Fluidos magnetoreológicos convencionales

Como se ha mencionado, los fluidos magnetoreológicos convencionales (MR), son suspensiones no coloidales de partículas polarizables con tamaño de partículas del orden de pocos micrómetros. El descubrimiento y desarrollo inicial de los fluidos MR se acredita a Jacob Rabinow [3], del departamento nacional de estándares de Estados Unidos a finales de los años 1940s. Es interesante mencionar que este trabajo se dio a conocer casi al mismo tiempo que el desarrollo de los fluidos electroreológicos de Winslow [4]. Aunque al inicio se dieron a conocer más patentes relacionadas a los fluidos MR, en los años subsecuentes no se mostró mayor interés por los fluidos ER. No obstante, en la última década ha resurgido el interés en los MR debido al éxito comercial en sistemas basados en éste tipo de fluidos, por ejemplo el amortiguador controlable para el uso en la suspensión de camiones [5].

La respuesta magnetoreológica de los fluidos MR es el resultado de la polarización inducida en las partículas suspendidas debido a la aplicación de un campo externo. La interacción entre los dipolos inducidos causa que las partículas formen estructuras columnares paralelas al campo aplicado (Figura 4.1). Esta estructura en forma de cadenas restringe el movimiento del fluido, por lo cual se incrementa la viscosidad característica de la suspensión. La energía necesaria para vencer esta estructura se incrementa conforme el campo magnético aumenta resultando en un esfuerzo de cedencia dependiente del campo. En ausencia de las fuerzas magnéticas, los fluidos MR exhiben un comportamiento reológico del tipo Newtoniano, así el comportamiento de los fluidos magnéticamente controlables es comúnmente representado como un plástico de Bingham con una resistencia a la cedencia variable [6]. En este modelo, el flujo esta gobernado por la ecuación de Bingham:

r=r(H)+i& r~v (4.1)

en donde rrepresenta el esfuerzo de corte, el esfuerzo de cedencia dependiente del campo H aplicado en dirección perpendicular a la dirección de corte, ¹⁷ la viscosidad y $la velocidad de corte.

IV. Ferrofluidos Inversos.

.... ...

SSSSSS•••S

...

5S5SSSSS•S SS S• SS SS SS S.S.S...

SS SS SS SS SS S.S.S...

S.S.S...

Hl

y

S.S...

S.S.S....

S.S...

...

S.S...

S.S...

S.S...

S.S...

Figura 4.1 Representación esquemática de la formación de cadenas en un fluido MR debido al campo aplicado, así como la deformación de la estructura debido a la aplicación de la velocidad perpendicular a la dirección del campo.

Normalmente, por debajo del esfuerzo de cedencia (a deformaciones del orden de 1 O-a), el material se comporta elásticamente, esto es:

r=Gy, r < ry (4.2)

donde G es el módulo elástico del material y r la deformación aplicada. Se ha mostrado en la literatura que el módulo complejo también es dependiente del campo aplicado [7, 8]. Sin embargo, no se ha realizado hasta el momento un estudio concreto del efecto que el campo tiene sobre las propiedades viscoelásticas del material en función del campo magnético.

Mientras que el modelo plástico de Bingham ha mostrado utilidad en el diseño y caracterización de los sistemas basados en fluidos MR, el comportamiento real presenta algunas diferencias significativas de este modelo simple. Tal vez la diferencia más notoria es

IV. Ferrofluidos Inversos.

la que involucra el comportamiento no-Newtoniano del fluido MR en ausencia del campo magnético. Tales desviaciones pueden ser, en ocasiones, bien descritas por modelos como el de la ley de la potencia o el de Casson.

Debido a que el esfuerzo de cedencia es una característica importante en los fluidos MR, en la literatura existen diversos estudios que permiten predecir este parámetro teóricamente en función de las propiedades magnéticas del fluido. Dentro de los modelos más importantes esta el propuesto por Jolly y col. [9], quienes presentan un modelo que examina las propiedades magnetomecánicas de cadenas paralelas formadas por partículas esféricas magnéticamente permeables dentro de un fluido. En particular se modela el esfuerzo de corte de las cadenas causado por la fuerza magnética entre partículas debido a un campo magnético aplicado paralelo a las cadenas de partículas. Para esto se asume que, si estas cadenas están dentro de un material viscoelástico, entonces las propiedades viscoelásticas del composito serán la suma de las propiedades viscoelásticas del composite sin el campo aplicado mas las propiedades elásticas / plásticas inducidas por la fuerza magnética entre partículas.

El modelo es quasi - estático, esto significa que tanto los efectos dinámicos del campo magnético, así como los efectos inerciales dependientes de la velocidad de las partículas son ignorados. Se asume que las partículas magnéticas son uniformes, esferas homogéneas que pueden ser magnéticamente modeladas como momentos dipolares. También se asume que las partículas están perfectamente alineadas en cadenas y que las deformaciones de corte y esfuerzos asociados están uniformemente distribuidos sobre la longitud de cada cadena de partículas.

Bajo estas consideraciones se encuentra que el esfuerzo de corte r se define como:

8/Jr,U0h3 (1+ e2)7t2 (4.3)

IV. Ferrofluidos Inversos.

aquí Ø es la fracción volumen de las partículas magnéticas, s la deformación de corte,

J,,

la polarización promedio de las partículas, ur la permeabilidad relativa, ,UO la permeabilidad en el vacío y

h

es un indicativo de la separación entre las partículas dentro de la cadena.

Para determinar el esfuerzo de cedencia definido como el esfuerzo máximo necesario para romper las cadenas, se toma la primera derivada del esfuerzo con respecto a la deformación y se iguala a cero.

Así, la relación para determinar el esfuerzo de cedencia z, es:

O.1l43qJ,,

Y

/r/O'

(4.4)

Mediante esta ecuación es posible calcular el esfuerzo de cedencia en compositos, los cuales incluyen fluidos magnéticos así como elastómeros magnéticos; sin embargo existe cierta discrepancia con respecto a los datos experimentales y es necesario incluir parámetros de corrección para ajustar el modelo.

Otra aproximación analítica para la determinación del esfuerzo de cedencia ha sido propuesta por Ginder y

col.

[10], quienes obtienen una expresión para predecir el esfuerzo de cedencia en función del campo magnético aplicado y la magnetización de saturación del fluido para campos intermedios y altos. El desarrollo analítico supone partículas altamente permeables y asume que las regiones polares de cada partícula están completamente saturadas, así la expresión que se obtiene para el esfuerzo de cedencia zj, es:

IV. Ferroflu idos Inversos.

z), =JØp0M"2H0312 (4.5)

en donde M3 y H0 son la magnetización de saturación y el campo aplicado, respectivamente.

Este modelo analítico muestra la relación entre la dependencia del esfuerzo de cedencia con el campo. Tomando datos experimentales, existe una buena aproximación al usar la ecuación (4.5). Hay que tomar en cuenta que este modelo fue desarrollado para campos intermedios.

Para campos altos el esfuerzo de cedencia es independiente del campo aplicado y solo esta en función de la magnetización de saturación:

(sal)

ry = _ 4(3)Ø1u0M2

(4.6)

donde Ç(3) = 1.202

Por otra parte, uno de los modelos más retomados en la literatura para fluidos MR es la adaptación realizada por Bossis y Lemaire [11] a la teoría desarrollada por Klingenberg y Zukoski [12], para fluidos electroreológicos tomando como base dos esferas dieléctricas y basándose en observaciones realizadas en un fluido sometido a corte. Los fluidos estudiados por Bossis están formados por partículas de poliestireno con inclusiones de magnetita y por partículas no magnéticas de poliestireno embebidas en un ferrofluido (ferrofluido inverso). En este caso el esfuerzo de cedencia se calcula basándose en la determinación de la fuerza de recuperación necesaria para alinear dos partículas esféricas en la dirección del campo aplicado, Figura 4.2.

IV. Ferrofluidos Inversos.

JH

Figura 4.2 Fuerza de recuperación Fr inducida por el campo magnético H0.

La fuerza Fr esta dada como una función de la separación r de los dos centros de las esferas de radio a y del ángulo polar O entre la línea de los centros y el eje del campo, mediante:

Fr =3pa 2 H 2 f32 f (47)

donde:

(j + 2p) (4.8)

IV. Ferrofluidos inversos.

f = (

a

/r)[(2f11 + 2fr)sen0cos2 O - ^f1senO] (4.9)

donde 1

u

es la permeabilidad de la suspensión, pi es la permeabilidad interna de las partículas y H es el campo efectivo H = Hc/p (Ho campo magnético aplicado), fj-j, fr fi son cantidades que dependen de la separación entre las esferas y de la relación pi / p, estas funciones han sido calculadas por Klingenberg para el caso de dos esferas dieléctricas de permeabilidad interna constante. Para las partículas magnéticas se toman los mismos valores ya que las ecuaciones en magnetostática son las mismas a las de electrostática en la ausencia de corriente. En realidad esto es solo cierto si la permeabilidad magnética de las partículas no depende del campo magnético, lo cual no es el caso en las partículas utilizadas por Bossis y col., pero se tiene una buena aproximación para campos mayores a 39,000 AIm.

En la aproximación dipolar las funciones

fj-j, f' f

son igual a 1 y O" = 41.8 O [131. Tomando

Fr`

como la fuerza máxima necesaria para romper una cadena de partículas, se tiene que el esfuerzo de cedencia estático queda expresado como:

F = _{r m} 30

i-y fls F m (4.10)

- 2,ra 2

donde

n

es el número de cadenas por unidad de superficie.

Las ecuaciones 4.7, 4.8, 4.9 y 4.10 permiten calcular el esfuerzo de cedencia conociendo la permeabilidad de la suspensión y la permeabilidad interna de las partículas en fluidos magnetoreológicos.

1V. Ferrofluidos Inversos.

Otro estudio teórico en fluidos MR fue realizado por Rosensweig [14], basado en estructuras de capas laminares con elementos magnéticos alineados en la dirección del campo, las cuales se distorsionan al ser sometidas a un esfuerzo de corte perpendicular a la dirección de campo como se muestra en la Figura 4.3.

Ho M

x2

'i ////

x1

Fig. 4.3 Esquema para ilustrar el modelo laminar de Rosensweig. Los ejes con apóstrofe indican los ejes principales del fluido bajo corte. Las capas no necesitan ser del mismo espesor

ni uniformemente espaciadas.

En este caso , denota la susceptibilidad isotrópica del medio 1 y _Z2 la del medio 2. H0 es el campo aplicado y poM la magnetización de la capa magnética.

La inclinación a de la capa, se incrementa conforme el esfuerzo i- aumenta hasta un punto de cedencia r dado por:

p0H2Ø(1 -

= ^{4{(1 + + Ø )[l}

+ nr

^(4.11)

IV. Ferrofluidos Inversos.

con,

= %.(HO cosa) (4.12)

siendo Xy la susceptibilidad del fluido magnético

Popplewell y col. [15], estudiaron fluidos magnetoreológicos utilizando el modelo de Rosensweig, obteniendo una buena aproximación a los valores experimentales aplicando la ecuación (4.10).

Aquí es importante señalar que en la formación de cadenas, el tamaño de partícula juega un papel muy importante. Por un lado es conveniente utilizar partículas con tamaño pequeño ya que de esta forma el movimiento browniano aumenta y esto previene la sedimentación. Por otra parte, el uso de partículas demasiado pequeñas impide la formación de cadenas destruyendo la estructura quasi-sólida responsable de la generación de esfuerzos de cedencia en los fluidos MR. El balance entre las fuerzas termodinámicas y magnetoestáticas esta dado por el parámetro de acoplamiento 1 = W (r = 2a) / kT, donde W (r = 2a) es la energía dipolar de dos partículas alineadas perpendicularmente a la dirección del campo dada por [16]:

= ^m2(0) (1_3cos2e) 4u0p1a 3

(4.13)

aquí, O es el ángulo entre la dirección del campo magnético y la línea que une los centros de las dos partículas y m (0) = 4irpoij/3a3H es el momento magnético de las partículas. Aquí H es el campo promedio dentro de la muestra: H = Ho/u(H), donde p, es la permeabilidad promedio de la suspensión. La energía es mínima y atractiva cuando O = O y las partículas

IV. Ferrofluidos Inversos.

están en contacto, esto es r = 2a, siendo a el radio de las partículas. Así las partículas se atraerán unas a otras para formar cadenas en la dirección del campo cuando la energía dipolar sea mayor que la energía térmica, esto es cuando el parámetro de acoplamiento sea mayor a la unidad

8kT (4.14)

Ya que el diámetro de la partícula influye en la formación de las cadenas en dirección al campo, se espera que también influya en el efecto magneto-reológico de los fluidos MR. No obstante, las teorías descritas arriba no consideran el efecto del tamaño de partícula. En el trabajo realizado por Lemaire y col. [16], se determina que para una velocidad de corte dada, el esfuerzo de corte aparente se incrementa con el diámetro de partícula, el mismo efecto se presenta cuando al utilizar partículas monodispersas en lugar de polidispersas. Los fluidos que ellos estudian están formados por partículas de poliestireno con inclusiones de magnetita entre 0.5 y 1.0 micrómetros de diámetro. Aunque existe una considerable cantidad de artículos que investigan fluidos MR convencionales utilizando partículas magnetizables [17, 18, 191, comúnmente las partículas no son monodispersas ni completamente esféricas lo cual limita el uso de los modelos anteriormente descritos.

4.1.2 Ferrofluidos inversos

El concepto de ferrofluidos inversos nace con el estudio realizado por Skjeltorp en 1983 [20].

No obstante, Skjeltorp da a conocer este tipo de materiales como huecos magnéticos producidos por partículas de poliestireno no magnéticas dispersas en un ferrofluido. El concepto fue retomado posteriormente por de Gans y col. [ 211, quién da el nombre actual a este tipo de fluidos magnéticos.

El principio básico del hueco magnético se muestra en la Figura 4.4, en cierta forma es una analogía magnética del principio de Arquímedes. Cuando una partícula no magnética se

IV. Ferroflu idos Inversos.

dispersa en un ferrofluido magnetizado (IJ5O), el hueco producido por la partícula posee un momento magnético efectivo M, igual en tamaño pero opuesto en dirección al momento magnético del fluido desplazado, es decir M = V%effH donde V es el volumen de la esfera y

%eff es la susceptibilidad volumétrica efectiva del ferrofluido.

Fig. 4.4 Huecos magnéticos como una analogía magnética al principio de Arquímedes.

Debido a que las partículas no magnéticas en los ferrofluidos inversos tienen un tamaño del orden de micrómetros, este tipo de fluidos presenta propiedades magneto-reológicas y pueden aplicarse los modelos estudiados para los fluidos MR convencionales. Sin embargo, el efecto en la reología de ferrofluidos inversos debido a la aplicación de un campo magnético es ordenes de magnitud menor que para fluidos magneto-reológicos ordinarios [22]. No obstante, debido a que es posible obtener partículas no magnéticas bien definidas con respecto al tamaño y forma, los ferrofluidos inversos son objeto de estudio con la aplicación de modelos teóricos para la determinación de las propiedades magnetoreológicas, lo que permite una fácil comparación con la teoría.

Como se ha mencionado, Skjeltorp [1], es quien realizó los primeros estudios en ferrofluidos inversos. Su estudio se basa en la formación de estructuras en una película monocapa de esferas de poliestireno de 10 J.tm dispersas en un ferrofluido. Las estructuras observadas son

IV. Ferrofluidos Inversos.

similares a aquellas encontradas en fluidos MR formados por partículas ferromagnéticas dispersas en un líquido portador. Como ya se ha discutido al inicio de esta sección, estas estructuras son responsables del efecto magnetoreológico en el fluido y pueden caracterizarse mediante el la determinación del esfuerzo de cedencia del material.

Por otra parte de Gans y col. [23], investigan la variación de propiedades reológicas como la viscosidad, el módulo de almacenamiento G' y el módulo de pérdida G" en función de la fracción volumétrica de partículas no magnéticas, campo aplicado y tamaño de partícula. El estudio muestra que existe un fuerte incremento del módulo de almacenamiento y la viscosidad con el tamaño de partícula y el campo aplicado.

En otro estudio también realizado por de Gans [21], se investiga la viscoelasticidad lineal de ferrofluidos inversos. Aquí se desarrolla un modelo reológico asumiendo que el ferrofluido es magnéticamente continuo con respecto a la escala del radio de las partículas no magnéticas (177 nm), las cuales son esféricas y monodispersas. El esfuerzo es dominado por la contribución de las interacciones de las partículas, las interacciones entre las cadenas son omitidas y la deformación de las cadenas es homogénea. Bajo estas condiciones la fuerza de interacción dipolar entre dos particulas es:

Fd _3oprm2

(3 cos, 91) (4.15)

— 4jr4

aquí, 1u0 es la permeabilidad en el vacío, ,ur la permeabilidad del ferrofluido inverso, O el ángulo entre el campo aplicado y la línea que une los centros de las dos partículas. Así, la determinación del módulo de almacenamiento G' esta dado por:

a) En el regimen saturado, es decir para m = - 4/3 7r a3M

G = - u0 MØ (4.16)

4

IV. Ferrofluidos Inversos.

b) En el régimen lineal, es decir para m = -47r/3a3H

flÇ(3)2 +— (3)21

(4.17) G = POPrfi2C(4)øv[21 +

2 _J 4 ) j

Aquí, (n) representa la función Riemann, Ø la fracción volumetrica de las partículas no magnéticas, M5 la magnetización de saturación del ferrofluido y /3 la permeabilidad efectiva de acuerdo a la ecuación (4.7). Ya que en este capítulo se estudia el comportamiento reológico de ferrofluidos inversos, este modelo se incluirá en el análisis de resultados de las pruebas oscilatorias.

In document TESIS CON CARACTER ABIERTO - Repositorio CIQA (página 94-106)