Capítulo 1 Tracción en la mecánica de materiales
1.7. Efectos térmicos
Mecánica de Materiales
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42 Figura 48. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 6
Paso 7: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Editar definición, luego en el nuevo panel seleccionar de la lista desplegable la opción de UZ: Desplazamiento de Z, en unidades de in. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 7 decimales. Se obtienen los valores máximos de deformaciones mostrados en azul de -0.0073655 in, esto corresponde aproximadamente con el valor analítico calculado.
Figura 49. Configuración de trazado de desplazamientos en Ejercicio 6 Paso 8: Para la comparación y verificación de esta deformación obtenida en el punto B, ir al panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Iso-Superficies, asegurarse presionar el botón de Invertir dirección y mover la perilla hacia la izquierda. Con esto se puede visualizar los valores de deformaciones que convergen hacia el punto B, esto implica que las mayores deformaciones se producen en este punto.
43 Figura 50. Configuración de superficie de tensiones en Ejercicio 6
Validación por MDSolids:
Se debe seleccionar el módulo de Análisis general de vigas, luego se debe ingresar los datos conocidos en el orden sugerido como se muestra en los recuadros de color rojo, finalmente se obtienen los resultados de esfuerzos, fuerzas y deformaciones con valores aproximados a lo obtenido de forma analítica.
Figura 51. Configuración de parámetros en MDSolids en Ejercicio 6
aumento de la temperatura, y contraen con el descenso de ella. Un factor relevante en el estudio de efectos térmicos es el coeficiente de dilatación térmica, el cual se encarga de controlar la deformación y tensión térmica que experimenta un material (Mott & Untener, 2018b). La deformación térmica alcanzada por un elemento se expresa mediante la Ecuación 11.
δ
T= αΔTL (11)
Relacionando la Ecuación 6 y 11, se puede expresar la deformación unitaria por efectos térmicos como se indica en la Ecuación 12.
ε
T= α(ΔT) (12)
Relacionando la Ecuación 7 y 12, se puede expresar el esfuerzo producido por efectos térmicos como se indica en la Ecuación 13.
σ
T= α(ΔT)E (13)
Si ΔT es un valor positivo (aumento de la temperatura), δ representaría un aumento de la longitud, mientras si ΔTes negativo (descenso de la temperatura), ΔTrepresentaría una disminución de la longitud (Muvdi & Elhouar, 2016a).
Ejercicio 7
El conjunto tiene los diámetros
d
1= 12 in, d
2= 8 in, d
3= 4 in
, materiales con módulos elásticosE
1= 10.6x10
6psi, E
2= 15x10
6psi, E
3= 28x10
6psi
, coeficientes de dilatacióntérmica
α
1=
12.8x10°F −6, α
2=
9.6x10°F −6, α
3=
9.6x10°F −6 y longitudesL
1= 4 ft, L
2= 6 ft, L
3= 3 ft
. Si se encuentra apoyado en sus extremos cuando la temperatura es T1 = 70°F, determine el esfuerzo normalpromedio y la deformación unitaria en cada material cuando la temperatura alcanza
T
2= 110°F.
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44 aumento de la temperatura, y contraen con el descenso de ella. Un factor relevante en el estudio de efectos térmicos es el coeficiente de dilatación térmica, el cual se encarga de controlar la deformación y tensión térmica que experimenta un material (Mott & Untener, 2018b). La deformación térmica alcanzada por un elemento se expresa mediante la Ecuación 11.
δ
T= αΔTL (11)
Relacionando la Ecuación 6 y 11, se puede expresar la deformación unitaria por efectos térmicos como se indica en la Ecuación 12.
ε
T= α(ΔT) (12)
Relacionando la Ecuación 7 y 12, se puede expresar el esfuerzo producido por efectos térmicos como se indica en la Ecuación 13.
σ
T= α(ΔT)E (13)
Si ΔT es un valor positivo (aumento de la temperatura), δ representaría un aumento de la longitud, mientras si ΔTes negativo (descenso de la temperatura), ΔTrepresentaría una disminución de la longitud (Muvdi & Elhouar, 2016a).
Ejercicio 7
El conjunto tiene los diámetros
d
1= 12 in, d
2= 8 in, d
3= 4 in
, materiales con módulos elásticosE
1= 10.6x10
6psi, E
2= 15x10
6psi, E
3= 28x10
6psi
, coeficientes de dilatacióntérmica
α
1=
12.8x10°F −6, α
2=
9.6x10°F −6, α
3=
9.6x10°F −6 y longitudesL
1= 4 ft, L
2= 6 ft, L
3= 3 ft
. Si se encuentra apoyado en sus extremos cuando la temperatura es T1 = 70°F, determine el esfuerzo normalpromedio y la deformación unitaria en cada material cuando la temperatura alcanza
T
2= 110°F.
45 Datos:
d1 = 12 in d2 = 8 in d3 = 4 in
E1 = 10.6x106 psi = 10.6x106 lbf in2 E2 = 15x106 psi = 15x106 lbf
in2 E3 = 28x106 psi = 28x106 lbf in2 α1= 12.8x10−6
°F α2 =9.6x10−6
°F α3 =9.6x10−6
°F L1 = 4 ft ∗12 in
1 ft = 48 in L2 = 6 ft ∗12 in
1 ft = 72 in L3 = 3 ft ∗12 in
1 ft = 36 in T1= 70°F
T2= 110°F Resolución2:
A1 =πd12
4 =π(12 in)2
4 = 113.10 in2
2 No se colocan unidades para el proceso de resolución del sistema de ecuaciones en vista que estas son consistentes en el resultado final.
A
2= πd
224 =
π(8 in)
24 = 50.27 in
2A
3= πd
224 =
π(4 in)
24 = 12.57 in
2ΔT = T
2− T
1= 110°F − 70°F = 40°F
Se aplica la combinación de las Ecuaciones 9, 10 y 11.
δT = δ1+ δ2+ δ3+ δT1+ δT2+ δT3
0 = PL1
A1E1+ PL2
A2E2+ PL3
A3E3+ α1ΔTL1+ α2ΔTL2+ α3ΔTL3 0 = − P(48)
(113.10)(10.6x106) −
P(72)
(50.27)(15x106) −
P(36) (12.57)(28x106) + 12.8x10−6(40)(48) + 9.6x10−6(40)(72) + 9.6x10−6(40)(36) 0 = −4x10−8P − 9.55x10−8P − 10.23x10−8P + 24.58x10−3+ 27.65x10−3
+ 13.82x10−3
0 = −23.78x10−8P + 66.05x10−3 23.78x10−8P = 66.05x10−3
P =66.05x10−3 23.78x10−8 P = 2.78x105 lbf ∗ lbf
1000= 278 Kips Se aplica la Ecuación 1.
σ1 = − P
A1 = − 278 Kips
113.10 in2 = −2.45 ksi σ2 = − P
A2 = −278 Kips
50.27 in2 = −5.53 ksi σ3 = − P
A3 = −278 Kips
12.57 in2 = −22.12 ksi
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A
2= πd
224 =
π(8 in)
24 = 50.27 in
2A
3= πd
224 =
π(4 in)
24 = 12.57 in
2ΔT = T
2− T
1= 110°F − 70°F = 40°F
Se aplica la combinación de las Ecuaciones 9, 10 y 11.
δT = δ1+ δ2+ δ3+ δT1+ δT2+ δT3
0 = PL1
A1E1+ PL2
A2E2+ PL3
A3E3+ α1ΔTL1+ α2ΔTL2+ α3ΔTL3 0 = − P(48)
(113.10)(10.6x106) −
P(72)
(50.27)(15x106) −
P(36) (12.57)(28x106) + 12.8x10−6(40)(48) + 9.6x10−6(40)(72) + 9.6x10−6(40)(36) 0 = −4x10−8P − 9.55x10−8P − 10.23x10−8P + 24.58x10−3+ 27.65x10−3
+ 13.82x10−3
0 = −23.78x10−8P + 66.05x10−3 23.78x10−8P = 66.05x10−3
P =66.05x10−3 23.78x10−8 P = 2.78x105 lbf ∗ lbf
1000= 278 Kips Se aplica la Ecuación 1.
σ1 = − P
A1 = − 278 Kips
113.10 in2 = −2.45 ksi σ2 = − P
A2 = −278 Kips
50.27 in2 = −5.53 ksi σ3 = − P
A3 = −278 Kips
12.57 in2 = −22.12 ksi
47 Validación por SolidWorks:
Paso 1: Crear un croquis en el plano de alzado dibujando tres círculos concéntricos a partir del origen, para el valor de la cota asignarlas como se muestra. Luego proceder a extruir la sección más grande con una medida de 48 in, la sección media con una extensión de 72 in y la sección pequeña con un valor de 36 in asegurándose de desmarcar el casillero de Fusionar resultado en cada operación.
Figura 52. Croquizado y modelado de elemento en ejercicio 7
Paso 2: Crear un estudio de Simulación a través de la pestaña Simulation, ir al comando Nuevo estudio, seleccionando la opción de Análisis estático. Luego en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Pieza y seleccionar el comando Aplicar/Editar material, copiar los materiales Aleaciones de Aluminio (2014-T6), Aleaciones de cobre (Bronce de aluminio), Acero (AISI 304) y pegarlos en una nueva carpeta de materiales personalizados. Realizar el ajuste y asignación de las propiedades de materiales según el orden correspondiente.
Figura 53. Asignación de materiales en Ejercicio 7
Paso 3: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Geometría fija, marcar las dos caras de los extremos.
Figura 54. Asignación de sujeciones en Ejercicio 7
Paso 4: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Cargas externas y seleccionar el comando Temperatura, desplegar el menú de operaciones seleccionando los tres sólidos con una temperatura de 110 °F.
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48 Figura 53. Asignación de materiales en Ejercicio 7
Paso 3: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Geometría fija, marcar las dos caras de los extremos.
Figura 54. Asignación de sujeciones en Ejercicio 7
Paso 4: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Cargas externas y seleccionar el comando Temperatura, desplegar el menú de operaciones seleccionando los tres sólidos con una temperatura de 110 °F.
49 Figura 55.Asignación de cargas en Ejercicio 7
Paso 5: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Interacciones
>Interacciones entre componentes >Interacción global, y hacer clic derecho en Editar definición. En el apartado de Tipo de interacción, hacer clic en la opción Contacto.
Figura 56. Configuración de interacciones en Ejercicio 7
Paso 6: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Análisis estático seleccionar el comando Propiedades, en la nueva ventana ir a la pestañaIncluir efectos térmicos/de fluidos, y asignar el valor de 70 °F en el apartado Temperatura desde intervalo.
Figura 57. Configuración de parámetros de simulación en Ejercicio 7 Paso 7: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla y ejecutar. Una vez finalizada la simulación, en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción de Editar definición. Luego en la pestaña Definición seleccionar de la lista desplegable la opción SZ: Tensión normal de Z, en unidades de ksi. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 2 decimales.
Figura 58. Configuración de trazado de tensiones en Ejercicio 7
Paso 8: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción Cortar, dentro del nuevo panel se selecciona el plano de vista lateral, con un valor de 0 in de distancia que corresponde a la mitad del elemento.
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50 Figura 57. Configuración de parámetros de simulación en Ejercicio 7 Paso 7: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla y ejecutar. Una vez finalizada la simulación, en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción de Editar definición. Luego en la pestaña Definición seleccionar de la lista desplegable la opción SZ: Tensión normal de Z, en unidades de ksi. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 2 decimales.
Figura 58. Configuración de trazado de tensiones en Ejercicio 7
Paso 8: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción Cortar, dentro del nuevo panel se selecciona el plano de vista lateral, con un valor de 0 in de distancia que corresponde a la mitad del elemento.
51 Figura 59. Configuración de plano de corte de tensiones en Ejercicio 7 Paso 9: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones, y seleccionar la opción Identificar valores, marcar la opción En la ubicación, luego seleccionar cada uno de los tres elementos en su sección central, donde se obtienen valores de esfuerzos alcanzados de -2.36 ksi, -5,31 ksi y -21,29 ksi, aproximados con el resultado analítico.
Figura 60. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 7