1. Una partícula de masa unitaria se dispara verticalmente hacia arriba en un campo 1. Una partícula de masa unitaria se dispara verticalmente hacia arriba en un campo gravitacional constante
gravitacional constante
metros por segundo cuadrado con una velocidad inicial metros por segundo cuadrado con una velocidad inicial
metros por segundo. Suponga que el medio ejerce una fuerza de resistencia proporcional al metros por segundo. Suponga que el medio ejerce una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea con constante de proporcionalidadcuadrado de la velocidad instantánea con constante de proporcionalidad
newton por newton por segundo cuadrado dividido por metro cuadrado.segundo cuadrado dividido por metro cuadrado.
a) Determine la altura máxima que alcanza la partícula. Use la aproximación:
a) Determine la altura máxima que alcanza la partícula. Use la aproximación:
b) Determine el tiempo que demora la partícula en alcanzar su altura máxima. Deje expresado en b) Determine el tiempo que demora la partícula en alcanzar su altura máxima. Deje expresado en términos de la arcotangente. Use la aproximación
términos de la arcotangente. Use la aproximación
..1) a) SOLUCIÓN: El problema planteado se trata de caída libre, por ende, se debe plantear las 1) a) SOLUCIÓN: El problema planteado se trata de caída libre, por ende, se debe plantear las siguientes ecuaciones:
siguientes ecuaciones:
Como nos pide calcular la altura, tenemos que usar la ecuación (2) que es la del desplazamiento, por Como nos pide calcular la altura, tenemos que usar la ecuación (2) que es la del desplazamiento, por tanto, los datos que tenemos del problema son:
tanto, los datos que tenemos del problema son:
Reemplazando en la ecuación: Reemplazando en la ecuación:
Lo cual se resuelve usando el método de separación de variables Lo cual se resuelve usando el método de separación de variables
Como la función
(es la primera derivada de la posición con respecto al desplazamiento), para encontrar el punto máximo, hacemos
.
Por tanto, la altura máxima que alcanza la partícula es:
b) SOLUCIÓN: Para el caso del tiempo, tendré que usar la ecuación
Poniendo los datos, tenemos:
Se resuelve por el método de separación de variables, es decir:
Lo mismo del caso anterior, para encontrar el tiempo en que cuando la particula está en la altura máxima, hacemos
, para despejar el
Por tanto, el tiempo en que se demora la partícula en alcanzar su altura máxima es:
2. Un tanque contiene
oz de sal homogéneamente diluida en
galones de agua. Si fluye agua hacia dentro del tanque a razón de
galones por minuto con una concentración de
y simultáneamente la mezcla fluye hacia afuera con igual velocidad. Halle la cantidad de sal que queda en el tanque, en cualquier tiempo
.2) SOLUCIÓN: Éste es un problema típico de mezclas. Siempre para este problema se usará la siguiente ecuación lineal de la forma:
Donde:
Con
Lo que finalmente tenemos que resolver la ecuación diferencial:
Leyendo el problema, tenemos que:
Por tanto, resolveremos la ecuación:
Ésta ecuación es lineal, por tanto, para resolver se debe usar la fórmula de Leibniz. Nuestro:
De la ecuación lineal:
Entonces la solución general es:
Por tanto, la cantidad de sal que queda en el tanque, en cualquier tiempo
es:
3. En un c ampus universitario que tiene
estud iantes h ay un único estudiante portador d el viru s de la grip e. Sea
el núm ero d e estu dian tes c on tagiad os en el día
. Si la veloc idad co n qu e el virus se prop aga es propo rcional al prod ucto entre el número de alumno s con tagiados y el número de alumn os n o con tagiados , se pide:a) Determinar el número de personas enfermas en el día
si se sabe que pasados 4 días hay 50 enfermos.b) Calcular cuando habrá 500 estudiantes enfermos.
c) Si los estudiantes no se tratan con medicamentos, ¿qué número de enfermos habrá cuando pase mucho tiempo? ¿Llegará a desaparecer la enfermedad?
USE LAS SIGUIENTES APROXIMACIONES:
3) a) SOLUCIÓN: Primero, hay que establecer la ecuación diferencial. Leyendo el problema se tiene:
Las condiciones iniciales son:
Por tanto, esta ecuación se resuelve usando separación de variables:
Integrando en ambos lados:
Exponenciamos en ambos lados teniendo:
Por tanto, la solución general es:
Imponiendo las condiciones se tiene la solución particular:
b) SOLUCIÓN: Tenemos que calcular el tiempo
, cuando
, reemplazando en la solución del ítem anterior tenemos:
Luego a los 7 días habrá 500 enfermos.
c) SOLUCIÓN: Cuando pase mucho tiempo se refiere matemáticamente cuando
. Es decir, tenemos que calcular
usando limite.
Cuando pase mucho tiempo, sin que los estudiantes no tomen medicamentos, todos ellos se infectaran.
4. Un vaso de agua a
es sacado al exterior donde la temperatura es de
. El agua se enfría de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton con constante de proporcionalidad
cuando el tiempo es medido en horas. Si la temperatura exterior desciende a razón de
por hora, ¿cuál es la temperatura del agua después de 5 horas? 2009-24) SOLUCIÓN: La ecuación diferencial para la ley de enfriamiento de Newton es:
Donde
Leyendo el problema, la temperatura del aire (exterior) no es una constante, entonces:
Se resuelve la ecuación:
Se tiene la condición:
. Integrando e imponiendo la dicha condición, tenemos:
Ahora, reemplazo los datos en la ecuación
Se usa el cambio de variable
Volviendo a la variable original, tenemos la solución general:
Imponiendo la condición
, tenemos que
. Por ende, la solución particular es:
Evalúo la solución con
Después de 5 horas, la temperatura del agua es de
aproximadamente.5. La sangre conduce un medicamento a un órgano a razón de
y sale con la misma razón. El órgano tiene un volumen líquido de
. ¿Cuál debe ser la concentración del medicamento en la sangre que entra al órgano para que a los
la concentración del medicamento en el órgano sea de
; si inicialmente no había rastros de dicho medicamento? (dato:
)5) SOLUCIÓN: Éste es un problema de mezclas. Veremos qué datos nos entregan:
Sea
la concentración del medicamento en la sangre que entra al órgano. Debemos encontrar el valor de
tal que se cumple la condición
. Como es problema de mezclas, se debe resolver la siguiente ecuación diferencial:
Poniendo los datos, tenemos:
Se resuelve usando el método de separación de variables
Calcularemos la constante C, tal que cumpla la condición
Por tanto, la solución particular es:
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Para encontrar la concentración de medicamento que entra, debemos imponer la otra condición que es
. Entonces:
Por tanto, la concentración de medicamento en la sangre que entra al órgano debe ser
.6. Un profesor redacta las notas del curso con una rapidez proporcional al número de hojas ya escritas. Por otra parte sus alumnos son capaces de leer los apuntes con una velocidad constante. Al comenzar el curso, el profesor entrega 10 hojas a sus alumnos y posteriormente se las va proporcionando a medida que las escribe. Determine el atraso de uno de sus alumnos en la lectura de las notas al finalizar el 3° trimestre si al cabo del primero llevaba un atraso de 20 páginas y al término de 6 meses un atraso de 70 páginas. Considere cada trimestre de tres meses sin receso entre cada uno de ellos.
6) SOLUCIÓN: Sean las variables:
Según el problema, tenemos las siguientes condiciones:
Y las ecuaciones diferenciales:
Al resolver las ecuaciones tenemos las soluciones generales:
Imponiendo las condiciones
tenemos:Y al imponer las condiciones
, formaremos un sistema de ecuaciones:
Lo cual se tiene los valores:
Por ende, las soluciones son:
El atraso está dado por la diferencia
