Tensiones y direcciones principales en dos dimensiones

En dos dimensiones,²⁵suponiendo que el elemento se encuentra en el planox y, la matriz de tensiones está dada por (ver ecuación [2.3])

σ =(σ_x τ_{x y}

τ_{x y} σ_y). (2.36)

Reemplazando esta matriz en(2.35), tenemos:

det(σ−σ_nI)=∣σ_x−σ_n τ_{x y} τx y σy−σn∣

=(σx−σn)(σy−σn)−τ²_{x y}

= σ_n²

®aσn²

−(σx+σy)σn

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

+bσn

+σxσy−τ²_{x y}

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶_+c =0. (2.37) Observe que det(σ−σnI) es un polinomio de segundo grado llamado el polino- mio característico(characteristic polynomialen inglés) de la matrizσbidimensional (ver apéndiceA.16.2); adicionalmente, a det(σ−σnI) = 0 se le conoce como laecuación característicadeσ. Las raíces de esta ecuación son los valores propios deσ, es decir, los esfuerzos principales. La ecuación(2.37)se asemeja a la ecuación cuadrática:

aσ_n²+bσn+c=0, (2.38)

siendo, en este caso,

a=1 b=−(σ_x+σ_y) c=σ_xσ_y−τ_{x y}² . (2.39) Las raíces de la ecuación polinómica de segundo grado(2.38)están dadas por

(σ1)x y=−b+√

b²−4ac

2a (σ2)x y= −b−√

b²−4ac

2a , (2.40)

y, reemplazando los términos(2.39)en(2.40), tenemos:

(σ₁)x y= σ_x+σ_y

2 +

√

(σ_x−σ_y

2 )²+τ²_{x y} (σ₂)x y= σ_x+σ_y

2 −

√

(σ_x−σ_y

2 )²+τ²_{x y}.

(2.41a) (2.41b)

25 Siendo estrictos, el análisis aquí presentado solo es completo para un sólido en estado de tensión plana. En el caso de un sólido en deformación plana, debemos hacer algunos pasos adicionales que detallaremos en la sección4.8.3. Veremos los conceptos de tensión y deformación plana en las sec- ciones4.8.1y4.8.2, respectivamente.

2.8.esfuerzos y direcciones principales

Note que el discriminante es siempre mayor o igual a cero, esto es b²−4ac ≥ 0, por lo que las raíces (σ₁)x y y(σ₂)x y son números reales, cumpliéndose la desigualdad (σ₁)x y≥(σ₂)x y.

Se mencionó que los vectores propios relacionados a los valores propios (2.41)se asocian a lasdirecciones principales; estos definen las direcciones en las que los esfuerzos principales actúan, como se muestra en la figura2.11. Las direcciones principales corres- pondientes al esfuerzo principal(σ1)x yse obtienen resolviendo la igualdad(2.32), esto esσnˆ =σ_nn, y reemplazandoˆ σ_ncon(σ₁)x y. Se sigue, del hecho que det(σ−σ_nI)=0 en la ecuación(2.37), que las dos ecuaciones obtenidas aquí son linealmente dependientes y, en consecuencia, se debe escoger una de ellas y utilizar adicionalmente la igualdad α₁²+β²₁ = 1; este sistema de tres ecuaciones ayudaría a encontrar el vector unitario del esfuerzo principal mayor. Se procede análogamente para encontrar el vector unitario aso- ciado al esfuerzo principal menor(σ2)_{x y}, el cual se obtiene reemplazando en la igualdad (2.32)el valorσ_npor(σ2)_{x y}.

En conclusión, los vectores asociados a las direcciones principales se obtienen resol- viendo los sistemas de ecuaciones:

(σx−(σ1)_{x y})α1+τx yβ1=0 (σx−(σ2)_{x y})α2+τx yβ2=0

τ_{x y}α₁+(σ_y−(σ₁)x y)β₁=0 y τ_{x y}α₂+(σ_y−(σ₂)x y)β₂=0 (2.42) α²₁ +β²₁ =1 α²₂+β²₂=1;

por ende, la dirección principal correspondiente a(σ1)x yestará dada pornˆ1∶=[α1,β1]^Ty análogamente la dirección principal correspondiente a(σ2)x yesnˆ2∶=[α2,β2]^T. Observe que tenemos dos sistemas de ecuaciones, cada uno con tres ecuaciones, pero únicamente dos incógnitas; como se dijo, es posible verificar que dichas ecuaciones son linealmente dependientes, por lo que en cada sistema de ecuaciones solo se necesita utilizar dos de ellas.

Las direcciones principalesnˆ₁ynˆ₂indican básicamente la inclinación del planoAB de la figura2.10, que elimina la componente de cortante σ_s de dicha cara. Para tal fin debemos reemplazar los esfuerzosσx,σyyτx ypor(σ1)_{x y}y(σ2)_{x y}aplicados en las direc- cionesnˆ₁ynˆ₂(figura2.11).

Por último, cabe anotar que en la sección2.8.4demostraremos que los vectores pro- piosnˆ1ynˆ2son ortogonales.

Ejemplo 2.3.Cálculo de los esfuerzos y direcciones principales en el caso bidimensional Considere un punto de un sólido bidimensional en el cual los esfuerzos son:σ_x =3 Pa, σy=2 Pa yτx y=−4 Pa. Se pide lo siguiente:

• Plantear la matriz de tensionesσ correspondiente.

• Calcular el polinomio característico asociado aσ.

(σ¹)^{x y}nˆ¹

(σ¹)^{x y}nˆ¹

(σ²)^{x y}nˆ² (σ²)^{x y}nˆ²

θ₁ θ1

θ1

θ₁+90^○

θ¹+45^○ θ1+135^○

σ_x σ_x

σ_y σ_y

τ_{x y} τ_{x y}

τ_{x y} τ_{x y}

τ_máx

τ_máx

τ^máx τ^máx

(a)

(b) (c)

Figura 2.11.El sistema de esfuerzos aplicados en el sólido mostrado en la figura(a)es equivalente al sistema de esfuerzos aplicados en(b); en otras palabras, los esfuerzosσ_x,σ_y

yτ_{x y}se pueden reemplazar por(σ₁)_{x y}y(σ₂)_{x y}, actuando en las direccionesnˆ₁ynˆ₂, respectivamente, y eliminando, de este modo, la acción del esfuerzo cortante aplicado

sobre las caras del sólido. El gráfico(c)muestra la inclinación para la cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, lo cual se explicará en la sección2.9.1.

• Calcular la dirección y la magnitud de los esfuerzos principales.

Solución

Reemplazando los valores especificados en(2.36)obtenemos la matriz de tensiones pe- dida:

σ =( 3 −4

−4 2) Pa. (2.43)

2.8.esfuerzos y direcciones principales

El polinomio característico de esta matriz se obtiene fácilmente reemplazandoσx,σy

yτ_{x y}en(2.39):

a=1

b=−(σ_x+σ_y)=−(3+2) =−5 c=σ_xσ_y−τ²_{x y} =3×2−(−4)²=−10, de donde se deduce que la ecuación característica de(2.43)es

σ_n²−5σ_n−10=0.

Este mismo resultado lo hubiéramos obtenido utilizando el comando de Matlab²⁶

poly([3 -4; -4 2]). Las raíces del polinomio característico se pueden obtener al reem- plazarσ_x,σ_yyτ_{x y}en(2.41), de modo que

(σ1)_{x y}=5+√ 65

2 Pa= 6.5311 Pa (σ2)_{x y}=5−√ 65

2 Pa=−1.5311 Pa.

Este cálculo se puede hacer fácilmente en Maxima utilizando el código:

matrix(

[ 3,-4], [-4, 2]

)$

eigenvalues( %); /* Se calculan los valores propios de la matriz anterior */

siendo el resultado de este:

sqrt(65) - 5 sqrt(65) + 5

( %o2) [[- ---, ---], [1, 1]]

2 2

En Maxima, el comando “^%” sirve para referirse al último resultado calculado, de forma similar a como funciona el comandoAnsde las calculadoras científicas; por otro lado, el comandoeigenvaluesde Maxima retorna una lista con dos sublistas: la primera muestra los valores propios de la matriz en cuestión mientras que la segunda muestra cuántas veces se repite cada valor propio; así,eigenvalues( %)está calculando los valores propios de la matriz indicada, repitiéndose cada valor propio una sola vez.

Para calcular las direcciones principales, procedemos a resolver los sistemas de ecua- ciones(2.42)utilizando únicamente la primera y la tercera ecuación (o la segunda y la tercera ecuación), de donde se obtiene, respectivamente, que

(3−5+√

65

2 )α1−4β1=0 (3−5−√ 65

2 )α2−4β2=0

26 A lo largo del libro utilizaremos con frecuencia el lenguaje de programación Matlab. Un excelente tutorial sobre el tema es el “Getting Started Guide”, producido porThe MathWorks Inc., la casa que desarrolla Matlab. Dicho tutorial se encuentra disponible enhttp://www.mathworks.com/help/

pdf_doc/matlab/getstart.pdf.

α²₁ +β²₁ =1 α²₂+β²₂=1, o sea,

−3.5311α₁−4β₁=0 4.5311α₂−4β₂=0 α₁²+β²₁ =1 α₂²+β₂²=1.

Una forma ingeniosa y fácil de resolver este sistema es suponer queβ1 =β2=1, obte- niendo a partir de las primeras ecuaciones queα₁= _−3.5311⁴ yα₂=_4.5311⁴ y luego formamos los vectores:

n₁=[ 4

−3.5311, 1]^T =[−1.1328, 1]^T n₂=[ 4

4.5311, 1]^T =[0.88279, 1]^T; posteriormente estos vectores se normalizan:

nˆ₁=[−0.74968, 0.66180]^T nˆ₂=[ 0.66181, 0.74968]^T,

obteniendo, de este modo, las direcciones principales asociadas a los valores propios (σ₁)x y = 6.53113 Pa y (σ₂)x y = −1.53113 Pa. La representación gráfica de los esfuerzos y direcciones principales se muestra en la figura 2.12. Observe que al normalizar los vectores implícitamente se está haciendo cumplir la condiciónα²+β²=1.

Tenga en cuenta que todo el ejercicio anterior se hubiera podido resolver fácilmente utilizando el comando de Matlabeig, tal y como se ilustra a continuación:

>> [vecp,valp] = eig([3 -4; -4 2]) vecp =

-0.6618 -0.7497 -0.7497 0.6618

valp =

-1.5311 0

0 6.5311

In document Alvarez (2023) - Teoría de la Elasticidad usando Matlab y Maxima - volumen 1 - fundamentos (página 54-58)