Fig. ¡ Inestabilidad de campo normal en un ferrofluido base keroseno.
*
/
iQv1G
1
I
n
MQ
r4
Fig. II Estructuras formadas debido a la aplicación del campo magnético normal al campo de observación, (Experimento de Rosensweig).
Finalmente, cabe mencionar que el uso de materiales magnéticos ha aumentado en áreas principalmente de ingeniería y medicina, gracias a la síntesis de nuevos materiales o al mejoramiento de las propiedades en los ya existentes. Tal es el caso de la síntesis de ferrofluidos con partículas de cobalto metálico, cuyas propiedades magnéticas superan casi al doble a los ya existentes con partículas de magnetita [3]. Otro ejemplo es el uso de latexes magnéticos para aplicaciones médicas en tratamientos de enfermedades. La encapsulación de partículas magnéticas mediante la polimerización en miniemulsión de estireno y metyl- metacrilato permiten la obtención de partículas nanométricas de polímero con propiedades magnéticas [4]. Estas partículas permiten ser controladas magnéticamente en el cuerpo y
atacar enfermedades localmente como el cáncer,. De esta forma, el área de investigación es amplia y se puede aún extender a otras áreas de aplicación.
[I]T. Sebaid, "Strukturuntersuchen in inversen Ferrofluiden' zur Zulassung zum Staatsexam, Oct. (2004)
R.E. Rosensweig, Ferrohydrodynamics, Dover Publications, Inc., (1985), pp. 178 - 199.
H. B5nnemann, W. Brijoux, R. Brinkmann, N. Matoussevitch, N. Baldófner, N. Palma, and H. Modrow, Inorgánica Chimica Acta, 350 (2003), 617 - 624.
[4]K. Landfester and L.P. Ramírez,J. Phys.: CondensedMatter., 15, (2003), S1345 - S1361.
ANEXO 1
En términos de las dimensiones longitud, masa y tiempo (LmT), dos sistemas de unidades se han estandarizado; una es el centímetro, gramo y segundo o sistema cgs, y el otro es el metro, kilogramo y segundo o sistema mks. Sin embargo, se debe enfatizar que la elección del sistema de unidades es completamente arbitrario.
Aunque existen varios sistemas de unidades cgs, solo uno de ellos es el que comúnmente se utiliza hoy en día, éste es el sistema gaussiano, el cual se basa en dos sistemas antiguos, unidades electrostáticas (esu) y unidades electromagnéticas (emu). Las unidades electrostáticas fueron definidas de la expresión que describe la fuerza entre dos cargas eléctricas puntuales, la cual es análoga a la Ec. (1.1) para cargas magnéticas. La constante de proporcionalidad en esta ecuación de acuerdo al sistema cgs, es igual a la unidad.
La frase racionalización de unidades se refiere a la adición del factor 4it. Mediante una definición apropiada de la constante de proporcionalidad, el factor 4it, que aparece en algunas ecuaciones, puede ser eliminado. Sin embargo, dependiendo del sistema de unidades que se elija en algunas ecuaciones este factor necesariamente estará presente. En el sistema gaussiano la racionalización esta acompañada por la adición de la constante de proporcionalidad en las ecuaciones de fuerza eléctrica y magnética (ley de Coulomb) igual a 1 /4t. Así la relación entre B, H y M se convierte en B = H + M y no existe el factor 4ic ni en las ecuaciones de Maxwell.
En el sistema mks la racionalización de las unidades es casi universal. Además, la carga eléctrica q se introduce como una dimensión adicional, con el coulomb siendo definido como la carga transportada por una corriente estacionaria de un amper en el tiempo de un segundo.
Ya que la constante de proporcionalidad en la ecuación de la fuerza electrostática de Coulomb se escribe 1/4rrso, se tiene que
- 1 q1 q2
F - r0,
4,rs0 r 2
esto indica que so, la cual es llamada la permeabilidad del espacio libre, tiene las dimensiones mL 3D2q2. Si se asume que la velocidad de la luz c = 3.00 X 108 m Ls, se tiene que co = 1/36 it x io o bien 8.854 X 1012 farad / metro. Para el caso de la constante de proporcionalidad magnética, esta se puede definir numéricamente de la ecuación de fuerza, así en la Ec. 1.1 k = 1/4itpo, donde es llamada la permeabilidad en el espacio libre y es igual a 4rc X 10 henry / metro. En la ecuación que relaciona H, B y M, es posible escribir B = ptoH + M si M y B tienen diferentes unidades. O bien, B = po(H + M), si M y B tienen las mismas unidades, lo cual es apropiado si las corrientes amperianas son consideradas como la fuente de B.
Una de las principales ventajas del sistema racionalizado mks es la inclusión de unidades prácticas tal como volts, ampers y ohms. Otra ventaja es que algunas ecuaciones frecuentemente utilizadas no contienen factores como 4it, c, SO o pto. Por ejemplo las ecuaciones de Maxwell
VD=0, ¿3B
at
VB=0, VxH=j+
at
Varios de los artículos citados en esta tesis emplean el sistema gaussiano o algunas de las unidades cgs; sin embargo muchos otros se basa en el sistema mks racionalizado y el SI, el cual es internacionalmente reconocido. Por tal motivo, aunque en el capítulo 1 se expresan todos los conceptos en sistema cgs, por ser el primero que se adoptó, en los siguientes capítulos, especialmente en la presentación de resultados, se utiliza el sistema mks y el SI.
Relación entre las unidades de los sistemas CGS (gaussiano) y MKS racionalizado.
Para convertir las unidades cgs a unidades mks, multiplicar el número de unidades cgs por el factor de conversión que aparece en la siguiente tabla.
Unidades en magnetismo
Cantidad Símbolo Unidades CGS Factor de Unidades SI, MKSa conversión
Longitud 1, L centimetro (cm) 10 2 metro (m)
Masa m, M gramo (g) lO kilogramo (Kg)
Tiempo t, T segundo (s) 1 segundo (s)
1
Fuerza F dyna iO newton
Energía E, U, W erg iO joule
Potencia dW/dt erg / s 10 1 watt
Polo magnético p intensidad de poio cgs 4it x 10-8 weber (Wb)
Campo magnético H oersted (Oe) 1 / 4ir x iO A / m
Momento dipolar magnético t momento dipolar
magnético cgs 4it x 10-" weber-metro
M" emu/cm3 iø A/m
Magnetización volumétrica
4itM gauss (G) 1 / 4it x 103 A / m
1 Am2 /kg,
Magnetización másica a, M emu / g
4itx10 7 Wbm/kg
Polarización magnética, J, 1 emu / cm3 4it x 10-4 Tesla, weber / m2 intensidad de magnetización
Inducción magnética B gauss 10- Tesla, weber / m2
Flux magnético I maxwell 1O weber, Volt segundo (V s)
Momento magnético m emu, erg / G 10 A m2, joule / Tesla
adimensional 47r adimensional o H / m,
Susceptibilidad volumétrica emu!cm3 (4it)2 x 10-7 Wb/(Am)
cm3! g 4ic x 10 m3 / kg,
Susceptibilidad másica
emu!g (4ic)2x 10 10 Hm2 /kg
cm3 / mol 4it x 10 m3 / mo!,
Susceptibilidad molar XM
emu /mol (4it)2 x 10 H m2 / mo!
Permeabilidad Po adimensional 4ir x 1 0 H / m, Wb / (A m)
permeabilidad relativa w adimensional. Mismo valor en ambos sistemas.
Factor de desmagnetización D, N adimensional 1 / 4ic adimensional
*
e
' El sistema SI ha sido adoptado por NIST. En donde aparecen dos factores de conversión, el de la parte superior es reconocido y consistente con SI y se basa en la definición B(T) = pLO(H(A/m) + M(A!m)), donde ito = 4t x lO H!m. El de la parte inferior se refiere al sistema CGS (gaussiano) y no es reconocido por SI, este se basa en la
ANEXO II
Las partículas en un ferrofluido coloidal, cada una con su momento magnético, son análogas a las moléculas de un gas paramagnético. En la ausencia de un campo aplicado, las partículas están orientadas al azar, y el fluido no presenta magnetización. Sin embargo, para intensidades de campo ordinarias la tendencia de los momentos dipolares a alinearse con el campo aplicado es parcialmente superado por la agitación térmica. Conforme la magnitud del campo magnético se incrementa, las partículas tienden a alinearse mas y más en la dirección del campo. A intensidades de campo muy altas las partículas pueden estar completamente alineadas, y la magnetización alcanza su valor de saturación. A continuación se adapta la teoría clásica de Langevin para obtener las relaciones de superparamagnetismo, asumiendo que no existe interacción magnética entre las partículas.
La magnitud de la intensidad de torque en la materia cuyo vector de magnetización M hace un ángulo O con respecto al campo aplicado H es ptoMH sen O. Si una partícula tiene volumen V, la magnitud m de su momento magnético es igual a ioMT'Ç así su torque
t
esta dado porv=mHsenO A2.1
La energía que se utiliza en la rotación de la partícula para la alineación del momento magnético en dirección al campo esta dada por la integral del torque sobre el ángulo:
e e
W
=
JrdO = mH Jsen&dG = mH(l - cos O) A2.2o o
4
En esta ecuación se puede observar que la energía es igual a mH cuando el momento de la partícula esta en ángulo recto con respecto al campo, o bien cuando 8 = itI2, y alcanza su valor máximo 2mH cuando el momento se encuentra antiparalelo al campo, esto es, para 8 = it.
Para considerar una distribución de partículas, es necesario definir una cantidad n(G), la cual representa la función de distribución angular para agrupar N partículas independientes. En la ausencia de un campo aplicado, el número de partículas localizados en la configuración del espacio entre Oy O + dO (ver figura A-1), esta dado por n(G)d
n(8) = N (2rsen0)(dO) = senOdO A2.3
4ir(1)2 2
H
Fig. A-! Configuración del espacio para N partículas independientes.
La mecánica estadística muestra que en la presencia de un campo aplicado a una temperatura absoluta dada T, la probabilidad de encontrar una orientación dada viene a ser proporcional a
4
Boltzmann factor = A2 .4
1 Así, el número de partículas que se encuentran en la configuración del espacio entre Oy O + dO es proporcional a
n(0)dO oc eIT 2senOdO = 1 e kTsenOd9 A2.5
4r 2
La constante de proporcionalidad puede ser calculada tomando el número de partículas igual a N:
ir
Jn(0)dO = N
El momento dipolar efectivo de una partícula es s componente a lo largo de la dirección del - campo, esto es, mcosG. En términos de la función de distribución n(G), el valor promedio de
mcosO, de la Ec. A2.6, esta dado por
Jm cos Gn(0)dO
=(mcosO)=° ,r A2.7
Jn(0)dO
11
4
Substituyendo para W de la Ec. A2.2 en A2.5 y colocando el resultado de la expresión para n(0) en A2.7 la reduce, después de la cancelación de la constante de proporcionalidad, a
Jm cosO exp(mH cosO / kT)sen OdO
rn=° A2.8
Jexp(mH cosO / kT)senOdO
- En esta expresión es conveniente introducir la relación de energía a = mH/kT, así que la Ec A2.8 puede re-escribirse
Jm cos 6 a COS °d cosO
ir
{e 0S9d cosO o
Jxe xdx
A2.9
donde x = acosO. Cuando las integraciones se llevan a cabo, el resultado es
=cotha—-L(a) A2.10
m a
4
La magnetización M de un ferrofluido tiene la dirección del campo aplicado, y su magnitud es la suma de los momentos de las particulas suspendidas en una unidad de volumen del fluido:
4
,u0 M=n A2.1 1
donde m es la componente del momento magnético principal por partícula a lo largo de la dirección del campo. De la misma forma, la magnetización de saturación M del fluido esta dado en términos de la magnitud del momento m
,u0 M = nm A2. 12
Además, el momento de saturación M del ferrofluido esta relacionado al momento de saturación Md del sólido magnético en bulk mediante la fracción volumétrica q$ del sólido presente:
M=çbM A2.13
Eliminando M y n de estas expresiones, se tiene
M A2.14
çbM m
Combinando las ecuaciones A2.10 y A2.14 se tiene la ley de magnetización superparamagnética para un ferrofluido coloidal monodisperso.
*
= coth a L(a)
OMd a
7r/4oMdHd3 - mH
a— kT kT
A2.l 5
esta ecuación es el resultado principal del análisis.
Comentarios y referencias suplementarias.
El desarrollo completo de las ecuaciones para describir la magnetización de partículas superparamagnéticas en un ferrofluido se encuentra descrito en el libro de:
Rosensweig, R.E. FerrohydrodinamiCS. Dover Publications, Inc., pp 55-58; (1985).
La adaptación de la función de Langevin para la determinación del tamaño de partícula en un sistema polidisperso incluyendo la distribución del tamaño de partícula en ferrofluidos, se describe en el artículo de:
Chantreil R.W., Popplewell J., Charles S.W., Measuremenis of Particle Size Distribution Parameters in Ferrofluids, IEEE Transactions on Magnetics, 14 (5), 975 - 977, (1978)
4
ANEXO III