Teorema de Bayes

Asuma que se tiene dos bonos, el bono A y el bono B, cada uno con una probabilidad individual de incumplimiento del 10 % para el próximo año. La probabilidad de incumplimiento de ambos bonos es 6 %. La probabilidad de que ninguno de los dos bonos incumpla es 86 %. De los datos anteriores se puede inferir que la probabilidad de que solo el bono A incumpla es 4 %, al igual que para el bono B. Esta información se puede resumir en una matriz de probabilidad como la presentada en el Cuadro 3.3.

Cuadro 3.3. Matriz de probabilidad Acciones v.s. Bonos Bono A

Cumplimiento Incumplimiento

Bono B Cumplimiento 86 % 4 % 90 %

Incumplimiento 4 % 6 % 10 %

90 % 10 % 100 %

Fuente. Adaptado de (Miller, 2012)

Note que la probabilidad de incumplimiento de ambos bonos es igual al 6 %. Este resultado es mayor al 1 % que se esperaría si los eventos de incumplimiento fueran independientes (10

% × 10 % = 1 %). Esto puede ocurrir porque ambos bonos fueron emitidos por empresas de características similares, por ejemplo, los emisores están ubicados en la misma región geográfica, o porque los eventos de incumplimiento, en general, están correlacionados. La probabilidad de que ninguno de los bonos incumpla en sus pagos, 86 %, es también mayor a lo que se esperaría si los eventos fueran independientes (90 % × 90 % = 81 %).

Los términos de la matriz de probabilidad se pueden expresar en términos de probabilidades condicionales. ¿Cuál es la probabilidad de que el bono A incumpla, dado un incumplimiento del bono B? El bono B incumple en el 10 % de los escenarios, pero la probabilidad de que ambos bonos incumplan es 6 %. En otras palabras, el bono A incumple en 60 % de los escenarios en los cuales el bono B incumple. Esto se escribe como:

𝑃𝑃[𝐴𝐴 | 𝐵𝐵] =𝑃𝑃[𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵]

𝑃𝑃[𝐵𝐵] = 6 %

10 % = 60 %

Note que la probabilidad condicional es diferente a la probabilidad no condicional. La probabilidad no condicional de incumplimiento es 10 %.

𝑃𝑃[𝐴𝐴] = 10 % ≠ 60 % = 𝑃𝑃[𝐴𝐴 | 𝐵𝐵]

A menudo, la ecuación resultante anterior se escribe como:

𝑃𝑃[𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵] = 𝑃𝑃[𝐴𝐴 | 𝐵𝐵] ∙ 𝑃𝑃[𝐵𝐵]

En otras palabras, la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que A ocurra dado B, multiplicada por la probabilidad de ocurrencia de B. Además, se puede probar que el orden de A y B no importa, luego:

𝑃𝑃[𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵] = 𝑃𝑃[𝐵𝐵 | 𝐴𝐴] ∙ 𝑃𝑃[𝐴𝐴]

Combinando las partes derechas de las últimas dos ecuaciones y reorganizando términos se obtiene un resultado importante:

𝑃𝑃[𝐴𝐴 | 𝐵𝐵] = 𝑃𝑃[𝐵𝐵 | 𝐴𝐴] ∙ 𝑃𝑃[𝐴𝐴]

𝑃𝑃[𝐵𝐵]

Este resultado es conocido como Teorema de Bayes. En el ejemplo, como las tasas de incumplimiento son las mismas para ambos bonos, la aplicación del Teorema de Bayes es trivial. La probabilidad de incumplimiento del bono A, dado el incumplimiento del bono B, es 60 %, que es igual a (60 %×10 %)/10 %.

El Teorema de Bayes a menudo se describe como un procedimiento para actualizar las creencias sobre el mundo cuando se le presenta nueva información. Por ejemplo, suponga que tiene una moneda que al lanzarla tiene una probabilidad del 50 % de quedar en cara o en sello. Si lanza la moneda 10 veces y en todas ellas obtiene cara, se podría empezar a sospechar que las probabilidades son diferentes. Diez caras consecutivas podrían ocurrir, pero las posibilidades son solo de 1:1.024 para una moneda equilibrada. ¿Cómo actualiza sus creencias? Si cree que existe una probabilidad del 90 % de que la moneda estuviese equilibrada antes de empezar los lanzamientos, entonces la confianza en que la moneda esté equilibrada después de obtener 10 caras tal vez debería estar entre 0 % y 90 %. Se tiene menos certeza a la que se tenía antes de los lanzamientos sobre el equilibrio en los resultados del lanzamiento de la moneda, pero aún existe la posibilidad de que esté equilibrada.

Ejemplo. Suponga que usted es un analista de un fondo de inversiones. Basado en un análisis de datos históricos, usted determina que todos los administradores de fondos se encuentran en alguno de dos grupos. Las estrellas son los mejores administradores. La probabilidad que tiene una estrella de obtener mejor desempeño en su portafolio que el mercado en cualquier año es del 75 %. Los demás administradores, tienen la misma probabilidad de obtener un mejor o peor rendimiento que el promedio del mercado. Para ambos administradores, la probabilidad de superar al mercado es independiente entre un año y otro.

Las estrellas son raras. De un conjunto dado de administradores, solo el 16 % resultan ser estrellas. Un nuevo administrador inició operaciones tres años atrás y, desde entonces, ha logrado superar el mercado en cada uno de los tres años. ¿Cuál era la probabilidad de qué el administrador fuera una estrella cuando comenzó a operar? ¿Cuál es la probabilidad de que el administrador sea una estrella ahora?

SOLUCIÓN. Primero, se resumirá la información del problema y se revisará la notación. La probabilidad de que un administrador supere el rendimiento del mercado, dado que el administrador es estrella es 75 %:

𝑃𝑃[> 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚] = 75 % =3 4

La probabilidad de que el administrador que no es estrella supere el mercado es 50 %:

𝑃𝑃[> 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | 𝑁𝑁𝑚𝑚 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚] = 50 % =1 2

Cuando el administrador comenzó a operar, la probabilidad de que el administrador fuera estrella era del 16 %, una probabilidad no condicional:

𝑃𝑃[𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚] = 16 % = 4 25

Para responder a la pregunta final, se debe encontrar 𝑃𝑃[𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚 | 3 > 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚], la probabilidad de que el administrador sea estrella dado que ha logrado superar al mercado durante tres años. Utilizando el Teorema de Bayes:

𝑃𝑃[𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚 | 3 > 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚] =𝑃𝑃[3 > 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚] ∙ 𝑃𝑃[𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚]

𝑃𝑃[3 > 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚]

Se conoce 𝑃𝑃[𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸]. Como existe independencia entre la posibilidad de superar al mercado de un año al otro, la otra parte del numerador, 𝑃𝑃[3 > 𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚 | 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸], es la probabilidad de que un administrador estrella supere al mercado en cualquier año elevada a la tercera potencia:

𝑃𝑃[3 > 𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚 | 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸] = (3 4)

3

= 27 64

El denominador es la probabilidad no condicional de superar el desempeño del mercado por tres años. Este se calcula como el promedio ponderado de las probabilidades de superar el mercado para ambos tipos de administradores durante tres años:

𝑃𝑃[3 > 𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚] = 4 25 (

3 4)

3

+21 25 (

1 2)

3

= 69

400

Reemplazando se obtiene que:

𝑃𝑃[𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 | 3 > 𝑚𝑚𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚] =

2764 ∙ 4 6925 400

= 9

23 ≈ 39 %

La creencia actualizada sobre la posibilidad de que el administrador sea estrella, habiendo visto que superó el rendimiento del mercado por tres años, es de forma aproximada del 39

%, con un incremento significativo sobre la creencia inicial del 16 %. Sin duda, es mucho más probable que un administrador estrella supere al mercado por tres años consecutivos, por lo que tiene sentido que aumente la probabilidad de serlo para el administrador estudiado.

Fundamentos de Estadística Descriptiva

La estadística es un término utilizado para explicar el proceso mediante el cual, utilizando bases matemáticas, se permite caracterizar y entender un conjunto de datos y, a partir del análisis de la información establecida, realizar análisis inferencial sobre sus posibles comportamientos futuros. La estadística es utilizada en varias disciplinas, entre las cuales se

incluye la economía y las finanzas, con múltiples aplicaciones, dentro de las que se encuentra con más especificidad el análisis de riesgos financieros, teniendo en cuenta la incertidumbre de las principales variables financieras y el interés general para las empresas, personas y gobiernos en este ámbito.

En esta sección se hará una introducción a los principales conceptos que permitirán describir conjuntos de datos en términos estadísticos precisos con un enfoque aplicado al estudio de riesgos financieros. Además, se presentará notación y terminología utilizada en la literatura especializada relacionada con la estadística aplicada en las finanzas, de forma específica en la administración de riesgos financieros.