Capítulo 2 Torsión en la mecánica de materiales y Diagramas de Fuerzas
2.3. Elementos prismáticos de sección no circular
2.3.3. Secciones rectangulares
En secciones transversales rectangulares los esfuerzos cortantes máximos se distribuyen en el punto medio de los lados más cercanos al eje centroidal como se muestra en la Figura 99.
Mecánica de Materiales
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80 Figura 98. Distribución de esfuerzos en elemento triangular
El esfuerzo máximo se obtiene mediante la Ecuación 22.
τ
max= 15√3T
2h
t3(22)
El ángulo de giro para una sección triangular se obtiene mediante las siguientes expresiones de las Ecuaciones 23 y 24.
J
t= h
t415√3 (23)
ϕ = TL
GJ
t(24)
2.3.3. Secciones rectangulares
En secciones transversales rectangulares los esfuerzos cortantes máximos se distribuyen en el punto medio de los lados más cercanos al eje centroidal como se muestra en la Figura 99.
81 Figura 99. Distribución de esfuerzos en elemento rectangular
En la teoría de la elasticidad se han encontrado ciertos factores geométricos que intervienen en la resolución numérica de elementos rectangulares, estos valores se muestran en la Tabla 1.
b
t 1 1.5 1.75 2 2.5 3 4 6 8 10 ∞
k1 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.298 0.307 0.312 0.333 k2 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.298 0.307 0.312 0.333
Tabla 1. Factores geométricos para secciones rectangulares El esfuerzo máximo se obtiene mediante la Ecuación 25.
τ
max= T
k
1bt
2(25)
El ángulo de giro para una sección triangular se obtiene mediante las siguientes expresiones de las Ecuaciones 26 y 27
.
J
r= k
2bt
3(26)
ϕ = TL
GJ
r(27)
Ejercicio 12
Una barra de aluminio 6061-T6 con forma de triángulo equilátero de 30 mm por lado se somete a un torque que produce un ángulo de giro de 0.80° sobre una longitud de 2.60 m. Determine el valor del esfuerzo cortante máximo necesario para conseguir esa distorsión.
Datos:
b
t= 30 mm ϕ = (0.80°) ( πrad
180°) = 0.014 rad L = 2.60 m
G = 26 GPa = 26 N
mm
2Resolución:
Considerando los parámetros geométricos de una sección triangular se tiene:
h
t= √3
2 b
t= √3
2 (30 mm) = 25.98 mm
Aplicando la Ecuación 23.
J
t= h
t415√3 = (25.98 mm)
415√3 = 17357.01 mm
4Aplicando la Ecuación 24.
ϕ = TL GJ
tT = ϕGJ
tL =
(0.014 rad) (26000 N mm
2) (17357.01 mm
4) 2600 mm
= 2448.63 Nmm τ
max= 15√3T
2h
t3= 15√3(2448.63 Nmm)
2(30 mm)
3= 1.81 N mm
2Validación por SolidWorks:
Paso 1: Crear un croquis en el plano de alzado dibujando un triángulo con la herramienta polígono a partir del origen, asignando una medida de 30 mm de cota para la base. Luego proceder a extruir con una medida de 2600 mm.
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82 Resolución:
Considerando los parámetros geométricos de una sección triangular se tiene:
h
t= √3
2 b
t= √3
2 (30 mm) = 25.98 mm
Aplicando la Ecuación 23.
J
t= h
t415√3 = (25.98 mm)
415√3 = 17357.01 mm
4Aplicando la Ecuación 24.
ϕ = TL GJ
tT = ϕGJ
tL =
(0.014 rad) (26000 N mm
2) (17357.01 mm
4) 2600 mm
= 2448.63 Nmm τ
max= 15√3T
2h
t3= 15√3(2448.63 Nmm)
2(30 mm)
3= 1.81 N mm
2Validación por SolidWorks:
Paso 1: Crear un croquis en el plano de alzado dibujando un triángulo con la herramienta polígono a partir del origen, asignando una medida de 30 mm de cota para la base. Luego proceder a extruir con una medida de 2600 mm.
83 Figura 100.Croquizado y modelado de elemento en ejercicio 12
Paso 2: Ir a Geometría de referencia y crear un eje a partir de los planos de PlantayVista lateral. Luego crear un croquis sobre la base del triángulo y dibujar dos líneas a cada extremo con una separación de 26 mm, luego emplear la herramienta de Línea de partición seleccionando el croquis creado y las tres caras laterales de las secciones del triángulo.
Figura 101. Creación de elementos de referencia en ejercicio 12
Paso 3: Crear un estudio de Simulación a través de la pestaña Simulation, ir al comando Nuevo estudio, seleccionando la opción de Análisis estático. Luego en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Pieza y seleccionar el comando Aplicar/Editar material, se abrirá la ventana de la biblioteca de materiales de SolidWorks, seleccionar el material de Aluminio Aleación 6061-T6.
Figura 102. Asignación de materiales en Ejercicio 12
Paso 4: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Geometría fija, marcar desde uno de los extremos las tres secciones laterales partidas y aceptar.
Figura 103.Asignación de sujeción fija en Ejercicio 12
Paso 5: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Sujeciones avanzadas, marcar la opción Utilizar geometría de referencia, seleccionar las tres secciones laterales partidas correspondientes al otro extremo y el eje creado. Luego hacer clic en el botón para traslaciones circunferenciales asignando un valor de 0.014 rad.
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84 Figura 102. Asignación de materiales en Ejercicio 12
Paso 4: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Geometría fija, marcar desde uno de los extremos las tres secciones laterales partidas y aceptar.
Figura 103.Asignación de sujeción fija en Ejercicio 12
Paso 5: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Sujeciones avanzadas, marcar la opción Utilizar geometría de referencia, seleccionar las tres secciones laterales partidas correspondientes al otro extremo y el eje creado. Luego hacer clic en el botón para traslaciones circunferenciales asignando un valor de 0.014 rad.
85 Figura 104. Asignación de sujeción libre en Ejercicio 12
Paso 6: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla y ejecutar. Una vez finalizada la simulación, en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción de Editar definición. Luego en la pestaña Definición seleccionar de la lista desplegable la opción ΤYZ: Tensión cortante en dir. Z en plano XZ en unidades de MPa. Marcar el casillero de deformada a escala real, mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico colocar en formato de número flotante el valor 3.
Figura 105. Configuración de trazado de tensiones en Ejercicio 12
Paso 7: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción Identificar valores, marcar la opción En la ubicación, luego seleccionar un punto medio cualquiera de las caras laterales aproximadamente desde la mitad de la longitud total del elemento prismático, donde se obtiene un valor de 1.79 MPa, aproximado con el resultado analítico.
Figura 106. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 12
Ejercicio 13
Encuentre los esfuerzos máximos del ejercicio anterior considerando ahora una sección rectangular y elíptica. En el elemento rectangular se tienen lados iguales de 30 mm, mientras que en elemento elíptico se considera el radio mayor y menor de 15 mm y 7.5 mm respectivamente.
Datos:
ϕ = (0.80°) ( πrad
180°) = 0.014 rad L = 2.60 m
G = 26 GPa = 26 N mm
2SECCIÓN RECTANGULAR
b = 30 mm t = 30 mm
SECCIÓN ELÍPTICA
a = 15 mm
b = 7.5 mm
Mecánica de Materiales
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86 Figura 106. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 12
Ejercicio 13
Encuentre los esfuerzos máximos del ejercicio anterior considerando ahora una sección rectangular y elíptica. En el elemento rectangular se tienen lados iguales de 30 mm, mientras que en elemento elíptico se considera el radio mayor y menor de 15 mm y 7.5 mm respectivamente.
Datos:
ϕ = (0.80°) ( πrad
180°) = 0.014 rad L = 2.60 m
G = 26 GPa = 26 N mm
2SECCIÓN RECTANGULAR
b = 30 mm t = 30 mm
SECCIÓN ELÍPTICA
a = 15 mm b = 7.5 mm
87 Resolución:
SECCIÓN RECTANGULAR
k
1= 0.208 k
2= 0.141
Aplicando la Ecuación 26.
J
r= k
2bt
3= (0.141)(30 mm)(30 mm)
3= 114210 mm
4Aplicando la Ecuación 27.
ϕ = TL GJ
rT = ϕGJ
rL =
(0.014 rad) (26000 N mm
2) (17357.01 mm
4) 2600 mm
= 15989.40 Nmm
Aplicando la Ecuación 25.
τmax = T
k1bt2 = 15989.40 Nmm
(0.208)(30 mm)(30 mm)2 = 2.85 MPa SECCIÓN ELÍPTICA
Aplicando la Ecuación 20.
Je = πa3b3
a2+ b2 = π(15 mm)3(7.5 mm)3
(15 mm)2+ (7.5 mm)2 = 15904.31 mm4
Aplicando la Ecuación 21.
ϕ = TL GJe
T =ϕGJe
L =(0.014 rad) (26000 Nmm2) (15904.31 mm4)
2600 mm = 2226.60 Nmm
Aplicando la Ecuación 19.
τ
max= 2T
πab
2= 2(2226.60 Nmm)
π(15 mm)(7.5 mm)
2= 1.68 MPa
Validación por SolidWorks:
Paso 1: Repetir pasos del ejercicio 12, con las consideraciones geométricas correspondientes en cada caso, con la diferencia que solo en el elemento elíptico cambiar el mallado por uno basado en curvatura. A continuación, se presentan los resultados obtenidos de las simulaciones de la sección rectangular y elíptica correspondientemente con valores cercanos a los calculados analíticamente.
Figura 107. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 13