Ejercicios propuestos

1. Repetir el análisis hecho en la sección2.2.2, pero esta vez teniendo en cuenta las fuerzas másicas. ¿Por qué se despreciaron?

2. Con referencia a la figura2.5, ¿por qué el área de la cara ∆ABOesγ∆ABC?

3. Demuestre la ecuación(2.17).

4. Utilizar Maxima para relacionar las ecuaciones(2.30)y(2.31)con las ecua- ciones (2.27)y (2.29), respectivamente.Pista: se debe tener en cuenta que en el caso bidimensional el elemento se encuentra en el plano x y, por lo que γ = 0 y τxz =τyz =0.

5. Deduzca la ecuación(2.31)a partir de la ecuación(2.22).

2.11.ejercicios propuestos

6. Deduzca el problema de valores y vectores propios(2.32)teniendo en cuenta que se desea encontrar aquellas direcciones para las cuales los esfuerzos normales sean máximos (mínimos); para tal fin, maximice (minimice) la función(2.27)con res- pecto a α, β y γ, cumpliendo con el requisito α²+β²+γ² = 1. Pista: revise la sección3.6.2.

7. Utilice el método de Newton-Raphson para encontrar las raíces de las siguientes funciones (grafíquelas y ubique en ellas dichas raíces):

• f(x)=x−cos(x).

• f(x)=sin(x+1)−x³.

8. Con respecto a la matriz de tensiones

σ =⎛

⎜⎝

1 2 3

2 −6 0

3 0 4

⎞⎟

⎠ Pa.

Haga lo siguiente:

• Grafique el sólido representando dichos esfuerzos.

• Calcule los esfuerzos principales que actúan sobre este sólido y sus direc- ciones principales. ¿Sobre qué planos actúan dichos esfuerzos principales, si se sabe que la lectura de esfuerzos se midió en el punto con coordenadas [12,−4, 2]^T? Compruebe su cálculo con Maxima y con Matlab.

• Calcule la magnitud y dirección para la cual se presentan los esfuerzos cor- tantes máximos.

• Grafique el círculo de Mohr para este sólido.

• ¿Cuáles son los esfuerzos normal y cortante actuantes en el plano 2x+3y−z=4?

9. Para las siguientes combinaciones de esfuerzos:

• σ_x=+1 Pa,σ_y =+2 Pa,τ_{x y}=+3 Pa.

• σx=+1 Pa,σy =+2 Pa,τx y=−3 Pa.

• σx=+1 Pa,σy =−2 Pa,τx y=+3 Pa.

• σx=+1 Pa,σy =−2 Pa,τx y=−3 Pa.

• σx=−1 Pa,σy =+2 Pa,τx y=+3 Pa.

• σ_x=−1 Pa,σ_y =+2 Pa,τ_{x y}=−3 Pa.

• σ_x=−1 Pa,σ_y =−2 Pa,τ_{x y}=+3 Pa.

• σ_x=−1 Pa,σ_y =−2 Pa,τ_{x y}=−3 Pa.

Haga lo siguiente:

• Ubique los ángulos de inclinación donde se producen los esfuerzos normales máximo y mínimo. ¿Qué magnitud tienen dichos esfuerzos?

• Calcule el esfuerzo cortante máximo y ubique el plano en el cual se produce.

• Grafique el círculo de Mohr.

• Verifique los resultados anteriores utilizando el método de los valores y vec- tores propios.

• Calcule los esfuerzos normales y cortantes sobre el plano 3x−2y=0.

10. Verifique que si hacemosτ_n =0 en(2.31)y resolvemos para el ángulo 2θobtene- mos de nuevo(2.60). ¿Qué se concluye?

11. Verifique que el invarianteI2=₂¹(σ_iiσ_{j j}−σ_{i j}σ_{i j})(ver ecuación [2.46b]).

12. Deduzca que el esfuerzo cortante máximo está dado por la ecuación(2.63), que la inclinación para la cual se produce dicho esfuerzo es un ánguloθc1 que satisface la igualdad(2.64a)y queθ_c1=θ₁−45^○=θ₂+45^○.

13. Deduzca para qué inclinaciónθc2se produce el esfuerzo cortante mínimo.

14. Relacione las ecuaciones(2.20a)y(2.20b)correspondientes aσx^′ yτx^′y^′ con aque- llas de σ_n yτ_n (ecuaciones [2.27] y [2.29]), respectivamente.Pista: no olvide que eˆ1 =n, que el vectorˆ eˆ3 se calcula a partir del producto cruz de los vectoresqˆynˆ y que el vectoreˆ₂=eˆ₃×eˆ₁. Explique los detalles.

15. Se sabe que el concreto sometido a compresión inicia su rotura cuando los es- fuerzos cortantes sobrepasan cierto valor crítico. ¿Cuáles serán las direcciones de fractura de una probeta cúbica sometida a compresión uniaxial? Sustente su res- puesta.

16. Consideremos un cuerpo que está sometido a los esfuerzos uniformesσx =1 Pa y τ_xz = −1 Pa, siendo los otros esfuerzos nulos. Calcule el esfuerzo normal má- ximo y las coordenadas de los puntos donde este se produce sobre la superficie 2x²+3y²+z²=1 (observe que la ecuación anterior representa un elipsoide).Pista:

recuerde que el vector normal a una superficie dada porF(x,y,z)=0 está dado por∇F(x,y,z). Verhttp://en.wikipedia.org/wiki/Normal_(geometry).

17. Continuando con los ejemplos2.4y2.7:

• Calcule, a partir de las ecuaciones(2.69), los vectores para los cuales se pro- ducen los esfuerzos cortantes máximo y mínimo.Pista: se debe utilizar trans- formación de coordenadas; además, tenga en cuenta que la solución debe ser igual a la suministrada por los vectores _∥ⁿ_n^ˆ_ˆ^1±nˆ3

1±nˆ₃∥.

• ¿Para qué plano corresponden las condiciones de esfuerzoσn =σ2,τn=0?

2.11.ejercicios propuestos

• ¿Para qué plano corresponden las condiciones de esfuerzoσn =σ2para los dosτ_n, ya que yacen sobre el círculoC₂de la figura2.22? Exprese este plano con respecto al sistema de coordenadas dado por los vectoresiˆ,j, yˆ k.ˆ 18. Se sabe que el círculo de Mohr se emplea en mecánica de suelos para analizar

los resultados del ensayo de suelos triaxial. El ensayo triaxial consiste en poner una muestra de suelo y aplicarle una carga igual en todo sentido y dirección (el esfuerzo de cámara), y una carga vertical que aumenta o disminuye a medida que se efectúa el ensayo. ¿Por qué se utiliza un círculo de Mohr bidimensional para el análisis, sabiendo que se tienen esfuerzos en todas las direcciones, es decir, que debería ser un círculo de Mohr tridimensional? Nota: si no está familiarizado con los términos aquí descritos, por favor, consulte un libro sobre mecánica de suelos.

19. Calcule las coordenadas de los vectores ˆv1a ˆv4 del ejemplo2.6con respecto a la base{iˆ,j,ˆkˆ}.

20. Un sólido está sometido a un campo de esfuerzosσy =1 Pa, siendo el resto de los esfuerzos normales y cortantes nulos. Calcule los esfuerzos y direcciones princi- pales que actúan en él.

21. ¿Cuáles son el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante que actúan sobre un plano inclinado con vector normal[2, 3, 4]^T y que está sometido a los esfuerzos σx =

−3 Pa,σ_y =2 Pa,σ_z=2 Pa,τ_{x y}=−8 Pa,τ_xz =−2 Pa yτ_yz=0 Pa?

22. Observe que el punto(σn,τn)=(^σ1+σ₂ ³,^σ1−σ₂ ³)del círculo de Mohr en 3D se asocia al esfuerzo cortante máximo. La pregunta es: ¿cómo calcular las direcciones asociadas a dicha condición de esfuerzo? A partir del siguiente código de Maxima:

1 sn : (s1+s3)/2$

2 tn : (s1-s3)/2$

3 eq1 : sn = s1*alpha^2 + s2*beta^2 + s3*gamma^2$

4 eq2 : tn^2 = (s1*alpha)^2 + (s2*beta)^2 + (s3*gamma)^2 - sn^2$

5 eq3 : alpha^2 + beta^2 + gamma^2 = 1$

6

7 /* y se resuelve el sistema de 3 ecuaciones anteriores */

8 sol : solve([eq1, eq2, eq3], [alpha, beta, gamma]);

se obtiene queα,βyγvalen:

1 1

( %o8) [[alpha = ---, beta = 0, gamma = - ---],

sqrt(2) sqrt(2)

1 1

[alpha = ---, beta = 0, gamma = ---],

sqrt(2) sqrt(2)

1 1 [alpha = - ---, beta = 0, gamma = - ---],

sqrt(2) sqrt(2)

1 1

[alpha = - ---, beta = 0, gamma = ---]],

sqrt(2) sqrt(2)

en otras palabras, cuatro vectores son solución al sistema de ecuaciones; sin em- bargo, dado que solo nos interesa la dirección de los vectores y no su sentido, los vectores donde se producen los esfuerzos cortantes máximos están dados por

[^√1₂, 0,^√1₂] y [^√1₂, 0,−^√1₂];

tenga presente que estos vectores están especificados con respecto a la base dada por{nˆ1,nˆ2,nˆ3}.

A partir de la información anterior, se solicita al lector dar los detalles del por qué el esfuerzo cortante máximo se presenta en los planos ortogonales a los vecto- res _∥ⁿ_n^ˆ_ˆ^1−nˆ3

1−nˆ₃∥y _∥ⁿ_n^ˆ_ˆ^1+nˆ3

1+nˆ₃∥ (recuerde que estos últimos están referidos a la base dada por {iˆ,j,ˆkˆ}). Explique, adicionalmente, cómo funciona el código anterior.

¿Qué sucede si se hace el mismo análisis para encontrar el plano donde se produ- cen los esfuerzos cortantes mínimos?