3. FUNDAMENTOS EN ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA
3.3. Fundamentos sobre Análisis de Series de Tiempo
En otras palabras, 𝑋𝑋 es igual a su valor en el período anterior, más un choque aleatorio, 𝜀𝜀𝑡𝑡; 𝜀𝜀𝑡𝑡 tiene media cero, con varianza constante. El último supuesto, combinado con el hecho de que la media de 𝜀𝜀𝑡𝑡 es cero, dice que los errores, 𝜀𝜀’s, de períodos diferentes no están correlacionados entre ellos. En el análisis de series de tiempo, de forma típica 𝑥𝑥𝑡𝑡−1 se conoce como el primer rezago de 𝑥𝑥𝑡𝑡. Por convención, 𝑥𝑥𝑡𝑡−2 sería el segundo rezago, 𝑥𝑥𝑡𝑡−3 el tercer rezago y así en adelante. El término 𝜀𝜀𝑡𝑡 se conoce como ruido blanco y por lo general se asume que sigue una distribución normal.
Se puede pensar también en términos de cambios en X. Restando 𝑥𝑥𝑡𝑡−1 en ambos lados de la ecuación inicial se tiene que:
∆𝑥𝑥𝑡𝑡= 𝑥𝑥𝑡𝑡− 𝑥𝑥𝑡𝑡−1= 𝜀𝜀𝑡𝑡
En esta caminata aleatoria básica, ∆𝑥𝑥𝑡𝑡 tiene todas las propiedades del término estocástico, 𝜀𝜀𝑡𝑡. Ambos tienen media cero. Ambos tiene varianza constante, 𝜎𝜎2. Los términos de error de ambos no están correlacionados. Este sistema no se ve afectado por su pasado. Esta es la característica que define una caminata aleatoria.
¿Cómo evoluciona este sistema a través del tiempo? Note que, si la ecuación inicial es cierta para todos los períodos, las siguientes ecuaciones son válidas:
𝑥𝑥𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑡𝑡−1+ 𝜀𝜀𝑡𝑡
𝑥𝑥𝑡𝑡−1 = 𝑥𝑥𝑡𝑡−2+ 𝜀𝜀𝑡𝑡−1
⋮
𝑥𝑥𝑡𝑡−𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑡𝑡−𝑖𝑖−1+ 𝜀𝜀𝑡𝑡−𝑖𝑖
Sustituyendo las ecuaciones en ellas mismas, se observa como la ecuación evoluciona para múltiples períodos:
𝑥𝑥𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑡𝑡−1+ 𝜀𝜀𝑡𝑡= 𝑥𝑥𝑡𝑡−2+ 𝜀𝜀𝑡𝑡−1+ 𝜀𝜀𝑡𝑡 = 𝑥𝑥0+ ∑ 𝜀𝜀𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
En el tiempo 𝑡𝑡, 𝑋𝑋 es de forma sencilla la suma de su valor inicial, 𝑥𝑥0, más una serie de pasos aleatorios. Utilizando esta ecuación, se pueden calcular la media condicional y la varianza de 𝑥𝑥𝑡𝑡:
𝐸𝐸[𝑥𝑥𝑡𝑡 | 𝑥𝑥0] = 𝑥𝑥0
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑥𝑥𝑡𝑡 | 𝑥𝑥0] = 𝑡𝑡𝜎𝜎2
Si la varianza aumenta de manera proporcional con t, entonces la desviación estándar aumenta con la raíz cuadrada de t. Esta es la regla de la raíz cuadrada para variables aleatorias independientes y distribuidas de manera idéntica. Para una caminata aleatoria, el mejor pronóstico para un valor futuro de la variable es el valor actual, pero a medida que se pronostican períodos más lejanos, la probabilidad de acercarse con el pronóstico inicial se reduce con lentitud.
La caminata aleatoria no es el patrón más indicado para modelar precios de acciones, dado que se espera que en general los precios aumenten en el largo plazo, o para modelar tasas de interés, las cuales no pueden ser negativas en la mayoría de casos reales. Sin embargo, al realizar algunas modificaciones a este modelo, se pueden obtener patrones que satisfagan muchas de las restricciones aplicables por lo que son muy utilizados.
3.3.2. Proceso de Difusión con Tendencia
Una modificación simple que se puede aplicar al modelo de caminata aleatoria es agregar un término constante de la siguiente forma:
𝑝𝑝𝑡𝑡= 𝛼𝛼 + 𝑝𝑝𝑡𝑡−1+ 𝜀𝜀𝑡𝑡
La realización actual de la variable aleatoria, 𝑝𝑝𝑡𝑡, es una función de la constante, 𝛼𝛼, su valor anterior, 𝑝𝑝𝑡𝑡−1 y un choque aleatorio, 𝜀𝜀𝑡𝑡. Como antes, la varianza de 𝜀𝜀𝑡𝑡 es constante en el tiempo, y diferentes valores de 𝜀𝜀 no están correlacionados entre ellos.
La elección de 𝑝𝑝𝑡𝑡 como variable aleatoria es intencional. Si 𝑝𝑝𝑡𝑡 es el logaritmo del precio de un activo, reorganizando los términos, se obtiene una ecuación para el logaritmo de los rendimiento del activo:
𝑟𝑟𝑡𝑡 = ∆𝑝𝑝𝑡𝑡= 𝛼𝛼 + 𝜀𝜀𝑡𝑡
El término constante, 𝛼𝛼, se conoce como término de tendencia. En estos casos, 𝜀𝜀𝑡𝑡 es conocido como término de difusión. Por fuera de las finanzas, estos tipos de modelos son muy utilizados en la física para describir el movimiento de partículas. Para modelar precios de activos financieros, cuando los rendimientos siguen un proceso de difusión con tendencia se dice que el mercado donde se negocia el activo es de manera perfecta eficiente dado que el rendimiento esperado no depende de los precios o rendimientos anteriores. De otra forma, esto es equivalente a decir que los rendimientos condicionales y no condicionales son iguales.
Conforme a las matemáticas:
𝐸𝐸[𝑟𝑟𝑡𝑡 | 𝑟𝑟𝑡𝑡−1] = 𝐸𝐸[𝑟𝑟𝑡𝑡] = 𝛼𝛼
Si este no fuera el caso y alguna información pasada pudiese sugerir que el rendimiento de mañana, por ejemplo, será mayor que el rendimiento promedio, los compradores entrarían al mercado para comprar el activo presionando el precio hacia arriba. En un mercado a la perfección eficiente, este proceso continuaría hasta que desapareciera la oportunidad de arbitraje, es decir, hasta que el rendimiento esperado para mañana no sea ni mayor ni menor que el rendimiento medio no condicional.
Así como con la ecuación del modelo de caminata aleatoria, se puede sustituir de forma iterativa el modelo de difusión con tendencia en el mismo.
𝑝𝑝𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 + 𝑝𝑝𝑡𝑡−1+ 𝜀𝜀𝑡𝑡= 2𝛼𝛼 + 𝑝𝑝𝑡𝑡−2+ 𝜀𝜀𝑡𝑡−1+ 𝜀𝜀𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝛼𝛼 + 𝑝𝑝0+ ∑ 𝜀𝜀𝑖𝑖
𝑡𝑡 𝑖𝑖=1
Además, de forma similar se pueden calcular la media condicional y la varianza del proceso de difusión con tendencia como:
𝐸𝐸[𝑝𝑝𝑡𝑡 | 𝑝𝑝0] = 𝑝𝑝0+ 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑝𝑝𝑡𝑡 | 𝑝𝑝0] = 𝑡𝑡𝜎𝜎2
La varianza del proceso de difusión con tendencia es proporcional a t al igual que para la caminata aleatoria. Sin embargo, la media del proceso no es constante. El valor esperado de 𝑝𝑝𝑡𝑡 crece o decrece de manera continua a medida que pasa el tiempo de acuerdo con una tasa 𝑡𝑡. Por esto es que la constante 𝑡𝑡 se conoce como término de tendencia.
3.3.3. Procesos Autorregresivos
La siguiente modificación que se le puede realizar a un modelo de series de tiempo es multiplicar el término rezagado por una constante:
𝑉𝑉𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 + 𝜆𝜆𝑉𝑉𝑡𝑡−1+ 𝜀𝜀𝑡𝑡
Aquí, ambas, 𝑡𝑡 y 𝜆𝜆 son constantes. Dependiendo del valor de 𝜆𝜆, el comportamiento de este modelo puede variar de manera considerable. Cuando |𝜆𝜆| es menor que uno, este modelo produce una serie de tiempo estable. El Gráfico 3.12 los resultados simulados basados en la ecuación anterior con 𝑡𝑡 = 0.5 y 𝜆𝜆 = 0.9. Modelos similares a este pueden ser utilizados para modelar tasas de interés, de aquí el uso de la letra 𝑉𝑉 para la variable aleatoria.
Gráfico 3.12. Proceso autorregresivo con 𝜶𝜶 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 y 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎. 𝟗𝟗
Fuente. Tomado de (Miller, 2012)
La ecuación de este modelo se conoce como modelo autorregresivo (AR). De manera específica, la ecuación presentada se conoce como un modelo AR(1), pues 𝑟𝑟𝑡𝑡 depende solo de un primer rezago. La caminata aleatoria es un caso especial del modelo AR(1), donde 𝛼𝛼 es igual a cero y 𝜆𝜆 es igual a uno. Un modelo AR(n) se puede construir como:
𝑟𝑟𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 + 𝜆𝜆1𝑟𝑟𝑡𝑡−1+ 𝜆𝜆2𝑟𝑟𝑡𝑡−2+ ⋯ + 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑟𝑟𝑡𝑡−𝑛𝑛+ 𝜀𝜀𝑡𝑡
donde 𝛼𝛼 y las 𝜆𝜆’s son términos constantes.
¿Cómo cambia el comportamiento de 𝑟𝑟𝑡𝑡 la adición de 𝜆𝜆? Como se hizo en el procesos anteriores, se puede sustituir de forma iterada el modelo AR(1) en el mismo para obtener la siguiente ecuación:
𝑟𝑟𝑡𝑡= 𝛼𝛼 ∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖
𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0
+ 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑟𝑟𝑡𝑡−𝑛𝑛+ ∑ 𝜆𝜆𝑖𝑖𝜀𝜀𝑡𝑡−𝑖𝑖 𝑛𝑛−1
𝑖𝑖=0
A partir de este resultado, utilizando métodos para resolver series geométricas (para profundizar en el cálculo ver (Hamilton, 1994)), se deducen la media condicional y la varianza del proceso como:
𝐸𝐸[𝑟𝑟𝑡𝑡 | 𝑟𝑟𝑡𝑡−𝑛𝑛] =1 − 𝜆𝜆𝑛𝑛
1 − 𝜆𝜆 𝛼𝛼 + 𝜆𝜆𝑛𝑛𝑟𝑟𝑡𝑡−𝑛𝑛
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑟𝑟[𝑟𝑟𝑡𝑡 | 𝑟𝑟𝑡𝑡−𝑛𝑛] =1 − 𝜆𝜆2𝑛𝑛 1 − 𝜆𝜆2 𝜎𝜎2
Como se podría esperar, para valores de |𝜆𝜆| mayores que uno, la varianza de 𝑟𝑟𝑡𝑡 crece de forma exponencial a medida que 𝑛𝑛 crece. En este caso se dice que la serie diverge o es inestable. Para valores de |𝜆𝜆| menores que uno, el impacto de 𝑟𝑟𝑡𝑡−𝑛𝑛 sobre el valor esperado de 𝑟𝑟𝑡𝑡 decrece a medida que n aumenta, pero nunca se hace cero. Es un sistema de memoria infinita. Por ejemplo, si se utiliza este proceso para modelar tasas de interés, las tasas de 100 años atrás seguirían teniendo impacto sobre las tasas actuales, un impacto que puede ser muy pequeño, pero que puede generar críticas sobre el modelo para su aplicación en la práctica.
Para una caminata aleatoria, las medias condicional y no condicional del proceso eran iguales. Este no es el caso para un proceso AR(1). Para un proceso AR(1), como el valor del período actual depende del valor del período anterior, conocer el valor del período anterior impactará la expectativa del valor en el período actual.
3.3.4. Autocorrelación
La autocorrelación es la correlación que existe entre una serie de tiempo y ella misma desplazada 𝑛𝑛 rezagos. Se define como:
𝜌𝜌𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑟𝑟𝑡𝑡, 𝑟𝑟𝑡𝑡−𝑛𝑛) 𝜎𝜎𝑡𝑡𝜎𝜎𝑡𝑡−𝑛𝑛
La autocorrelación tiene un impacto muy importante sobre la varianza de un proceso a medida que se considera un mayor número de rezagos.
Para una caminata aleatoria, a medida que se considera un mayor número de rezagos, la varianza crece en proporción al tiempo. En otras palabras, si la desviación estándar diaria de un índice de acciones es 1 % y los rendimientos del índice siguen una caminata aleatoria, la desviación estándar de los rendimientos de 25 días será igual al 5 % al aplicar la regla de la raíz cuadrada, y la desviación estándar de los rendimientos de 100 días será igual al 10 %.
Cuando se introduce autocorrelación al proceso, la regla de la raíz cuadrada deja de funcionar. Considerando un proceso AR(1) para el rendimiento de un activo, se puede probar que la varianza para dos períodos estará dada por:
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑉𝑉2,𝑡𝑡] = 2 1 − 𝜆𝜆 𝜎𝜎2
Si 𝜆𝜆 es igual a cero, la serie de tiempo es equivalente a una caminata aleatoria y por lo tanto la varianza será proporcional al largo del período establecido, en este caso, 𝑛𝑛 = 2. Si 𝜆𝜆 es mayor que cero, y la correlación serial es positiva, entonces la varianza de dos períodos será mayor al doble de la varianza de un período. Para series con correlación negativa, un rendimiento positivo tenderá a estar seguido de un rendimiento negativo, devolviendo la serie a su media, y reduciendo la volatilidad para múltiples períodos. Lo contrario ocurre para series con correlación serial positiva.
En finanzas abundan series de tiempo con autocorrelación ligeramente positiva o negativa.
Es un error común asumir que la varianza es lineal en el tiempo, cuando no lo es. Asumir que no existe autocorrelación cuando existe puede generar serios problemas de sobreestimación o subestimación de riesgos.
3.3.5. Estacionariedad
En las secciones anteriores se discutió sobre series inestables, para las cuales las medias y las varianzas tiende a crecer sin límite. Existen muchas series de tiempo en el mundo real que
tienden a crecer de manera exponencial –índices de mercados de acciones y producto interno bruto (PIB), por ejemplo– mientras que otras series de forma típica fluctúan en bandas estrechas –tasas de interés, inflación, tasas de cambio, por ejemplo-. Esta dicotomía entre series que tienden a crecer sin límite y aquellas series que fluctúan alrededor de un nivel constante, es muy importante en la estadística. Las series que tienden a fluctuar alrededor de un nivel constante se conocen como series de tiempo estacionarias. En contraste, las series divergentes se conocen como no estacionarias. Determinar cuándo una serie es o no estacionaria es a menudo el primer paso en un análisis de series de tiempo.
Para ser más precisos, se puede decir que una variable aleatoria 𝑋𝑋 es estacionaria si para todo 𝑡𝑡 y 𝑛𝑛 se cumple que:
1. 𝐸𝐸[𝑥𝑥𝑡𝑡] = 𝜇𝜇 y |𝜇𝜇| < ∞ 2. 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑥𝑥𝑡𝑡] = 𝜎𝜎2 y 𝜎𝜎2 < ∞ 3. 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶[𝑥𝑥𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑡𝑡−𝑛𝑛] = 𝜎𝜎𝑡𝑡,𝑡𝑡−𝑛𝑛
donde 𝜇𝜇, 𝜎𝜎2 y 𝜎𝜎𝑡𝑡,𝑡𝑡−𝑛𝑛 son valores constantes. Estas tres condiciones establecen que la media, varianza y la correlación serial deben ser constantes en el tiempo. También, se requiere que la media y la varianza sean finitas.
De acuerdo con lo anterior, calcular la media y la varianza muestral para series no estacionarias no es muy útil, teniendo en cuenta que estas están cambiando de forma permanente y por lo tanto no brindaran información sobre la media y la varianza de la distribución en general.
Una serie no estacionaria puede construirse acumulando en el tiempo una serie estacionaria, por lo que con frecuencia para corregir problemas de no estacionariedad se suelen tomar diferencias de las series no estacionarias para aproximarlas a series estacionarias. Por ejemplo, transformar una serie de precios en una serie de rendimiento, es algo que se realiza con regularidad en finanzas.
3.3.6. Procesos de Medias Móviles
Además de las series autorregresivas (AR), existe otra clase importante de series llamadas series de medias móviles (MA, por su sigla en inglés). Los procesos MA asumen que el valor actual de la serie está influenciado por una fuente externa contenida dentro del error de modelo de los rezagos anteriores. Un proceso MA(n) tiene la siguiente forma general:
𝑥𝑥𝑡𝑡 = 𝜀𝜀𝑡𝑡+ 𝜃𝜃1𝜀𝜀𝑡𝑡−1+ ⋯ + 𝜃𝜃𝑛𝑛𝜀𝜀𝑡𝑡−𝑛𝑛
donde los 𝜃𝜃’s son términos constantes.
Las series con medias móviles pueden ser combinadas con series autorregresivas para formar procesos ARMA(p,q):
𝑥𝑥𝑡𝑡= 𝜆𝜆1𝑥𝑥𝑡𝑡−1+ 𝜆𝜆2𝑥𝑥𝑡𝑡−2+ ⋯ + 𝜆𝜆𝑝𝑝𝑥𝑥𝑡𝑡−𝑝𝑝+ 𝜀𝜀𝑡𝑡+ 𝜃𝜃1𝜀𝜀𝑡𝑡−1+ ⋯ + 𝜃𝜃𝑞𝑞𝜀𝜀𝑡𝑡−𝑞𝑞
En los procesos ARMA, las componentes autorregresivas están por lo general vinculadas con relaciones de largo plazo y las componentes de media móvil con relaciones de corto plazo.
El proceso ARMA por lo común más utilizado en aplicaciones en finanzas es el ARMA (1,1), donde 𝑥𝑥𝑡𝑡 depende de su primer rezago, el error actual y el error para un rezago.
𝑥𝑥𝑡𝑡= 𝜆𝜆𝑥𝑥𝑡𝑡−1+ 𝜀𝜀𝑡𝑡+ 𝜃𝜃𝜀𝜀𝑡𝑡−1
Este proceso es estacionario si |𝜆𝜆| < 1. Si este proceso es estacionario, su autocovarianza y su autocorrelación para 𝑘𝑘 rezagos están dadas por:
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶[𝑥𝑥𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑡𝑡−𝑘𝑘] = {
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶[𝑥𝑥𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑡𝑡] = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑥𝑥𝑡𝑡] =(1 + 𝜃𝜃2− 2𝜆𝜆𝜃𝜃)𝜎𝜎2
1 − 𝜆𝜆2 𝑘𝑘 = 0 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶[𝑥𝑥𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑡𝑡−1] = 𝜆𝜆𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑥𝑥𝑡𝑡] − 𝜃𝜃𝜎𝜎2 𝑘𝑘 = 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶[𝑥𝑥𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑡𝑡−𝑘𝑘] = 𝜆𝜆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶[𝑥𝑥𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑡𝑡−𝑘𝑘−1] 𝑘𝑘 > 1
𝜌𝜌𝑘𝑘 = {𝜌𝜌1 = 𝜆𝜆 − 𝜃𝜃𝜎𝜎2
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉[𝑥𝑥𝑡𝑡] 𝑘𝑘 = 0 𝜌𝜌𝑘𝑘 = 𝜆𝜆𝜌𝜌𝑘𝑘−1 𝑘𝑘 > 0
3.3.7. Criterios de Información para Elección de Modelos
Los criterios de información determinan el ajuste o capacidad predictiva de los modelos desarrollados. Estos métodos buscan encontrar el modelo más estable entre un conjunto de modelos. Para ello, miden la capacidad explicativa del modelo y penalizan de alguna forma la complejidad en ellos. Los criterios de información más utilizados son el criterio de información de Akaike y el criterio de información Bayesiano.
El criterio de información de Akaike (AIC por sus siglas en inglés) proporciona una medida de la calidad relativa del modelo. Se estima como:
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2𝑘𝑘 − 𝐿𝐿𝐿𝐿(𝐿𝐿)
donde 𝑘𝑘 es el número de parámetros incluidos en el modelo y 𝐿𝐿 es el máximo valor de la función de verosimilitud (para revisar el concepto de función de verosimilitud, ver (Lind, Marchal, & Wathen, 2015), aunque vale la pena tener en cuenta que el cálculo de los criterios por lo general viene incorporado en los paquetes econométricos). Este criterio se utiliza con frecuencia cuando se dispone de una gran cantidad de modelos a evaluar.
El 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 mide el ajuste con la verosimilitud y a la vez penaliza la utilización de muchos parámetros. La penalización de 2𝑘𝑘 del 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 es equivalente a hacer la validación cruzada del modelo dejando un dato fuera. El AIC es menos restrictivo que otros criterios a la hora de determinar la complejidad ya que acaba perdonando que el modelo sea muy complejo en parámetros siempre y cuando tenga muchos datos.
El criterio de información Bayesiano (BIC por sus siglas en inglés) es similar al criterio AIC.
Se calcula como:
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = −2𝐿𝐿𝑛𝑛(𝐿𝐿) + 𝑘𝑘𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑛𝑛)
Donde 𝑘𝑘 es el número de parámetros, 𝐿𝐿 es el valor de máxima verosimilitud y 𝑛𝑛 es el número de datos. Se basa en la máxima verosimilitud como forma de medida de la bondad de ajuste, igual que el 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵. La medida de la complejidad introduce tanto a 𝑘𝑘 como el 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑛𝑛). Este hecho da lugar a que se penalice más la inclusión de muchas variables frente a lo que lo hace el 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵.
3.3.8. Procesos ARCH y GARCH
La heterocedasticidad condicional autorregresiva es la condición que establece que hay uno o más puntos de datos en una serie para los cuales la varianza del término de error actual es una función de los tamaños reales de los términos de error de los períodos de tiempo anteriores. Por ejemplo, se relaciona con los cuadrados de los errores anteriores.
Los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva (ARCH por sus siglas en inglés) se emplean en el modelado de series de tiempo financieras que presentan agrupaciones de volatilidad variables en el tiempo, es decir, períodos de oscilaciones entremezclados con períodos de relativa calma. Por lo común, se aplican a los residuales después de realizado un ajuste ARMA a los datos.
Para modelar una serie de tiempo usando un proceso ARCH, se asume que los 𝜀𝜀𝑡𝑡 tienen un componente estocástico, 𝑧𝑧𝑡𝑡, y una desviación estándar dependiente del tiempo, 𝜎𝜎𝑡𝑡, de tal forma que:
𝜀𝜀𝑡𝑡 = 𝑧𝑧𝑡𝑡𝜎𝜎𝑡𝑡
Se asume que la variable aleatoria 𝑧𝑧𝑡𝑡 es un proceso de ruido blanco. La serie 𝜎𝜎𝑡𝑡2 se modela con la relación:
𝜎𝜎𝑡𝑡2 = 𝛼𝛼0+ 𝛼𝛼1𝜀𝜀𝑡𝑡−12+ ⋯ + 𝛼𝛼𝑞𝑞𝜀𝜀𝑡𝑡−𝑞𝑞2
donde cada 𝛼𝛼𝑖𝑖 es un término constante mayor o igual a cero. La ecuación anterior se asemeja a la de un modelo autorregresivo en 𝜀𝜀𝑡𝑡−12, de ahí el nombre de autorregresivo.
Si se supone un modelo de media móvil autorregresivo (ARMA) para la varianza del error, el proceso resultante es un modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada (GARCH por sus siglas en inglés). En ese caso, el modelo GARCH(p, q), donde p es el orden de los términos GARCH, asociados a 𝜎𝜎𝑡𝑡2, y q es el orden de los términos ARCH, asociados a 𝜀𝜀𝑡𝑡2, está dado por:
𝜎𝜎𝑡𝑡2 = 𝛼𝛼0+ 𝛼𝛼1𝜀𝜀𝑡𝑡−12+ ⋯ + 𝛼𝛼𝑞𝑞𝜀𝜀𝑡𝑡−𝑞𝑞2+ 𝛽𝛽1𝜎𝜎𝑡𝑡−12+ ⋯ + 𝛽𝛽𝑝𝑝𝜎𝜎𝑡𝑡−𝑝𝑝2
Una forma sencilla de identificar este tipo de patrones es a través de un gráfico de la serie de tiempo de los residuales, tratando de identificar los períodos de cambio abrupto en la volatilidad. Los procesos GARCH tienen comportamientos visuales similares a los procesos ARCH, por lo que es conveniente aplicar los criterios de información mostrados antes para seleccionar entre alguno de los procesos.