Capítulo 1 Tracción en la mecánica de materiales
1.6. Estructuras estáticamente indeterminadas
Figura 40. Asignación de cargas en Ejercicio 5
Paso 5: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla y ejecutar. Una vez finalizada la simulación, en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Editar definición, luego en el nuevo panel seleccionar de la lista desplegable la opción de UZ: Desplazamiento de Z, en unidades de mm. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 2 decimales. El resultado obtenido corresponde a -0.0095950 mm en el punto B por la carga a compresión y de 0.0066236 mm en el punto C por la carga de tensión, estos valores son similares a los conseguidos de forma analítica.
Figura 41. Configuración de trazado de tensiones en Ejercicio 5
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Figura 40. Asignación de cargas en Ejercicio 5
Paso 5: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla y ejecutar. Una vez finalizada la simulación, en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Editar definición, luego en el nuevo panel seleccionar de la lista desplegable la opción de UZ: Desplazamiento de Z, en unidades de mm. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 2 decimales. El resultado obtenido corresponde a -0.0095950 mm en el punto B por la carga a compresión y de 0.0066236 mm en el punto C por la carga de tensión, estos valores son similares a los conseguidos de forma analítica.
Figura 41. Configuración de trazado de tensiones en Ejercicio 5
1.6. Estructuras estáticamente indeterminadas
Cuando hay más apoyos de los necesarios para mantener una estructura en su sitio, generalmente por seguridad o para aumentar su rigidez, se le denomina
35 como una estructura estáticamente indeterminada. Cada soporte adicional introduce nuevas reacciones desconocidas, por lo que el número total de estas incógnitas supera el número de ecuaciones de equilibrio estático. Por lo cual es necesario incorporar ecuaciones adicionales relacionadas a las deformaciones de un elemento (Goodno, Barry & Gere, 2018a).
Considere una barra circular empotrada en los extremos A y B como se muestra en la Figura 42, en donde se encuentra actuando una fuerza P en la mitad de las dos secciones. Debido a las restricciones en los apoyos el elemento no puede deformarse externamente, no obstante, puede presentar deformaciones internas a lo largo de su extensión.
Figura 42. Elemento estáticamente indeterminado
Las ecuaciones de compatibilidad establecen relaciones geométricas entre las deformaciones de las barras que se derivan de las formas deformadas de la estructura, se expresa mediante la Ecuación 10.
δ
Total= δ
1+ δ
2(10)
Ejercicio 6
Dos ejes macizos están unidos en el punto B y sujetados de forma rígida en los puntos A y C. En el elemento 1 se usa un acero con módulo elástico E1 =
30x103 ksi, sección transversal A1 = 2 in2, longitud L1 = 80 in, mientras en el elemento 2 se usa una aleación de aluminio con las propiedades de E2 = 10x103 ksi, A2 = 3.6 in2, L2 = 60 in, la carga axial en B es PB= 10 kips
Datos:
E
1= (30x10
3ksi) ( 1000 lbf in
21 ksi ) = 30x10
6lbf in
2A
1= 2 in
2L
1= 80 in E
2= (10x10
3ksi) ( 1000 lbf in
21 ksi ) = 10x10
6lbf in
2A
2= 3.6 in
2L
2= 60 in P
B= (10 kips) ( 1000 lbf
1 kips ) = 10(10
3) lbf
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36 30x103 ksi, sección transversal A1 = 2 in2, longitud L1 = 80 in, mientras en el elemento 2 se usa una aleación de aluminio con las propiedades de E2 = 10x103 ksi, A2 = 3.6 in2, L2 = 60 in, la carga axial en B es PB= 10 kips
Datos:
E
1= (30x10
3ksi) ( 1000 lbf in
21 ksi ) = 30x10
6lbf in
2A
1= 2 in
2L
1= 80 in E
2= (10x10
3ksi) ( 1000 lbf in
21 ksi ) = 10x10
6lbf in
2A
2= 3.6 in
2L
2= 60 in P
B= (10 kips) ( 1000 lbf
1 kips ) = 10(10
3) lbf
37 Resolución:
Se aplica sumatoria de fuerzas en x para encontrar la fuerza interna de las secciones1.
∑ F
x= 0
−P
1+ 10(10
3)+P
2= 0 P
2= P
1− 10(10
3) Se aplica la Ecuación 8 para la sección 1 y 2.
δ = PL AE δ
1= P
1(80)
(2 in
2)(30)(10
6) = 1.333(10
−6)P
1(1) δ
2= P
2L
2A
2E
2= P
2(60)
(3.6 )(10)(10
6) = 1.667(10
−6)P
2(2) Se aplica la Ecuación 10.
δ
Total= δ
1+ δ
20 = δ
1+ δ
2(3) Reemplazando (1) y (2) en (3)
0 = 1.333(10
−6)P
1+ 1.667(10
−6)P
20 = 1.333(10
−6)P
1+ 1.667(10
−6)(P
1− 10(10
3)) 0 = 1.333(10
−6)P
1+ 1.667(10
−6)P
1− 0.0167
1 No se colocan unidades para el proceso de cálculo en vista que estas son consistentes en el resultado final.
0 = 3(10
−6)P
1− 0.0167 0.0167 = 3(10
−6)P
10.0167
3(10
−6) = P
15566.67 = P
1P
1= 5566.67 lbf
Reemplazando P1 en (1)
0 = 1.333(10
−6)P
1+ 1.667(10
−6)P
20 = 1.333(10
−6)(5566.67) + 1.667(10
−6)P
20 = 7.42(10
−3) + 1.667(10
−6)P
2−7.42(10
−3) = 1.667(10
−6)P
2− 7.42(10
−3)
1.667(10
−6) = P
2−4.451.11 = P
2P
2= −4.451.11 lbf
Empleando la Ecuación 1.
σ
1= P
1A
1= 5566.67 lbf
2 in
2= 2783.34 psi σ
2= P
2A
2= −4.451.11 lbf
3.6 in
2= −1236.42 psi Reemplazando P
1en (1)
δ
1= 1.333(10
−6)(5566.67) = 0.0742 in
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0 = 3(10
−6)P
1− 0.0167 0.0167 = 3(10
−6)P
10.0167
3(10
−6) = P
15566.67 = P
1P
1= 5566.67 lbf
Reemplazando P1 en (1)
0 = 1.333(10
−6)P
1+ 1.667(10
−6)P
20 = 1.333(10
−6)(5566.67) + 1.667(10
−6)P
20 = 7.42(10
−3) + 1.667(10
−6)P
2−7.42(10
−3) = 1.667(10
−6)P
2− 7.42(10
−3)
1.667(10
−6) = P
2−4.451.11 = P
2P
2= −4.451.11 lbf
Empleando la Ecuación 1.
σ
1= P
1A
1= 5566.67 lbf
2 in
2= 2783.34 psi σ
2= P
2A
2= −4.451.11 lbf
3.6 in
2= −1236.42 psi Reemplazando P
1en (1)
δ
1= 1.333(10
−6)(5566.67) = 0.0742 in
39 Validación por SolidWorks:
Paso 1: Crear un croquis en el plano de alzado dibujando dos círculos concéntricos a partir del origen, para el valor de las cotas asignarlas como se muestra. Luego proceder a extruir la sección más grande con una medida de 60 in. Después se debe realizar una nueva extrusión a la sección más pequeña con una extensión de 80 in, asegurándose de desmarcar el casillero de Fusionar resultado.
Figura 43. Croquizado y modelado de elemento en ejercicio 6
Paso 2: Crear un estudio de Simulación a través de la pestaña Simulation, ir al comando Nuevo estudio, seleccionando la opción de Análisis estático. Luego en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Pieza y seleccionar el comando Aplicar/Editar material, se abrirá la ventana de la biblioteca de materiales, seleccionar el material aluminio Aleación 1060 y Acero aleado para el segmento mayor y menor respectivamente.
Figura 44. Asignación de materiales en Ejercicio 6
Paso 3: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Geometría fija, marcar las dos caras de los extremos.
Figura 45. Asignación de sujeciones en Ejercicio 6
Paso 4: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Cargas externas y seleccionar el comando Fuerza, marcar la cara correspondiente al punto B y asignar una carga de 10000 lbf.
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40 Figura 44. Asignación de materiales en Ejercicio 6
Paso 3: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Sujeciones y seleccionar el comando Geometría fija, marcar las dos caras de los extremos.
Figura 45. Asignación de sujeciones en Ejercicio 6
Paso 4: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Cargas externas y seleccionar el comando Fuerza, marcar la cara correspondiente al punto B y asignar una carga de 10000 lbf.
41 Figura 46. Asignación de cargas en Ejercicio 6
Paso 5: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Malla y seleccionar la opción Crear malla, ajustar la perilla en Fino, dar clic en aceptar. Hacer clic en la opción Ejecutar este estudio. Una vez finalizada la simulación, en el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones y seleccionar la opción de Editar definición. Luego en la pestaña Definición seleccionar de la lista desplegable la opción SZ: Tensión normal de Z, en unidades de psi. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 2 decimales.
Figura 47. Configuración de trazado de tensiones en Ejercicio 6
Paso 6: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Tensiones, y seleccionar la opción Identificar valores, marcar la opción En entidades seleccionadas, hacer clic sobre la mitad de los dos segmentos evaluados. donde se obtiene un valor de esfuerzo alcanzado de -1228.44 psi y 2785.00 psi para la sección de aluminio y acero respectivamente, cuyos valores son aproximados a la solución analítica.
Figura 48. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 6
Paso 7: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Editar definición, luego en el nuevo panel seleccionar de la lista desplegable la opción de UZ: Desplazamiento de Z, en unidades de in. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 7 decimales. Se obtienen los valores máximos de deformaciones mostrados en azul de -0.0073655 in, esto corresponde aproximadamente con el valor analítico calculado.
Figura 49. Configuración de trazado de desplazamientos en Ejercicio 6 Paso 8: Para la comparación y verificación de esta deformación obtenida en el punto B, ir al panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Iso-Superficies, asegurarse presionar el botón de Invertir dirección y mover la perilla hacia la izquierda. Con esto se puede visualizar los valores de deformaciones que convergen hacia el punto B, esto implica que las mayores deformaciones se producen en este punto.
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42 Figura 48. Identificación de tensiones resultantes en Ejercicio 6
Paso 7: En el panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Editar definición, luego en el nuevo panel seleccionar de la lista desplegable la opción de UZ: Desplazamiento de Z, en unidades de in. Mientras que en la pestaña de Opciones de gráfico seleccionar como formato de número la opción flotante con 7 decimales. Se obtienen los valores máximos de deformaciones mostrados en azul de -0.0073655 in, esto corresponde aproximadamente con el valor analítico calculado.
Figura 49. Configuración de trazado de desplazamientos en Ejercicio 6 Paso 8: Para la comparación y verificación de esta deformación obtenida en el punto B, ir al panel del lado izquierdo dar clic derecho sobre Desplazamientos y seleccionar la opción de Iso-Superficies, asegurarse presionar el botón de Invertir dirección y mover la perilla hacia la izquierda. Con esto se puede visualizar los valores de deformaciones que convergen hacia el punto B, esto implica que las mayores deformaciones se producen en este punto.
43 Figura 50. Configuración de superficie de tensiones en Ejercicio 6
Validación por MDSolids:
Se debe seleccionar el módulo de Análisis general de vigas, luego se debe ingresar los datos conocidos en el orden sugerido como se muestra en los recuadros de color rojo, finalmente se obtienen los resultados de esfuerzos, fuerzas y deformaciones con valores aproximados a lo obtenido de forma analítica.
Figura 51. Configuración de parámetros en MDSolids en Ejercicio 6