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BANCO CENTR~L DEl E:CU~DOR

Nº 86

DERIVACION DE DATOS TRIMESTRALES A PARTIR DE DATOS ANUALES.

(TRADUCCION)

Enero 1988

SERIE CUENTAS TRIMESTRALES: CT.2

~~

BANCO CENTRAL

-:;¡ f. ^~UADOR

CO\i( ) CA.\( ) DOS( ló

PRO\"EEDOR: ••

~o. DE ORDE.'-:: --- -- ----- --- - - - -- - PRECIO:... - ! ____________ _

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BIBLIOTECA fCON(IMICA QUITO Rcr,i~tro Koha No. __ ).2.;)..~lL ______ _ Cc'llli~o de Barrus No .. 0~ f>_ es_~

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(2)

PRESENTACION:

Este documento de trabajo es una traducción del estudio elaborado por Lisman y Sandee titulado "Derivation of quarterly figures from annual data", publicado en la revista "Applied Statistics" en 1964. Constituye, por tanto,

.

uno de los trabajos pioneros sobre cuentas trimestrales y es referencia obligada para los técnicos que laboran en el área de la descripción económica coyuntural.

Se ha creido conveniente elaborar dos anexos: el primero, muy simple, tiene como objetivo demostrar las condiciones

impuestas en el modelo de Lisman-Sandee para el cálculo de la

matriz; el segundo presenta el cálculo del PIB trimestral para

el Ecuador, correspondiente al año 1983.

(3)

DERIV ACION DE DAT OS T RIME ST RALES A PARTIR DE D A TOS ANU ALES

J.

H. C. LISMAN

y J.

SANDEE

Cuando únicamente se disponen de datos anuales, se pueden obtener series trimestrales. Si no se pueden hacer hipótesis sobre la tendencia, se puede utilizar un método muy simple para obtener una buena aproximación de las cuentas trimestrales a partir de las anuales.

Para cada año t, el valor de las cuentas trimestrales es considerado como una media ponderada de los totales de los años t-1, t

y

t+l. Luego de introducir algunas restricciones, se obtiene un sistema de ecuaciones

,

a partir de las cuales se pueden obtener coeficientes ponderados.

Hasta cierto punto la solución contiene algunos aspectos arbitrarios, pero tiene la ventaja de ser simple, admisible

y

de utilidad práctica.

Introducción

Frecuentemente se necesitan datos trimestrales, por ejemplo en investigaciones económicas aunque lamentablemente sólo se disponen de cifras anuales. Si no se conoce nada sobre los datos trimestrales requeridos

y

no se pueden formular hipótesis sobre la tendencia inf ra-anual o

las cifras trimestrales se gráfico 1).

su fluctuación, se puede suponer que sitúan sobre una curva alizada (ver

La forma como se determina esta tendencia es diferente a un problema de interpolación, porque la tendencia de los datos anuales no coincide con la tendencia trimestral.

Método

Se parte de los datos anuales totales Xt (t = 1, ... , n) de

cada año

y

se los divide en cuatro datos trimestrales iguales,

2

(4)

Xt 1 X - X~ 1 l -- ^V 1 V - X,_ - J / 4 X ^t

1 , i . r r[r, VI J ,

f' n e o n el e 1 o c.; d 1 0 s r i m 0 ::; r n 1 < • :::; ~H... ""n e r ¹n r a r -n o P a r , l J

Yt I T , Yt I T 1 ,

n

^{1 V} tnr t mlo,

da o·-., trimf':;t 'C\lPr yt 1 ·~(·tni nn-t ~;11m;:1 r1nncl,.,.rr.i<la ,¡..-~ x¹- 1, Y.' ' XL+l l n'-' se ¡-,,~C"'"~ ¹ '~n J ^"l p · 1r icé! ·1mpl i ~tr r~sLr· m'·Lr)d'J para arí0s P1.."'S c?>ri. 0 r tu .,

l !

l_

y 1

y l l

yt I I I Yl V

a b c d

e f f e

el e b

en el que deben ser calculados los coeficient es.

( 1 )

otservar que SP utilizan sólo

6

coeficientes en lugar

de 1 2 , con

~a f :..nalicad de lograr una completa simetría.

Se requiere entonces 6 ecuaciones a partir de

es~os coeficientes pueden ser obtenidos, Si ^¿ ^ytⁱ -- _4xt _entonces,

a + b + e + el ^--

o

( 2 )

y 2(e + f) ^-^- 4 ( 3 )

que resulta directamente de la ecuación ( 1 ) . Además

=

^xt+l, ^así^yti ^- ^{x t ,} ^entonces^,

y

a + e + el - 1 b

+

f 1 e - 1

s~~o tr~s de las cuatro últimas ecuaciones :..ndepenC::..entes.

F1g.1

( 4 )

( 5 )

( 2)

las cua le:s

si ^Xt-1 -- _X_t

y ( 5) ~ 0~1

(5)

A continuación, se debe cumplir la siguiente condición; si los valores anuales xt aumentan (o disminuyen) en una cantidad constante p por año, los datos trimestrales deben aumentar (o disminuir) en una cantidad constante de 1/4 p por trimestre (ver gráfico 2), de modo que,

yti - yti-1

=

^1/4p

Aplicando esta condición a los trimestres I y I I del año t, se encuentra,

de donde,

Yt I I

=

^{bxt - 1} ⁺ ^{f Xt} ⁺ ^{cxt + 1}

yt I

=

axt - 1 + ext + dxt + 1

1 / 4 p

= (

^b-^{a ) xt -}ⁱ ^{+ (}^f^- ^{e ) xt} ^{+ (}^c^-d⁾^xt⁺^{1 .}

Sustituyendo xt-1 - xt - 1/4p y xt+l

=

^xt ⁺ 1/4p, se encuentra, a - b + c - d

=

^1/4 ^{( 6)}

Del mismo modo, restando a ytII de ytIII, se obtiene,

Futuras deducciones no independientes.

2(b - e)

=

1/4

permiten obtener

( 7)

estas ecuaciones

Hasta ahora se han obtenido 5 ecuaciones independientes, de manera que las 6 variables, a, b, etc. pueden expresarse en términos de un parámetro a que debe ser estimado.

La solución del sistema da,

yt I

yt l I

yt I I I yt IV

1/16

3 16 -3 1 16 -1 -1 16 1 -3 16 3

+ a/16

-1 2 -1 1 -2 1 1 -2 1

-1 2 -1

[ --~~

-1 " ]

Xt +l

-

La elección del parámetro a es ampliamente arbitraria, y tiene que ser realizada coherentemente. Se debe introducir una condición consistente en el tratamiento de la serie xt, se asume que la tendencia es una sinusoide (ver gráfico 3). Considerando a q como la diferencia absoluta entre los años sucesivos y a r como a la amplitud, tenemos ytI

=

^{r sen} ^22º30', ^ytII

=

^sen ^67º30',

etc, así yti

=

^1/2q⁼ 2.613 r. De ahí r = 0.765q, por diferencia entre ytII - ytI se obtiene 0.765 q (sen 67º30' - sen 22º30')

=

0.414q.

Como anteriomente, utilizando xt-1 - xt -q y xt+l

=

^xt ⁺ ^q,

se encuentra,

a - b - e + d

=

^0.414

4

(6)

Resolviendo el sistema de 6 ecuaciones, se obtiene,

a= -1.656 ( 8)

y calculando los coeficientes, el resultado es,

ytI [ 0.291 0.793 -0.084

-·i [ J

yt I I -0.041 l. 207 -0.166 ^Xt-1

yt I I I -- _-_0.166 _1.207 _-0.041 _xt

yt IV -0.084 0,793 0.291 Xt +1

Ejemplo

Como ejemplo se podría utilizar el índice de volúmen de las importaciones de Holanda, año base 1953

=

^100, ^de ^las

estadísticas generales de OECD. El gráfico 4 presenta la curva de los datos trimestrales, estimados a partir de la información anual.

~---

año ^Xt Yt

....

135 1955 135 135 135

154 148.1

1956 154 154.1

154 157.0 154 156.8 158 157.6

1957 158 159.7

158 159.0 158 155.7 149 149.9

1958 149 145.3

149 146.7 149 154.1 169 160.7

1959 169 165.0

169 171.l 169 179.1 198

1960 198 198 198

··-· · ----

^..

--

^,__

___ ____ "----

... ^_..

___

^..^,_

(7)

Corr.<• St> pue e 0bsf'rvar. cuarto t rime5trc dP inr

cons i cier·-. ~ 1 !' li'lf' 11• l'8S<.• Xt b'a'

apélrr·cl'· una lig..,.ra d.r::pr~.si.ór. ~r. i::l

q11r• ;i primF r..:i vj s::.3. podría sF.:r

r·m\i:11·p,< p•ierlr· ^:;r>^r real . Si se

.'.l, XI Xt ~ 1 Xt ~ ;: -: b'

y I b,

trime:-trait':': mue!'i.ran un pronunciado cn:wimir::ntr.J durar,t", <-:1 ario t ^,... gráfi1.x mejor ^·^y tal más realist a i::ne

35 uiÜ n ^-j, que yt l y yt l l sean menores que b, de mani:: ra ^r,¡_^lF.: ^"./'^I^{¡ ¡}

~- ~-ti v sear. mayores que b y como antes yI t + 1 Yt ¡v.

(=b) es men0r ^q~e

E ~étodo anterior es muy simple y requiere menos t iemp0 q~e -~~ procedimientos gráficos de prueba y err or empleados para

~b~ener la t endencia en base a datos anuales totales. Además en es os ^ú^l~im^o^s es característ ico que no se l ogre un proceso de

o ~imización. Estos mecanismos pueden ser util izados en lugar de

:a

condición arbit raria en la ecuación 8, aunque se perdería ^á s:.mplicidad del método, mientras que el beneficio seria insignificante.

Finalmen~e, cabe sefialar que si se conocen algunos e:emen~0s s~tr~ la evolución estacional u otras es convenient e de~er~i~ar :~ ~e~denc· a por el método anal i2ado y luego sobreponer !as

1·

F1g.<4

lllOO

(8)

ANEXO No. 1

Para el cálculo de los coeficientes de la matriz que permite trimestralizar datos a partir de cuentas anuales, Lisman y Sandee establecen un cierto número de condiciones que deben cumplirse simultáneamente.

Para demostrar la validez y coherencia de los coeficientes, se ha procedido a calcular y verificar cada una de las condiciones determinadas por los autores.

La matriz es la siguiente:

[

- 0.291 -0.041 -0.166 -0.084

l. a + b + c ⁺ d ^--

o

0.291 0.041 0.166

-

0.084

2. 2 (e + f)

=

⁴

2 (0.793 ⁺ ^l.207)

=

⁴

3. a + e + d -- ₁

0.291 + 0.793 - _0.084

=

¹

4. b + c + f

=

¹

-0 .041 + 1.207 - _0.166

=

¹

5. a - _b + c - d ^-- 1/4

0.291 + 0,041 0.166 + 0.084

6. 2 (b

-

c)

=

^1/4

2 (-0.041 ⁺ 0.166)

=

^0.25

7. a ^{- b} c + d -- _0.414

0.291 + 0.041 + 0.166

-

0.084 --

--

0.793 l. 207 1.207 0.793

o

0.25

0.414

-0.084 -0.166 -0.041

0.291

J

(9)

ANEX O N o.

2

A partir del método de Lisman-Sandee, se ha elaborado, para el caso ecuatoriano, un ejemplo de trimestralización del PIB de 1983 a precios constantes.

Como se vio anteriormente, el método se basa en datos anuales. Así, el vector de cifras anuales multiplicado por la matriz calculada por el método Lisman-Sandee, permite obtener el vector de cifras trimestrales. Esto se escribe de la siguiente manera:

1 -

y t I

yt I I yt I I I

ytI V ^-^-

[

^-0.041^-0.084^-0.166^0.291 ^0.793^0.793^L^l.²⁰⁷²⁰⁷ ^-0.084^-0.166^-0.041^0.291 ^{Xt -1}^xt^Xt⁺¹

Por otro lado, la ecuación matricial se puede escribir bajo la forma de un sistema de 4 ecuaciones a 3 incógnitas. Así,

y t l -- _0.291 xt -1 + 0.793 ^Xt

-

0.084 ^{xt +1}

Yt ^{I I} = ^-0.041 ^{Xt -1} ⁺ ^1.207 ^xt - 0.166 xt +1

yt I I I = ^-0.166 ^xt-1 ^{+ 1. 207} ^Xt - 0.041 Xt + 1 yt IV = -0.084 ^{Xt -1} + 0.793 ^Xt + 0.291 Xt +l

Se parte de los datos anuales; para el ejemplo se el PIB del año t-1 (1982),

año t+l (1984) de las siguientes:

PIBs2

=

^155.265

PIBsa

=

^150.885

PIBs4

=

^157.226

el PIB del año t (1983) ^y el cuentas nacionales. Los datos

requiere PIE del son los

Antes de reemplazar los valores de x t - 1 , xt y xt+l en el sistema de ecuaciones anterior, dichos valores deben dividirse para 4, tal como lo establece el método de Lisman-Sandee.

8

(10)

Por lo tanto, la ecuación matricial se escribe de la manera

siguiente reemplazando xt-1, xt y xt+l,

ytl yt I I yt I I I

yt IV

=

0.291 -0.041 -0.166 -0.084

0.793 1,207 1,207 0.793

-0.084 -0.166 -0.041

0.291

[ -

... 39.306. 50 ^38816.25^37721.25

...

Resolviendo la ecuación matricial, se obtiene y t I , ytII ytIII y ytIV de 1983, a precios de 1975, que son:

yt I = 37906.7

yt I I -- _37413.2

yt I I I -

-

_37474.5

yt IV

-

- _38090.6

Como se ha podido comprobar en el ejemplo anterior, el método de Lisman-Sandee es muy simple y permite trimestralizar a una cuenta anual con solo reemplazar los datos anuales en una ecuación matricial.