la ecuación, debemos pasar los monomios que tienen la incógnita a un lado de la igualdad y los que no tienen la incógnita al otro lado.

Como 8 está restando en la derecha, pasa sumando al lado izquierdo:

Como x está restando en la izquierda, pasa restando a la derecha:

Ahora que ya tenemos separados los monomios con y sin la incógnita, podemos sumarlos. En la izquierda, sumamos 2+8 y, en la derecha, x+x:

Para ver con claridad el paso siguiente, escribimos 2x2x como un producto:

Para terminar, debemos pasar el coeficiente de la incógnita (el número 2 que multiplica a x) al lado izquierdo. Como el número 2 está multiplicando, pasa dividiendo:

Simplificando la fracción,

Actividades de aprendizaje

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Por tanto, la solución de la ecuación es x = 5. Para comprobar la solución, sustituimos x por 5 en la ecuación:

Como hemos obtenido una igualdad verdadera (-3 es igual a -3), la solución es correcta.

Si, por el contrario, obtenemos una igualdad falsa, significa que hemos cometido algún error en la resolución de la ecuación.

Ecuación 2

Solución

Escribimos en la izquierda los términos que tienen la incógnita y en la derecha los que no la tienen:

Simplificamos ambos lados:

Hemos obtenido una obviedad. Esto significa que la incógnita puede tomar cualquier valor. Por tanto, todos los números reales son solución de la ecuación:

Comprobamos que la ecuación se cumple para cualquier número. Sustituimos, por ejemplo, x=1 en la ecuación:

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Ecuación 3

Solución:

En esta ecuación tenemos un paréntesis. Un paréntesis sirve para representar que una misma operación se aplica a un grupo de monomios. El número que está delante del paréntesis está multiplicándolo, así que podemos escribir la ecuación como

En la ecuación, el paréntesis nos dice que debemos multiplicar los monomios 1 y 2x por 2.

Por tanto, podemos eliminar el paréntesis escribiendo su significado:

Calculamos los productos:

Finalmente, resolvemos la ecuación anterior:

Por tanto, la solución de la ecuación es x = 2.

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Ecuación 4

Solución

Eliminamos el paréntesis al igual que hicimos en la Ecuación 5, pero debemos tener en cuenta que el signo del número que multiplica al paréntesis es negativo:

Recordad que el cociente de dos números negativos es un número positivo.

Ecuación 5

Solución

Si multiplicamos por 3 la ecuación, desaparecen las fracciones cuyo

denominador es 3. Pero quedará la fracción cuyo denominador es 2. Para eliminar los denominadores de un solo paso, multiplicamos la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Por tanto, multiplicamos por 6 la ecuación:

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Ecuación 6

Solución

Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar la fracción de la izquierda:

Como el paréntesis está multiplicado por 1, es como si no estuviera:

Problemas de ecuaciones lineales con una incognita

1. En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Planteamiento:

Base: x+18 (mide 18 cm más que la altura) Altura: x (desconocemos la longitud de la altura)

x

x+18 Ecuación: “el perímetro mide 76 cm” (suma de sus lados)

x + x + (x + 18) + (x + 18) = 76

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Resolución:

x + x + (x + 18) + (x + 18) = 76 4x = 76 – 18

4x = 40 x = 40/4 = 10

Solución:

Base: x+18 = 28 cm Altura: x = 10 cm

10 cm

28 cm

El perímetro es la suma de sus lados, 28+28+10+10 = 76 cm

2. Tres hermanos se reparten 1300e. El mayor recibe doble que el mediano y este el cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?

Planteamiento:

Hermano mayor: 2 (4x) (doble que el mediano) Hermano mediano: 4x (4 veces lo del pequeño)

Hermano pequeño: x (llamamos “x” a lo que recibe el pequeño) Ecuación: “Tres hermanos se reparten 1300e”

8x+4x+x=1300 Resolución:

8x+4x+x=1300 13x=1300 x=1300/13=100

x=100 Solución:

Hermano mayor: 2 (4x) = 8.100= 800 Hermano mediano: 4x = 4. 100= 400 Hermano pequeño: x = 100

La suma de las tres cantidades corresponde a la suma total, 1300e.

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3. Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo?

Planteamiento:

Años transcurridos= X

Ahora Futuro

Padre 47 años 47+x

Hijo 11 años 11+x

Ecuación: “la edad del padre (47+x) sea (=) triple que la del hijo 3. (x+11)”

(47+x) = 3.x+11) Resolución:

(47+x) = 3(x+11) 47+x=3x+33 47-33=3x-x 14x=2x x=14/2=7 Solución:

X= 7 años transcurridos

Ahora Futuro

Padre 47 años 47+7=54 años

Hijo 11 años 11+x=11+7=18 años

1. 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y R: y = -3

2. 8x - 4 + 3x = 7x + x + 14 R: x = 6

3. 5x – 5 + 32x + 48 = 6x – 21 – x R: x = -2

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

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4. Luis compró dos barras grandes de chocolate y una tarjeta de cumpleaños. La tarjeta cuesta $36. El precio total de los tres artículos fue de $90. ¿Cuál fue el precio de cada chocolate?

R: $2.36 cada barra de chocolate

5. A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

R: A = 21 años y B = 35 años

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2. Interpreta la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común.

En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas.

Una solución es todo par de números que cumple la ecuación.

Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de soluciones:

 Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son dos rectas que se cortan en un punto.

 Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden.

 Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.

Existen diferentes métodos de resolución:

 Sustitución.

 Reducción.

 Igualación.

Sistema de ecuaciones: método de sustitución:

A través del método de sustitución lo que debemos hacer es despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la siguiente. Lo veremos con más detalle más adelante en el siguiente ejemplo:

Sistema de ecuaciones: método de reducción:

Con el método de reducción lo que hacemos es combinar, sumando o restando, nuestras ecuaciones para que desaparezca una de nuestras incógnitas.

Lo veremos con más detalle más adelante en el siguiente ejemplo:

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Sistema de ecuaciones: método de igualación:

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar los resultados.

Lo veremos con más detalle más adelante en el siguiente ejemplo:

En primer lugar, antes de comenzar a practicar los problemas de sistemas de ecuaciones debemos tener en cuenta una serie de consejos que nos serán útiles:

Para resolver los problemas de sistemas de ecuaciones debemos:

 Antes de comenzar, realizar una lectura detenida del mismo. Familiarizarnos con los problemas de sistemas de ecuaciones es clave antes de empezar.

 Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problema que se nos plantea, debemos realizar el planteamiento de este.

 Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o una representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema.

 Para plantear las ecuaciones volveremos al problema y debemos “traducir” el mismo a una expresión algebraica.

 En este tipo de problemas con más de una incógnita debemos encontrar tantas ecuaciones como incógnitas se nos presenten. Es decir, si tenemos dos incógnitas debemos encontrar dos ecuaciones, si tenemos tres, tres ecuaciones.

 El siguiente paso es resolver el sistema de ecuaciones.

 Por último y muy importante, debemos interpretar la solución.

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Resolución de los Problemas de Sistemas de Ecuaciones

En un aparcamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de ruedas es de 170. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay?

Datos:

Coches: x Motos: y

Planteamos el sistema de ecuaciones: (Traducimos a lenguaje algebraico) x + y = 55

4x + 2y = 170

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el Método de Sustitución:

Despejamos x en 1ª Ecuación: x = 55 – y (1)

Sustituimos en la 2ª Ecuación: 4 (55 – y) + 2y = 170 Resolvemos la Ecuación: 220 – 4y + 2y = 170 – 4y + 2y = 170 – 220 – 2y = – 50

y = −50 /−2

y = 25

Sustituimos y = 25 en (1) para calcular x:

x = 55 – 25 x = 30

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Solución: Coches: 30 Motos: 25

Comprobación: 30 coches 30 coches · 4 ruedas = 120 ruedas + 25 motos + 25 motos · 2 ruedas = 50 ruedas 55 vehículos 170 ruedas

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EJEMPLOS:

Sistema de ecuaciones: método de sustitución:

Ahora veremos con más detalle la solución en el siguiente ejemplo:

Lo primero que hacemos es despejamos una de las incógnitas en la primera ecuación.

x+y=7 x= 7-y

Posteriormente, sustituimos en la segunda ecuación el valor correspondiente de la «x».

5x-2y=-7 5(7-y)-2y=-7 Ahora, despejamos la «y».

35-5y-2y=-7 35-7y=-7 -7y=-7-35

-7y=-42 y=-42/-7=6

y=6

Por último, utilizamos el valor de «y» para hallar el valor de «x».

x= 7-y x=7-6=1

x=1

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.

Actividades de aprendizaje

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Sistema de ecuaciones: método de reducción:

En primer lugar, necesitamos preparar las dos ecuaciones, si es necesario, multiplicándolas por los números que convenga.

En este caso, queremos reducir la «y» de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera ecuación por 2.

2(x+y=7) 5x-2y=-7 Así, el sistema se queda:

Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos desaparece.

Y nos quedaría:

7x=7 x=7/7=1

x=1

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Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales.

y= 7-x y=7-1=6

y=6

Sistema de ecuaciones: método de igualación:

En primer lugar, elegimos la incógnita que deseamos despejar. En este caso, empezaré por la «x» y despejo la misma en ambas ecuaciones.

x+y=7; x=7-y

5x-2y=-7; 5x=2y-7; x=(2y-7)/5 Una vez hemos despejado, igualamos:

7-y=(2y-7)/5 5(7-y=(2y-7)/5)

35-5y=2y-7 42=7y y=42/7=6

y=6

Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales.

x=7-y x=7-6=1

x=1

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Otros ejemplos serian

Ejemplo 1. Método de Sustitución

Solución 1. Aislamos una incógnita

Vamos a aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo tenemos que pasar el 4 restando al otro lado:

Ya tenemos aislada la incógnita x.

2. Sustituimos la incógnita en la otra ecuación

Como tenemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en lugar de la x en la segunda ecuación (sustituimos la x):

Observad que hemos utilizado paréntesis porque el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

Ya sabemos una incógnita: y=3.

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo:

Al despejar la incógnita x teníamos

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Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:

Por tanto, la otra incógnita es x=2.

La solución del sistema es

Ejemplo 2 Método de Reducción

Solución 1. Comprobamos los coeficientes

Hay que asegurarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las incógnitas desaparece:

 Escogemos una incógnita a eliminar: la y.

 Sus coeficientes son -1 (en la primera) y 1 (en la segunda).

 Como son iguales y de signo contrario, sumaremos las ecuaciones.

Nota: si ninguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, podemos multiplicar cada ecuación por el número distinto de 0 que sea necesario para conseguirlo. Un ejemplo de esto lo podemos encontrar en el Problema 2.

2. Sumamos o restamos las ecuaciones Sumamos las ecuaciones para eliminar la y:

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3. Resolvemos la ecuación obtenida

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo

Sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:

Ejemplo 3 Método de Igualación

Ejemplo 1. Aislamos una incógnita en las dos ecuaciones Escogemos aislar la incógnita x:

2. Igualamos las expresiones

Como x=x, podemos igualar las expresiones obtenidas:

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3. Resolvemos la ecuación

Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo

Sustituimos el valor de la incógnita y en alguna de las expresiones calculadas anteriormente (la primera, por ejemplo):

Ressolucion de problemas de ecuaciones lineales con dos incognitas (Distintos metodos de solucion)

1. Miguel es mayor que su hermana María. Dentro de 3 años, la edad de María será la edad que tiene ahora Miguel y, dentro de 10 años, la edad de Miguel será el doble de la edad que tiene María. ¿Qué edades tienen los hermanos?

Solución Incógnitas:

 x es la edad de María

 y es la edad de Miguel Ecuaciones:

La edad de María dentro de 3 años es x+3x+3, que es la misma que la edad de Miguel:

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La edad de Miguel dentro de 10 años es y+10y+10, que es el doble de la edad de María:

Sistema de ecuaciones:

La edad de María es 13 y la de Miguel es 16

2. Un rectángulo tiene perímetro 8 metros y su altura es el triple que su base. ¿Cuál es la altura del rectángulo?

 x es la base

 y es la altura Ecuaciones:

La altura es el triple que la base:

El perímetro es la suma de sus cuatro lados:

Es decir,

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Por tanto, la altura mide 3 metros

3. Un equipo de básquet anotó un total de 55 canastas, obteniendo 125 puntos. ¿Cuántos tiros de campo (2 puntos) y triples (3 puntos) realizaron?

 xx es el número de tiros de campo

 yy es el número de tiros triples Ecuaciones:

La suma total de tiros es 55

El tiro de campo suma 2 puntos y el triple suma 3, siendo 125 el total de puntos:

El equipo realizó 40 tiros de campo y 15 triples.

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4. Juana mide 23cm más que Guadalupe y la altura promedio de ambas amigas es 151.5cm. ¿Cuánto mide Guadalupe?

 x es la altura de Juana

 y es la altura de Guadalupe Ecuaciones:

La altura promedio es 151.5:

Juana mide 23cm más que Guadalupe:

Juana mide 163cm.

5. Hace 5 años, la edad de Maribel era la cuarta parte de la edad de su madre. Dentro de 5 años, su edad será la mitad que la de su madre. ¿Qué edad tiene Maribel?

 xx es la edad actual de Maribel

 yy es la edad actual de la madre

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Ecuaciones:

Hace 5 años, las edades de Maribel y de su madre eran x−5x−5 e y−5y−5. La edad de la hija era la cuarta parte:

Dentro de 5 años, serán x+5x+5 e y+5y+5. La edad de la hija será la mitad:

Maribel tiene 10 años.

x + 2y = 6 1.

2x – 3y = 5 R: x = 1; y = -1

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x + 3y = 13 2

x + 4y = 18 R: x = -2; y = 5

3x + 2y = 4

3.

x – y = 8 R: x = 4; y = -4

4. Fernando y Guillermo trabajan en una tienda por las mañanas y de jardinero por las tardes, pero no todos los días realizan los dos trabajos. A Fernando le pagaron 390 pesos por trabajar

3 días en la tienda y 4 días como jardinero.

A Guillermo le pagaron 610 pesos por trabajar 5 días en la tienda y 6 días como jardinero.

¿Cuánto gana cada uno al día en la tienda y cuanto como jardinero?

R = $50 en la tienda, $60 como jardinero

5. Luis compro 5 cuadernos y 4 plumones y pago en total $84.00. Si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $6.00. ¿Cuánto le costó cada cuaderno y cada Plumón?

R: cada cuaderno le costó $12 y cada plumón $6

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}

3. Simboliza y generaliza fenómenos lineales y fenómenos cuadráticos mediante el empleo de variables.

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FORMÚLA GENERAL PARA ECUACIONES CUADRÁTICAS

INTRODUCCIÓN En lecciones anteriores se han mencionado algunas técnicas para resolver ecuaciones de segundo grado, las cuales van desde el tanteo hasta la factorización. Sin embargo, existen ecuaciones cuadráticas que no pueden resolverse con dichas técnicas. Existe una técnica llamada fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de segundo grado que funciona con cualquier ecuación.

Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax² + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática. Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0. Recuerda que una raíz cuadrada posee siempre dos valores, uno positivo y uno negativo. De manera que cuando utilices la fórmula general debes completar ambos signos por separado.

NOTA: En la fórmula general al radicando de la raíz se le denomina discriminante de la ecuación, el discriminante proporciona información valiosa acerca de las soluciones:

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EJEMPLOS

Utilizar este método es muy sencillo, dado que solo debemos igualar las ecuaciones a cero y sustituir los valores de a,b,c en la formula general.

Al resolver una ecuación de segundo grado, pueden ocurrir 3 cosas:

 Existen 2 valores para la variable x que satisfacen la ecuación.

 Existe una única solución.

 La solución no pertenece al conjunto de los números Reales.

Resuelve los siguientes ejercicios 1.

Solución

La ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

2.

Actividades de aprendizaje

(39)

Solución

Multiplicamos los dos miembros por −1 para obtener una ecuación equivalente con a >

0

La ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

3.

Solución

La ecuación tiene una solución doble.

4.

Solución

(40)

La ecuación no tiene soluciones reales

5.

Solución

La ecuación tiene una solución doble.

Para resolver los problemas de ecuaciones de segundo grado debemos:

 En primer lugar, realizar una lectura detenida del mismo. Antes de empezar debemos familiarizarnos con los problemas de ecuaciones de segundo grado.

 Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problema que se nos plantea.

Debemos realizar el planteamiento del mismo.

 Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o una representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema.

 Para plantear la ecuación volveremos al problema y debemos “traducir” el mismo a una expresión algebraica.

 El siguiente paso es resolver la ecuación.

 Por último y muy importante, es interpretar la solución. En este tipo de problemas tenemos que buscar la solución acorde a lo que nos pide el enunciado. Nos pueden dar dos soluciones y no siempre las dos son la correcta.

(41)

(42)

EJEMPLO 2: La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 724, hallar los números.

EJEMPLO 3: Hallar dos números positivos, sabiendo que uno es el triple del otro más cinco y que el producto de ambos es igual a 68.

(43)

EJEMPLO 4: Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

(44)

1. 3x²– 5x + 2 = 0 R: x1 = 1; x2 = 2/3

2. 4x²+ 16x + 7 = 0 R: x1 = -1/2; x2 = -7/2

3. x²– 2x = 3 R: x1 = 3; x2 = -1

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4. En la parte central de un terreno rectangular de 8 metros de ancho y 16 metros de largo, se construirá una alberca que cubrirá un área de 48 metros cuadrados de modo que alrededor de esta haya una banqueta de ancho constante.

¿Cuánto medirá el ancho de la banqueta?

16m

8m Alberca 48 m²

R: El ancho de la banqueta es: a₁ = 10 m.; a₂ = 2 m.

5. El departamento de marketing de una compañía editorial importante planea elaborar un anuncio rectangular grande para anunciar un libro nuevo durante una convención.

Quieren que el largo del anuncio sea 3 pies mayor que el ancho. Los anuncios en la convención tienen un área máxima de 54 pies.

Encuentre el largo y ancho del anuncio si el área ha de ser de 54 pies cuadrados.

R: x1 = -9; x2 = 6, por lo tanto:Largo 9 pies y ancho 6pies

(46)

CARPETA DE EVIDENCIAS TERCER PARCIAL Semestre: Agosto 2021 – Enero 2022

EVIDENCIA

Nombre del alumno: ____________________________________________________

Grupo: ____________________ Especialidad: _____________________________

Aprendizaje Esperado 1: Simboliza y generaliza fenómenos lineales mediante el empleo de variables. (Ecuaciones Lineales con una variable).

Producto Esperado: Ejercicios resueltos correctamente de ecuaciones lineales con una incógnita.

1. Determina el valor de la variable en la siguiente expresión algebraica (Anexa el procedimiento)2𝑥 − [𝑥 − (𝑥 − 50)] = 𝑥 − (800 − 3𝑥)

2. Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51. (Anexa el procedimiento)

3. Si un rectángulo tiene 6 unidades más largo que de ancho y su perímetro vale 40 m.

¿Cuáles son sus dimensiones? x= valor del ancho es la incógnita. (Anexa el procedimiento)

Propósito: Que el estudiante aprenda a identificar, analizar y comprender el uso del lenguaje algebraico en una diversidad de contextos; es decir, que logre significarlo mediante su uso.

Instrucciones para el alumno: De manera individual el alumno resolverá los siguientes ejercicios propuestos y lo enviara al docente como evidencia para ser calificado, en total son 10 puntos y el alumno deberá anexar en hojas blancas los procedimientos correctos que justifiquen cada ejercicio. Escribir su nombre completo, especialidad y grupo utilizando solo pluma negra y lápiz para la solución del ejercicio.

No deberá contener tachones o rayones. Deberá entregar sus evidencias en Tiempo y Forma.

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Aprendizaje Esperado: 2. Interpreta la solución de un sistema de ecuaciones lineales

Producto Esperado:

Ejercicios resueltos correctamente de sistemas de ecuaciones lineales con 2 variables por el método de suma y resta (Por reducción).

4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Utiliza un método de eliminación. (Anexa el procedimiento).

{5𝑥 + 7𝑦 = 1 3𝑥 + 2𝑦 = 5

5. El costo total de 5 borradores y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 borradores iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

Utiliza un método de eliminación. (Anexa el procedimiento).

6. Francisco guardo en un garrafón 357 monedas de $10 y de $5, el valor total es de

$3,160. Con la información dada, procedemos a responder ¿cuántas monedas de $10 y

$5 juntó? Utiliza un método de eliminación. (Anexa el procedimiento).

Aprendizaje Esperado: 3. Simboliza y generaliza fenómenos lineales y fenómenos cuadráticos mediante el empleo de variables

Producto Esperado: Ejercicios resueltos correctamente de ecuaciones cuadráticas por formula.

Por medio de la Formula General:

7. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0 (Anexa el procedimiento).

8. Acomoda correctamente los términos cuadrático, lineal e independiente y resuelve la siguiente ecuación cuadrática: 2x – 3 = 1 – 2x + x² (Anexa el procedimiento).

9. Para valla r una finca rectan gu lar d e 750 m² se han u tilizado 110 m de cerca. Ca lcula las dimensiones de la finca. (Anexa el procedimiento)

10. El largo de un rectángulo mide 6 metros (m) más que su ancho como lo muestra la figura. Su área es de 280 m², calcula sus dimensiones (Anexa el procedimiento).

(x) m

(x + 6) m

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1. Significa, gráfica y expresa algebraicamente, las soluciones de una ecuación.

2. Interpreta la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

3. Simboliza y generaliza fenómenos lineales y fenómenos cuadráticos mediante el empleo de variables.

Ejercicios resueltos de ecuaciones lineales con una incógnita. Se pueden entregar en WhatsApp o en Google Classroom.

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales con 2 variables por el método de suma y resta (Por reducción). Se pueden entregar en WhatsApp o en Google Classroom.

Ejercicios resueltos de ecuaciones cuadráticas por formula general. Se pueden entregar en WhatsApp o en Google Classroom.

CRITERIOS A VALORAR SI NO OBSERVACIONES

1. Realiza cálculos y procedimientos apropiados para la clasificación de variables e incógnitas. (5 puntos) 2. Evalúa funciones lineales aplicando la sustitución y realizando las operaciones de manera adecuada.

(10 puntos)

3. Resuelven problemas de la vida cotidiana en su contexto, mediante las ecuaciones de primer grado.

(10 puntos)

4. Plantea y realiza cálculos para encontrar los valores de variables e incógnitas del sistema de ecuaciones.

(5 puntos)

5. Analiza y evalúa correctamente las ecuaciones del sistema con lenguaje algebraico (10 puntos)

6. Sigue el procedimiento establecido para resolver las problemáticas que se presentan con las operaciones fundamentales en un sistema de ecuaciones (10 puntos)

7. Realiza cálculos y procedimientos apropiados para encontrar los valores de las incógnitas en un sistema de ecuaciones cuadráticos. (5 puntos)

8. Plantean y resuelve correctamente las ecuaciones cuadráticas utilizando la formula general. (10 puntos) 9. Utilizan las ecuaciones para facilitar el planteamiento y resolución de problemas de la vida

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real, interpretando la solución obtenida dentro del contexto del problema. (10 puntos)

10. La evidencia se presentan con limpieza y legibilidad y la entrega en tiempo y forma. (25 puntos)

TOTAL DE PUNTOS

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.

(50)

BIBLIOGRAFÍA

Álgebra Elemental. Allen R. Angel

Álgebra. Baldor, Aurelio. Grupo Editorial Patria, 2da Edición.

Álgebra Elemental. Richard N. Aufman / Joanne S. Lockwood

Álgebra. Contreras Riquelme, Teresa Edda, Gafra Editores, 2da Edición.

Aritmética y Álgebra, Fuenlabrada de la Vega Trucíos, Samuel; Fuellabrada Velázquez, Irma Rosa. (2014). México. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta Edición.

Matemáticas I. Cuéllar Carvajal, Juan Antonio. Editorial McGraw-Hill, 3ra Edición.

Libro de Texto Agosto 2021 Enero 2022 Álgebra

Libro de Texto

Agosto 2021 – Enero 2022

Plantel: ___________________________________________

Nombre del Alumno: __________________________________

_________________________________________________

Carrera: __________________________________________

Semestre: _______ Grupo: ______

Álgebra

Ecuaciones lineales con una incógnita

¿Qué es una ecuación?

¿Para qué sirve una ecuación?

¿Qué significa resolver una ecuación?

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?

¿Cuáles son las operaciones con las que se resuelve una ecuación que es lineal desde el origen?

¿Cómo resolver una ecuación lineal con más elementos?

Ecuación 1

Actividades de aprendizaje

Ecuación 2

Ecuación 3

Ecuación 4

Ecuación 5

Ecuación 6

Problemas de ecuaciones lineales con una incognita

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2

Sistema de ecuaciones: método de sustitución:

Sistema de ecuaciones: método de reducción:

Sistema de ecuaciones: método de igualación:

Resolución de los Problemas de Sistemas de Ecuaciones

EJEMPLOS:

Sistema de ecuaciones: método de sustitución:

Actividades de aprendizaje

Sistema de ecuaciones: método de reducción:

Sistema de ecuaciones: método de igualación:

Ejemplo 1. Método de Sustitución

Ejemplo 2 Método de Reducción

Ejemplo 3 Método de Igualación

Ressolucion de problemas de ecuaciones lineales con dos incognitas (Distintos metodos de solucion)

3x + 2y = 4

FORMÚLA GENERAL PARA ECUACIONES CUADRÁTICAS

EJEMPLOS

Actividades de aprendizaje

CARPETA DE EVIDENCIAS TERCER PARCIAL Semestre: Agosto 2021 – Enero 2022

EVIDENCIA

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