Ley de Hooke generalizada para materiales ortótropos

Se puede demostrar, utilizando los principios de la termodinámica (ver, por ejemplo, Solecki y Conant[2003, sección 5.14]), que la matriz constitutivaDes definida positiva⁶⁴ y simétrica y, por lo tanto,di jkl =dkl i j. En consecuencia, de los 81 componentes del ten- sordi jkl(o de los 36 componentes de la matrizD) se requieren únicamente 21 constantes para describir un material anisótropo lineal elástico en términos generales (los términos en la diagonal y encima de la diagonal de la matrizD). Estas constantes deben determi- narse experimentalmente. Esto se debe contrastar con la descripción para un material isótropo (ecuación [4.17]), ya que en este caso solo se necesitan dos constantes, a saber:

el módulo de YoungEy el coeficiente de Poissonν. Generalmente, los materiales anisó- tropos presentan ciertos ejes de simetría, lo que hace que las constantes se reduzcan de 21 a un número entre 2 y 21. Dichas constantes deben satisfacer unas condiciones entre sí, de modo que la matrizDsea físicamente viable. Se refiere al lector interesado en estas restricciones aTing(1996) yTing y Chen(2005).

Por último, la inversa de la matrizD, o sea,S = D⁻¹, se conoce como lamatriz de conformidad(compliance matrixen inglés); de este modo,ε = Sσ. Como la inversa de una matriz simétrica también es simétrica y la inversa de una matriz definida positiva también es definida positiva, se tiene queSes también simétrica y definida positiva.

Tenga presente que aunque un material puede ser anisótropo en una escala de me- dida, se puede considerar como isótropo en otra escala que es, en general, mayor. Por ejemplo, el concreto puede considerarse como formado por partículas de cemento, arena y grava. Cada una de estas partículas se orienta al azar y se supone anisótropa; sin em- bargo, el concreto se asume isótropo para propósitos del análisis y del diseño estructural, ya que al analizar el material en una escala macro se observa que sus propiedades mecá- nicas son un promedio de aquellas en todas las posibles orientaciones de las partículas individuales.

4.3.la ley de hooke y los módulos de young y poisson

con esfuerzos normales y en diferentes inclinaciones, hasta encontrar aquellas direccio- nes para las cuales no existen deformaciones angulares como respuesta a esos esfuerzos normales. Este es un proceso largo y dispendioso.

Veremos a continuación que este tipo de materiales requieren, en el caso tridimen- sional, nueve constantes elásticas e independientes para su descripción, a saber: tres mó- dulos de elasticidadEx,EyyEz; tres coeficientes de Poissonνyz,νxz yνx yy tres módulos de cortanteGyz,GxzyGx y. AquíEirepresenta el módulo de elasticidad a lo largo del eje i,ν_{i j} es el coeficiente de Poisson que corresponde a la contracción en la componente j cuando se aplica un estiramiento en la dirección i yGi j = Gji es el módulo de rigidez sobre el planoi j.

Para el caso ortótropo, la deformación en la dirección i causada por el esfuerzoσ_i, se obtiene comoεi = σi/Ei, dondeEi representa el módulo de elasticidad en la direc- ción del ejei. Por otro lado, existen diferentes coeficientes de Poisson para las distintas interacciones entre las deformaciones; de este modo,

ν_{i j}=−εtransversal

εlongitudinal

=−ε_j εi

.

Siguiendo una línea de pensamiento similar a la empleada en el caso isótropo, se deja como ejercicio al lector deducir que la ley de Hooke generalizada para materiales ortó- tropos está dada por las ecuaciones:

ε_x= 1 Ex

σ_x−νyx

Ey

σ_y−ν_zx Ez

σ_z

Direccióndela fibra Dirección

Dirección

Dirección tangencial

longitudinal radial

Figura 4.10.Direcciones de ortotropía de la madera. Las propiedades mecánicas de la madera se pueden describir con respecto a las direcciones longitudinales (paralela a la

fibra), radiales (normal al crecimiento de los anillos) y tangenciales (a los anillos).

ε_y =−νx y

Ex

σ_x+ 1 Ey

σ_y−νzy

Ez

σ_z (4.20)

εz =−νxz

E_xσx−ν_yz E_yσy+ 1

E_zσz

y

γ_yz= 1 Gyz

τ_yz γ_xz = 1 Gxz

τ_xz γ_{x y}= 1 Gx y

τ_{x y}. (4.21) El sistema de ecuaciones anterior se puede expresar en forma matricial como

⎛⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎝ ε_x ε_y ε_z γyz

γxz

γ_{x y}

⎞⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

²_ε ⎠

=

⎛⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎝

1

Ex −^ν_E^yx_y −^ν_E^zx_z 0 0 0

−^ν_E^{x y}_{x E}¹_y −^ν_E^{z y}_z 0 0 0

−^ν_E^{x z}_x −^ν_E^yz_{y E}¹_z 0 0 0

0 0 0 _G¹_yz 0 0

0 0 0 0 _G¹_{x z} 0

0 0 0 0 0 _G¹_{x y}

⎞⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶⎠

S

⎛⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎝ σ_x σ_y σ_z τyz

τxz

τ_{x y}

⎞⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

²_σ ⎠

, (4.22)

dondeSes la matriz de conformidad para el caso de un material ortótropo. Dado que la matriz de conformidadSdebe ser simétrica, es necesario que se cumplan las igualdades S12=S21,S13 =S31yS23=S32. De aquí se deduce, en consecuencia, que

νyx = Ey

E_xνx y νzx = Ez

E_xνxz νzy= Ez

E_yνyz. (4.23) Utilizando el siguiente código de Maxima:

S : matrix([ 1/Ex, -nuyx/Ey, -nuzx/Ez, 0, 0, 0], [-nuxy/Ex, 1/Ey, -nuzy/Ez, 0, 0, 0], [-nuxz/Ex, -nuyz/Ey, 1/Ez, 0, 0, 0],

[ 0, 0, 0, 1/Gyz, 0, 0],

[ 0, 0, 0, 0, 1/Gxz, 0],

[ 0, 0, 0, 0, 0, 1/Gxy])$

D : invert(S);

se puede demostrar que el sistema de ecuaciones(4.22)se puede expresar como

⎛⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝ σ_x σ_y σ_z τyz

τxz

τ_{x y}

⎞⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟

²_σ ⎠

=

⎛⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝

1−νyzνz y

EyEz∆

νyzνzx+νyx

EyEz∆

νyxνz y+νzx

EyEz∆ 0 0 0

νx zνz y+νx y

ExEz∆ 1−νx zνzx

ExEz∆

νz y+νx yνzx

ExEz∆ 0 0 0

νx yνyz+νx z

ExEy∆

νyz+νx zνyx

ExEy∆

1−νx yνyx

ExEy∆ 0 0 0

0 0 0 Gyz 0 0

0 0 0 0 Gxz 0

0 0 0 0 0 G_{x y}

⎞⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶⎠

D

⎛⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜

⎝ ε_x ε_y ε_z γyz

γxz

γ_{x y}

⎞⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟

²_ε ⎠

, (4.24)

4.3.la ley de hooke y los módulos de young y poisson

donde

∆=1−νyzνzy−νxzνzx−νx yνyx−2νyxνzyνxz

E_xE_yE_z ;

aquí Drepresenta la matriz constitutiva del material ortótropo. Tenga en cuenta que a partir de las tres ecuaciones(4.23)resulta queνyxνzyνxz =νx yνyzνzx.

A partir del hecho de que las matrices D y S deben ser definidas positivas, y con el objeto de satisfacer ciertas restricciones termodinámicas,Lempriere(1968) demostró que las constantes asociadas a un material ortótropo deben satisfacer las siguientes des- igualdades:

Ex>0, Ey >0, Ez>0, G_yz>0, G_xz >0, G_{x y}>0, 1−ν_yzν_zy>0, 1−ν_xzν_zx >0, 1−ν_{x y}ν_yx>0,

∣νzy∣<

√E_z

E_y, ∣νyz∣<

√Ey

E_z, ∣νzx∣<

√E_z

E_x,

∣ν_xz∣<

√E_x

Ez

, ∣ν_yx∣<

√E_y

Ex

, ∣ν_{x y}∣<

√E_x

Ey

y, también,

∆>0, ν_yxν_zyν_xz< 1−ν²_yx^E_E^x_y −ν²_zy^E_Ez^y −ν²_xzE^Ez_x

2 < 1

2.

Veremos más adelante que el coeficiente de Poisson en los materiales isótropos debe satisfacer la desigualdad−1 < ν < 0.5; sin embargo, de acuerdo con las ecuaciones an- teriores, para materiales ortótropos los coeficientes de Poissonν_{i j} pueden ser mayores que 0.5 e incluso exceder 1.

En ocasiones las direcciones de ortotropía están alineadas con respecto a un sistema de coordenadas locales x^′, y^′ y z^′, por lo que la ley de Hooke, en este caso, se podría expresar como σ^′ = D^′ε^′. Utilizando las matrices de transformaciónTσ y Tε (ver las ecuaciones (2.23) y (3.18), respectivamente) tenemos queσ^′ = D^′ε^′ se puede escribir como Tσσ = D^′Tεε, es decir, σ = T⁻¹_σ D^′Tεε, y en virtud de la ecuación(3.19), esto es T⁻¹_σ =T^T_ε, resulta que

σ =T^T_εD^′Tε

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

D

ε. (4.25)

La ecuaciónD=T^T_εD^′Tεnos permite convertir la matriz constitutivaD^′definida para las coordenadas localesx^′, y^′yz^′a una matriz constitutivaD expresada en función de las coordenadas globalesx, yyz.

4.4. Relación entre las direcciones principales asociadas

In document Alvarez (2023) - Teoría de la Elasticidad usando Matlab y Maxima - volumen 1 - fundamentos (página 162-166)