Estudio de las tensiones en un punto tridimensional

Esta ecuación se conoce como lafórmula de Cauchy (bidimensional); en este sistema la matriz simétricaσ se conoce como lamatriz de tensiones de Cauchy (bidimensional).¹³ Cabe aclarar que en la deducción de la ecuación(2.3)no se han tenido en cuenta las fuer- zas másicas por ser diferenciales de volumen, cuyo valor es despreciable en comparación con las fuerzas de superficie (ver sección1.4). Se deja como ejercicio al lector hacer el análisis anterior teniendo en cuenta las fuerzas másicas.

Mas adelante, en la sección2.10, explicaremos el concepto de tensor y entenderemos por qué aσ se le conoce también como eltensor de esfuerzoso eltensor de tensiones.

2.3. Estudio de las tensiones en un punto tridimensional

Como se comentó en la sección 2.1, para cada inclinación del plano que pasa por el puntoPreferido en la figura2.1, tenemos un esfuerzo correspondienteqque equilibra los esfuerzos internos en el sólido. En esta sección caracterizaremos dichos esfuerzos internos utilizando un paralelepípedo y un tetraedro infinitesimal.

2.3.1. Análisis de un paralelepípedo infinitesimal

La siguiente animación de GeoGebra, elaborada por Salomé Ángel Echeverry, permite ilustrar de forma interactiva el paralelepípedo considerado en esta sección:

https://www.geogebra.org/m/ve3dxtpw

En el caso tridimensional, con referencia a la figura2.4y utilizando un sistema de coor- denadas de la mano derecha (ver apéndice A.13), si consideramos un paralelepípedo infinitesimal tendríamos tres componentes de tensión en cada una de las seis caras del elemento, por lo que habría dieciocho valores de las componentes de tensión. Es claro que los vectores normales a las caras tienen igual magnitud y dirección, pero diferente sentido que el vector de la cara opuesta (debido a que la sumatoria de fuerzas en un punto en equilibrio estático¹⁴debe ser cero,∑f =0). Por otro lado, la condición de equilibrio de momentos∑m =0 también se debe satisfacer, por lo que al hacer la sumatoria de momentos producidos por los pares de fuerzas involucrados con respecto al centro del paralelepípedo resulta:

∑mx=0 Ô⇒ (τ_yzdxdz)dy−(τ_zydxdy)dz =0

∑my =0 Ô⇒ (τzxdydx)dz−(τxzdydz)dx =0

∑mz =0 Ô⇒ (τx ydzdy)dx−(τyxdzdx)dy=0,

13 Es importante advertir al lector acerca de la diferencia entre la matrizσy el vectorσ. La primera es la matriz de tensiones y el segundo es una representación alterna de la matrizσ, como el vectorσ, que utilizaremos a partir del capítulo4(ver, por ejemplo, la sección4.3.4).

14 Se dice que un cuerpo sometido a la acción de fuerzas externas se encuentra enequilibrio estático cuando está, ya sea quieto o en movimiento, sobre una línea recta y con velocidad constante.

σx

σ_y

σz

τ_{x y} τyx

τyz

τ_zy

τ_xz τ_zx

x y

z

dx

dy

dz

Figura 2.4.Componentes de esfuerzos en 3D. El gráfico muestra el sentido positivo de los esfuerzos. Recuerde queτ_xzrepresenta el esfuerzo cortante que actúa sobre una superficie ortogonal al ejexy que apunta en dirección

del ejez. Observe adicionalmente que los esfuerzos están referidos a un sistema de coordenadas de la mano derecha (ver apéndiceA.13).

de donde se deduce que

τ_yz=τ_zy τ_zx =τ_xz τ_{x y}=τ_yx.

Recuerde del curso Estática que, cuando se estima el momento producido por un par de fuerzas, no se considera un punto alrededor del cual se hace la sumatoria de momentos;

basta con multiplicar la distancia que separa ambas fuerzas por la fuerza del par.

En conclusión, se observa que de los dieciocho valores de las componentes de los vectores de tensión correspondientes a las seis caras del paralelepípedo considerado, solo hay seis componentes independientes, que sonσ_x,σ_y,σ_z,τ_{x y},τ_xz yτ_yz.

Como nota final, es menester comentar que a las tres caras del cubo mostrado en la figura2.4se les llamacaras positivas, ya que están en el lado positivo de los ejesx, yyz;

a las otras tres caras del cubo, las cuales están ocultas en el dibujo, se les conoce como lascaras negativas.

2.3.estudio de las tensiones en un punto tridimensional

2.3.2. Análisis de un elemento tetraédrico infinitesimal

La siguiente animación de GeoGebra, elaborada por Salomé Ángel Echeverry, permite ilustrar de forma

interactiva el tetraedro considerado en esta sección:https://

www.geogebra.org/m/rdrwjwgh

Consideremos ahora el caso del elemento tetraédrico infinitesimal mostrado en la figura2.5. En este caso, el vector unitarionˆ ortogonal al plano¹⁵ ∆ABCtiene cosenos di- rectores¹⁶α,βyγcon respecto a los ejesx,yyz, respectivamente, o sea,nˆ ∶=[α, β, γ]^T. Usando estas componentes, se deja como ejercicio deducir que las proyecciones ortogo- nales del área de ∆ABCson

∆BCO=α∆ABC (2.4a)

∆ACO =β∆ABC (2.4b)

∆ABO=γ∆ABC. (2.4c)

Deduzcamos, por ejemplo, la ecuación(2.4b); con referencia a la figura2.6, considere- mos los triángulos ∆ACO y ∆ABC. De la figura2.6a podemos determinar que

∆ABC = AC×BD

2 y que ∆ACO= AC×DO

2 ,

y de acuerdo con la figura2.6b,DO=BDcosθ2; relacionando las tres ecuaciones ante- riores resulta inmediatamente que

∆ACO =cosθ2⋅∆ABC, la cual es la misma ecuación(2.4b).

Planteando las ecuaciones de equilibrio del tetraedro (es decir, las sumatorias de fuer- zas en las direccionesx, y, yz), de manera análoga al caso bidimensional se obtiene el sistema lineal de ecuaciones

qx∆ABC =σxα∆ABC +τx yβ∆ABC+τxzγ∆ABC q_y∆ABC =τ_{x y}α∆ABC+σ_yβ∆ABC +τ_yzγ∆ABC q_z∆ABC =τ_xzα∆ABC +τ_yzβ∆ABC+σ_zγ∆ABC,

donde q =[qx, qy, qz]^T es el vector que equilibra los esfuerzos actuantes en las caras

∆BCO, ∆ACOy ∆ABO, de acuerdo con la figura2.5. Observe que en estas expresiones

15 En esta sección emplearemos la notación ∆ABCpara referirnos al plano, superficie o triánguloABC o para denotar el área de dicha superficie. La interpretación depende del contexto.

16 En muchos libros de teoría de la elasticidad las componentesα,βyγse denotan por las letrasm,n yl, respectivamente.

nˆ σ_x

σy

σz

τ^{x y}

τxy τ^yz τyz

τ^xz τ

xz

x y

z

dx

dy dz

qx

q_y q^z

A B

C

O

Figura 2.5.Componentes de esfuerzos en 3Dal analizar un elemento tetraédrico infinitesimal. Observe que los esfuerzos mostrados con las flechas punteadas están

ubicados sobre las caras negativas del tetraedro, mientras que los esfuerzosq_x, q_y yq_zactúan sobre la superficie ∆ABC, la cual tiene vector normaln.ˆ

no aparecen las fuerzas másicas por involucrar diferenciales de volumen, cuya magnitud es muy pequeña si la comparamos con las fuerzas superficiales que se están analizando.

Por otro lado, en esta deducción se está despreciando la variación de los esfuerzos sobre las caras del tetraedro y se supone que estos se distribuyen uniformemente sobre ellas.

Esta suposición es válida dado el tamaño infinitesimal del diferencial de sólido.

Al eliminar el término ∆ABC, podemos expresar las ecuaciones anteriores en forma matricial como

⎛⎜

⎝ q_x qy

q_z

⎞⎟

±_q ⎠

=⎛

⎜⎝

σ_x τ_{x y} τ_xz τx y σy τyz

τ_xz τ_yz σ_z

⎞⎟

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶_σ ⎠

⎛⎜

⎝ α β γ

⎞⎟

±_ˆ⎠

n

. (2.5)

Análogamente al caso bidimensional, esta ecuación se conoce como lafórmula de Cauchy (tridimensional)y la matriz simétricaσes lamatriz de tensiones (tridimensional) otensor de esfuerzos (o tensiones) de Cauchy(stress tensoren inglés). Más adelante, en la sección2.10, explicaremos el concepto de tensor y entenderemos por quéσes uno.