1. Halla tres números naturales consecutivos sabiendo que su suma es 108.
Tres números consecutivos x ,x+1 ,x+2
x+(x+1)+(x+2)= 108 → 3x+3 = 108 → 3x = 105 → x=35 Los números son 35,36 y 37
2. Una bodega exportó en enero la mitad de sus barriles, y a los dos meses, un tercio de los que quedaban. ¿Cuántos barriles tenía al comienzo si ahora hay 40.000 barriles?
x= número de barriles que había al principio En Enero exporto x/2 → le quedaban x/2 Dos meses después exporto 1/3 de x/2= x/6
x= x/2+x/6+40.000 → 6x=3x+x+ 240.000 → 2x= 240.000 → x = 120.000 Había 120.000 barriles.
3. Claudia y su madre se llevan 26 años .¿Cuántos años tienen ahora si
dentro de 10 años la edad de la madre será el triple que la edad de Claudia?
x= edad de Claudia x+26=Edad madre Edad Claudia dentro de 10 años x+10 Edad madre dentro de 10 años x+36
x+36= 3(x+10) → x+36 =3x+30 → 36-30= 3x-x → 6=2x → x=3 Claudia tiene 3 años y su madre 29
4. Luís tiene 92 monedas de 1, 2 y 5 céntimos. Calcula cuántas monedas tiene de cada tipo si las monedas de 1 céntimo son la tercera parte de las de 5 céntimos, y estas son el quíntuplo de las monedas de dos céntimos. ¿Cuánto dinero tiene?
x=número de monedas de 2 céntimos.
5x=número de monedas de 5 céntimos.
5x/3 = número de monedas de 1 céntimo.
x+5x+5x/3=92 →3x+15x+5x=276 →23x=276 → x= 12
Tiene 12 monedas de 2 céntimos, 60 monedas de 5 céntimos y 20 monedas de 1 céntimo.
2·12+5·60+20= 24+300+20=344.Tiene 344 céntimos = 3,44 €
5. Laura ha comprado una falda y una blusa por 66 €. Ambas tenían el mismo precio, pero en la falda le han hecho un 20 % de rebaja, y en la blusa, solo un 15 %.
¿Cuánto costaba cada prenda?
x= precio de la falda= precio de la blusa x-20%x= 0,8x precio de la falda rebajada x-15%x=0,85x precio de la blusa rebajada
0,8x+0,85x=66 →1,65x=66 → x=66/1,65= 40.Cada prenda costaba 40€.
6.Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale un autobús de la ciudad B y una moto de la ciudad A y los dos van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:
6.1.) El tiempo que tardarán en encontrarse.
6.2.) La distancia recorrida por cada uno.
6.3.) Hora del encuentro.
Llevan la misma dirección y mismo sentido
En este caso tenemos que tener en cuenta que la velocidad de acercamiento ,v, es igual a la diferencia de las velocidades de los dos móviles, v = vA - vB si vA > vB ó v = vB – vA si vA < vB
6.1.)e = 180 km. vA = 60 km/h ; vB = 90 km/h
velocidad de acercamiento , v = 90 km/h - 60 km/h = 30 km/h.
e = v·t 180 = 30 ·t t = 6. Tardan en encontrarse 6 horas
6.2). La distancia recorrida por cada uno.
eA = 90 · 6 = 540 Km. eB = 60 · 6 = 360 Km.
6.3). Hora del encuentro.
Se encontraron a las 3 de la tarde.
7. A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz, distantes entre sí 660 Km,con una velocidad de 75 km/h.A la misma hora, Natalia sale de Cádiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Tomás a una velocidad de 60 Km/h.¿A qué hora se cruzarán? ¿Y a qué distancia estarán de Cádiz?
e= 660Km
Velocidad Tomás vt=75 Km/h Velocidad Natalia vn= 60Km/h
Llevan la misma dirección y sentido contrario Velocidad de acercamiento v= 75 Km/h +60 Km/h =135Km/h
e=v·t → 660 =135·t → t= 660/135 =4,8 Tardaran en encontrarse 4,8 horas = 4horas 48 minutos
Para saber la distancia a la que están de Cádiz hay que calcular la distancia recorrida por Natalia
en=4,8·60 =288.Estaran a 288 Km de Cádiz
8.) En una pastelería a las 12 de la mañana han vendido un tercio de los pasteles que había. A las 14 horas han vendido la mitad de los que quedaban.
Por la tarde venden una sexta parte del resto, y al cerrar quedan 20 pasteles. ¿Cuántos pasteles había al comenzar la jornada?
x= número de pasteles
12 de la mañana venden 1/3 de x quedan 2/3 de x 14 horas Han vendido 1/2 de (2/3 de x)= 1/2·2/3x= 1/3x
1/3x+1/3x=2/3x han vendido hasta las 14 horas ,queda 1/3 de x Por la tarde vende 1/6 de /1/3 de x)= 1/18 x
Quedan 20 pasteles
x= 1/3x+1/3x+1/18x+20 →x-1/3x-1/3x-1/18x= 20 →18x-6x-6x-x=360 →
→ 5x= 360 → x=360/5 = 72 Había 72 pasteles
9. Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado:
9.1.) 4 x2 – 256 = 0 → 4x2 =256 → x2 = 64 → x1 = 8 ; x2 = -8 9.2.) 3 x2 + 27 = 0 → 3x2 =-27 → x2 = -9 → no tiene solución en R 9.3. ) 512 = 8 x2 → 8x2 =512 → x2 = 64 → x1 = 8 ; x2 = -8
9.4.) 5 x2 – 400 = 5 → 5x2 =405 → x2 = 81 → x1 = 9 ; x2 = -9 10. Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado:
10.1.) 9 x2 + 72 x = 0 → 9x(x+8) =0 → 9𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑥 + 8 = 0 ⇒ 𝑥 = −8 x1 = 0 ; x2 = -8
10.2.) 3 x2 = 5 x → 3 x2 - 5 x =0 →x(3x-5)=0 → 𝑥 = 0
3𝑥 − 5 = 0 ⇒ 𝑥 =5
3
x1 = 0 ; x2 = 5/3
10.3.) – x2 – 10 x = 0 → -x(x+10)=0 → 𝑥 = 0
𝑥 + 10 ⇒ 𝑥 = −10 x1 = 0 ; x2 = - 10
10.4.) 2 x2 + 4 x = x2 – 10x → 2 x2 - x2+ 4 x + 10x =0 → x2+ 14 x =0 →
→ x(x+14)=0 → 𝑥 = 0
𝑥 + 14 ⇒ 𝑥 = −14 x1 = 0 ; x2 = - 14
11. Resuelve las siguientes ecuaciones completas de segundo grado:
11.1.) (2x-1)(3x-7)=0 → 2𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 =1
2
3𝑥 − 7 = 0 ⇒ 𝑥 =7
3
x1 = 1/2 ; x2 = 7/3
11.2.) (3 x + 4) · (2x – 5 ) = 0 → 3𝑥 + 4 = 0 ⇒ 𝑥 = −4
3
2𝑥 − 5 = 0 ⇒ 𝑥 =5
2
x1 =-4/3 ; x2 = 2/2 11.3.) x2 – x – 6 = 0
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐 2𝑎
a=1 ;b=-1 ; c=-6 𝑥 =−(−1)± (−1)2−4 1 (−6)
2(1) = 1± 1+24
2 =1±5
2 = 𝑥1 =6
2= 3 𝑥2 = −4
2= −2
11.4.) 3 x2 + 4x = -1 → 3 x2 + 4x +1=0
a=3 ;b=4 ; c=1 𝑥 =−(4)± (4)2(3)2−4 3 (1)= −4± 16−12
6 =−4±2
6 = 𝑥1 =−2
6 = −1
3
𝑥2 = −−6
6 = −1
