Cálculo vectorial
Yahir Hernández Mier
Universidad Politécnica de Victoria
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre
m
Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad Coeficiente de
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad Coeficiente de
fricción del aire
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad Coeficiente de
fricción del aire
m a=F m dv
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad Coeficiente de
fricción del aire
m a=F m dv
dt =F (t , v) m dv
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad Coeficiente de
fricción del aire
m a=F m dv dt =F (t , v) m dv dt =FG+F A m dv dt =m g−γ v
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad Coeficiente de
fricción del aire
m a=F m dv dt =F (t , v) m dv dt =FG+F A m dv dt =m g−γ v dv dt =g− γv m
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad Coeficiente de
fricción del aire
m a=F m dv dt =F (t , v) m dv dt =FG+F A m dv dt =m g−γ v dv dt =g− γv m γ=0.392 Kg / s m=2 Kg
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad Coeficiente de
fricción del aire
m a=F m dv dt =F (t , v) m dv dt =FG+F A m dv dt =m g−γ v dv dt =g− γv m γ=0.392 Kg / s m=2 Kg dv dt =9.8− 0.392 v 2
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla
Modelado
Proceso de describir un fenómeno físico mediante una ecuación diferencial
Objeto en caída libre F A
FG
m
(+) (-)Objetivo: obtener una ecuación diferencial cuya solución permita calcular la velocidad del objeto respecto del tiempo
t
v
Masa del objeto
F =m a Aceleración del
cuerpo debida a la suma de las
fuerzas que actúan sobre él
Suma de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo
Segunda Ley de Newton
Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad
FG=m g Aceleración debida
a la gravedad 9.81 m/ s2
FA=−γv
Problema: pide velocidad, proporcional a la velocidad Coeficiente de
fricción del aire
m a=F m dv dt =F (t , v) m dv dt =FG+F A m dv dt =m g−γ v dv dt =g− γv m γ=0.392 Kg / s m=2 Kg dv dt =9.8− 0.392 v 2 dv dt =9.8−0.196 v
Campos direccionales
Dan información sobre la solución de una ecuación diferencial sin necesidad de resolverla FA FG
m
(+) (-)Masa del objeto Fuerza debida a la resistencia del aire
Fuerza debida a la gravedad m a=F m dv dt =F (t , v) m dv dt =FG+F A m dv dt =m g−γ v dv dt =g− γv m γ=0.392 Kg / s m=2 Kg dv dt =9.8− 0.392 v 2 dv dt =9.8−0.196 v
Graficación de campos direccionales
¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s?
dv
dt =9.8−0.196(30) dv
dt =3.92Tangente con inclinación positiva dv
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s?
dv
dt =9.8−0.196(30) dv
dt =3.92Tangente con inclinación positiva dv
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s?
dv
dt =9.8−0.196(30) dv
dt =3.92Tangente con inclinación positiva dv
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s?
dv
dt =9.8−0.196(30) dv
dt =3.92Tangente con inclinación positiva dv
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
¿Qué pasaría si en algún momento la velocidad es 30 m/s?
dv
dt =9.8−0.196(30) dv
dt =3.92Tangente con inclinación positiva dv
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD1. Grafique el campo direccional de la siguiente ecuación diferencial. Grafique también las curvas integrales para esta ecuación diferencial. Determine cómo se comportan las soluciones cuando t →∞
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD1. Grafique el campo direccional de la siguiente ecuación diferencial. Grafique también las curvas integrales para esta ecuación diferencial. Determine cómo se comportan las soluciones cuando t →∞
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD1. Grafique el campo direccional de la siguiente ecuación diferencial. Grafique también las curvas integrales para esta ecuación diferencial. Determine cómo se comportan las soluciones cuando t →∞
y '=( y2−y−2)(1− y)2
Valor de y(0) Comportamiento cuando t →∞ y (0)<1
1≤ y (0)<2
y (0)=2 y (0)>2
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD1. Grafique el campo direccional de la siguiente ecuación diferencial. Grafique también las curvas integrales para esta ecuación diferencial. Determine cómo se comportan las soluciones cuando t →∞
y '=( y2−y−2)(1− y)2
Valor de y(0) Comportamiento cuando t →∞ y (0)<1
1≤ y (0)<2
y (0)=2 y (0)>2
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD1. Grafique el campo direccional de la siguiente ecuación diferencial. Grafique también las curvas integrales para esta ecuación diferencial. Determine cómo se comportan las soluciones cuando t →∞
y '=( y2−y−2)(1− y)2
Valor de y(0) Comportamiento cuando t →∞ y (0)<1 1≤ y (0)<2 y (0)=2 y (0)>2 y →−1 y →1 y →2 y →∞
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD2. Realice un bosquejo del campo direccional para la siguiente ecuación diferencial. Realice un bosquejo de las curvas integrales
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD2. Realice un bosquejo del campo direccional para la siguiente ecuación diferencial. Realice un bosquejo de las curvas integrales
y '= y−x
Isoclinas
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD2. Realice un bosquejo del campo direccional para la siguiente ecuación diferencial. Realice un bosquejo de las curvas integrales
y '= y−x
Isoclinas
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD2. Realice un bosquejo del campo direccional para la siguiente ecuación diferencial. Realice un bosquejo de las curvas integrales
Campos direccionales
Graficación de campos direccionales
Ejemplo CD2. Realice un bosquejo del campo direccional para la siguiente ecuación diferencial. Realice un bosquejo de las curvas integrales
y '= y−x
Los campos direccionales permiten:
1. Hacer bosquejos de soluciones
Reflexiones sobre las ecuaciones diferenciales
1. Para una ecuación diferencial dada, ¿existirá una solución?
No todas las ecuaciones diferenciales tienen solución, por lo que resulta de utilidad el saber de antemano si existe una solución o no
2. Cuando una ecuación diferencial tiene solución, ¿cuántas soluciones tiene?
Una ecuación diferencial puede tener más de una solución
Existencia de la solución
Unicidad de la solución
3. Si una ecuación diferencial tiene solución, ¿es posible encontrarla?
