3. FUNDAMENTOS EN ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA
3.1.12. Valor esperado
SOLUCIÓN. Para una distribución continua, la moda corresponde al valor máximo de la función de FDP. En este caso se obtiene cuando 𝑥𝑥 = 10.
Para calcular la mediana, se debe encontrar el valor de 𝑚𝑚 tal que la integral de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) desde el límite inferior de 𝑥𝑥, cero, hasta 𝑚𝑚, sea igual a 0.5. Esto es:
∫ 𝑥𝑥
50 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0.5
𝑚𝑚 0
Resolviendo la parte izquierda de la ecuación:
∫ 𝑥𝑥 50 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑚𝑚
0 = 1
50 ∫ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑚𝑚
0 = 1
50 [ 1 2 𝑥𝑥2]
0 𝑚𝑚
= 1
100(𝑚𝑚2− 0) = 𝑚𝑚2 100
Igualando a 0.5 y resolviendo para 𝑚𝑚:
𝑚𝑚2
100 = 0.5 𝑚𝑚2 = 50 𝑚𝑚 = √50 = 7.07
En el último paso se puede ignorar la raíz negativa. Por último, el promedio es casi igual a 6.67:
𝜇𝜇 = ∫ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 50 𝑑𝑑𝑥𝑥
10
0 = 1
50 ∫ 𝑥𝑥10 2𝑑𝑑𝑥𝑥
0 = 1
50 [ 1 3 𝑥𝑥3]
0 10
= 1
150(103 − 0) =1000 150 =
20
3 = 6.67
de pagar $3 y un 50 % de probabilidad de pagar $7, su valor esperado es $5 que es lo que en promedio se esperaría ganar si se juega muchas veces. Este valor se puede calcular como 50
% × $3 + 50 % × $7 = $5.
Los conceptos de promedio y valor esperado están bastante ligados. En este ejemplo, si se juega una sola vez, no existe la oportunidad de ganar de forma exacta $5; solo se puede obtener $3 y $7. Pese a esto, incluso si el juego se realiza una sola vez, se puede decir que el valor esperado del juego es $5, pues se está hablando del promedio de todos los posibles resultados futuros.
Se puede expresar el concepto de valor esperado de un modo más formal utilizando el operador de valor esperado, 𝐸𝐸(∙) como sigue:
𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 0.5 ∙ $3 + 0.5 ∙ $7 = $5
En este ejemplo, el promedio y el valor esperado tienen el mismo valor numérico, $5. Lo mismo ocurre para variables aleatorias discretas y continuas. El valor esperado de una variable aleatoria es igual al promedio de la variable aleatoria.
Mientras el promedio y el valor esperado pueden ser iguales en muchas situaciones, los dos conceptos no son iguales. La diferencia entre ambos conceptos es sutil, aunque en muchas situaciones en finanzas y administración de riesgos los dos términos se pueden usar de forma indistinta.
Como el nombre sugiere, los valores esperados son cantidades vistas hacia futuro. Suponga que se posee un activo financiero para el cual el retorno promedio anual es igual al 15 %.
Este no es un estimado; en este caso se sabe que el promedio es igual a 15 %. Se dice que el valor esperado del retorno es igual a 15 % si se espera que el promedio ponderado por probabilidad de ocurrencia de todos los posibles resultados es igual a 15 %.
Ahora, suponga que no se conoce el retorno promedio del activo, pero se conocen los retornos de los últimos diez años, para los cuales el promedio muestral es igual al 15 %. En ese caso, el valor esperado puede o no ser igual al 15 %. En muchos casos, si se dice que el valor esperado es igual a 15 %, se están haciendo dos supuestos: primero, se asume que lo retornos de la muestra fueron generado por el mismo proceso aleatorio; segundo, se está asumiendo que los retornos seguirán siendo generados por el mismo proceso aleatorio en el futuro. Estos supuestos a menudo se asumen como ciertos en aplicaciones en finanzas, por lo que evaluar su validez es una parte importante de la administración de riesgos en la práctica.
Ejemplo. Suponga que se le solicita valorar el monto de las cuentas por cobrar de su empresa dentro de un año. Las cuentas por cobrar tienen un valor nocional de $100. Usted cree que existe una probabilidad del 20 % de que su principal deudor incumpla en sus pagos, caso en el cual las cuentas por cobrar valdrán $40 al final del año. También, existe una probabilidad del 30 % de que cualquiera de los otros deudores incumpla con sus pagos, caso en el que el valor de las cuentas por cobrar será de $90 al final del año. No existe posibilidad de que incumplan dos o más deudores en sus obligaciones. Si no se da incumplimiento de ninguno de los deudores, el valor de las cuentas por cobrar al final del año será de $100. Utilice una tasa de interés continua del 5 % para determinar el precio actual de las cuentas por cobrar.
SOLUCIÓN. Primero, se debe determinar el valor futuro esperado de las cuentas por cobrar, 𝐸𝐸(𝑉𝑉𝑡𝑡+1). Se tiene que:
𝑃𝑃[𝑉𝑉𝑡𝑡+1= $40] = 0.2 𝑃𝑃[𝑉𝑉𝑡𝑡+1= $90] = 0.3
Como solo existen tres posibles escenarios, la probabilidad de que no se dé incumplimiento alguno debe ser igual al 50 %.
𝑃𝑃[𝑉𝑉𝑡𝑡+1= $100] = 1 − 0.2 − 0.3 = 0.5 El valor esperado de las cuentas por cobrar en un año es:
𝐸𝐸(𝑉𝑉𝑡𝑡+1) = 0.2 ∙ $40 + 0.3 ∙ $90 + 0.5 ∙ $100 = $85
Por último, para obtener el valor actual de las cuentas por cobrar se debe descontar su valor futuro esperado a la tasa de interés indicada:
𝐸𝐸(𝑉𝑉𝑡𝑡) = 𝑒𝑒−5 %𝐸𝐸(𝑉𝑉𝑡𝑡+1) = 𝑒𝑒−5 %$85 = $80.85
El valor actual del bono es, en este caso, igual a $80.85. A menudo se conoce como valor presente o justo. El valor es considerado justo porque tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo y el valor racional que se pagaría sobre las cuentas por cobrar en caso de venderlas, dadas sus condiciones teóricas.
El operador de valor esperado es lineal, esto es, para dos variables aleatorias, 𝑋𝑋 y 𝑌𝑌, y una constante 𝑐𝑐, las siguientes ecuaciones son ciertas:
𝐸𝐸[𝑋𝑋 + 𝑌𝑌] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋] + 𝐸𝐸[𝑌𝑌]
𝐸𝐸[𝑐𝑐𝑋𝑋] = 𝑐𝑐𝐸𝐸[𝑋𝑋]
Si el valor esperado de los activos corrientes de una compañía es $10, y el valor esperado de los activos no corrientes es $30, el valor esperado del total de activos de la compañía es $40.
El operador de valor esperado no es multiplicativo, es decir, el valor esperado del producto de dos variables aleatorias no es de un modo necesario igual al producto de sus valores esperados.
𝐸𝐸[𝑋𝑋𝑌𝑌] ≠ 𝐸𝐸[𝑋𝑋]𝐸𝐸[𝑌𝑌]
De lo anterior, se deduce que el valor esperado del producto de una variable y ella misma no es igual a la multiplicación de los valores esperados de dicha variable, esto es:
𝐸𝐸[𝑋𝑋2] ≠ 𝐸𝐸[𝑋𝑋]2
Suponga que tiene una moneda “justa” (con igual probabilidad de obtener cara y sello al lanzarla). Además, defina el valor de +1 a una variable aleatoria, 𝑋𝑋, si al lanzarla se obtiene cara y el valor de -1 si se obtiene sello. Las probabilidades de cada resultado se pueden escribir como:
𝑃𝑃[𝑋𝑋 = +1] = 𝑃𝑃[𝑋𝑋 = −1] = 0.5
El valor esperado para un lanzamiento cualquiera es cero, pero el valor esperado de 𝑋𝑋2 es +1, no cero:
𝐸𝐸[𝑋𝑋] = 0.5 ∙ (+1) + 0.5 ∙ (−1) = 0 𝐸𝐸(𝑋𝑋)2 = 02 = 0
𝐸𝐸(𝑋𝑋2) = 0.5 ∙ (+12) + 0.5 ∙ (−12) = 1