Añadiendo 110 = 1, lo primero que hay que hacer es olvidarse de los
puntos, y después introducir espacios entre los números. De modo que 14.641 se convierte en 1 4 6 4 1.
El triángulo de Pascal es famoso en las matemáticas por su simetría y sus relaciones ocultas. Así lo creía en 1653 Blaise Pascal, que co
mentó que le era imposible tratarlas todas en un solo artículo. Los orígenes del triángulo de Pascal se remontan a mucho tiempo atrás. De hecho Pascal no inventó el triángulo que lleva su nombre: los eruditos chinos del siglo xiii lo conocían.
El triángulo de Pascal
El patrón de Pascal se genera desde la parte superior. Empiece con un 1 y ponga dos 1 a ambos lados de él en la fila inmediatamente infe rior. Para construir más filas, seguimos colocando 1 en los extremos de cada fila, mientras que los números interiores se obtienen median te la suma de los dos números inmediatamente supe
riores. Para obtener 6 en la quinta fila, por ejem plo, sumamos 3 + 3 de la fila superior.
Cronología
c. 500
a.C.c. 1070
d.C.Existen pruebas fragmentarias Omar Jayyam descubre el triángulo, del conocimiento del triángulo de Pascal que en algunos países lleva su
Vínculos con el álgebra
El triángulo de Pascal está fundado en matemáticas reales. Si calculamos (l + x) × (l + x) × (l + x) = (l +x)3, por ejemplo, obtenemos 1 + 3x + 3x2 + x3. Observe con atención
y verá que los números que preceden a los símbolos de esta expresión coinciden con los números de la fila correspondiente del triángulo de Pascal. El esquema que se sigue es:
(1 + x)0 1 (1 + x)1 1 1 (1 + x)2 1 2 1 (1 + x)3 1 3 3 1 (1 + x)4 1 4 6 4 1 (1 + x)5 1 5 10 10 5 1
Si sumamos los números de cualquier fila del triángulo de Pascal siempre obtenemos una potencia de 2. Por ejemplo, en la quinta fila empezando por arriba 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24. Esto se puede obte
ner a partir de la columna izquierda si usamos x = 1.
Propiedades
La primera propiedad, y la más obvia, del triángu lo de Pascal, es su simetría. Si trazamos una línea vertical hacia abajo, atravesando el centro, el triángulo tiene «simetría de espejo»: es el mismo a la izquierda de la línea vertical que a la derecha. Esto nos permite hablar de «diagonales» sencillas, porque una diagonal nores te será lo mismo que una diagonal noroeste. Debajo de la diagonal compuesta por 1s tenemos la diagonal compuesta por los números de conteo 1, 2, 3, 4, 5, 6... Debajo de ella están los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21... (los números que se pueden componer con puntos en forma de triángulos). En la diagonal inferior a ella tenemos los números tetraédricos 1, 4, 10, 20, 35, 56... Estos números corres ponden a tetraedros . ¿Y qué hay de las «casi diagonales»? Si sumamos los números de las líneas que atraviesan el triángulo (qué no son filas o verdaderas diagonales), obtenemos la secuencia 1, 2, 5, 13, 34... Cada núme ro es tres veces el anterior, restando a ello el nú mero que precede al anterior. Por ejemplo 34 = 3 × 13 – 5. Basándonos en esto, el si guiente número de la secuencia será 3 × 34 – 13 = 89. Hemos excluido las «casiCasi diagonales del triángulo de Pascal
1303
1664
1714
Zhu Shijie define el triángulo de Pascal El artículo de Pascal sobre Leibniz trata el y muestra cómo sumar determinadas las propiedades del triángulo triángulo armónico sucesiones se publica póstumamente
diagonales» alternas, em pezando por 1, 1 + 2 = 3, pero éstas nos darán la su cesión 1, 3, 8, 21, 55... y éstas se generan con la misma regla de «3 veces menos 1». Por consiguien-
Números pares e impares te, podemos generar el siguiente número de la secuencia, en el triángulo de Pascal como 3 × 55 – 21 = 144. 144. Pero hay más. Si intercalamos
estas dos secuencias de «casi diagonales», obtenemos los números de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
Combinaciones de Pascal
Los números de Pascal dan res puesta a algunos problemas de conteo. Imagine a 7 personas enuna habitación. Llamémoslos Alison, Catherine, Emma,
Gary, John, Matthew y Thomas. ¿Cuántas maneras hay de
elegir distintos modos de agrupar a 3 de ellos? Una manera sería A, C, E; otra sería A, C, T. A los matemáticos les parece útil escribir C(n,r) para representar el número de la n.–ésima fila, en la r.–ésima posición (contando desde r = 0) del triángulo de Pascal. La respuesta a nuestra
pregunta es C(7,3). El número de la séptima fila del triángulo, en la tercera posición, es 35. Si escogemos un grupo de 3, automáticamente hemos escogido un grupo «no escogido» de 4 personas. Esto da cuenta del hecho de que C (7,4) = también 35. En general, C(n,r) = C(n, n – r), lo cual se deduce de la simetría especular del triángulo de Pascal.
0 y 1
En el triángulo de Pascal, vemos que los números interiores forman un patrón dependiendo de si son pares o impares. Si sustitui mos los números impares por 1 y los números pares por 0, obtenemos una representación que sigue el mismo patrón que el notable fractal conocido como triángulo de Sierpinski (véase página 108).Añadiendo signos
Podemos escribir el triángulo de Pascal que corresponde a las potencias de (– 1 + x), a saber (– 1 + x)n.En este caso el triángulo no es completamente simétrico en torno a la línea vertical, y cuando sumamos sus filas, en lu
gar de obtener potencias de 2, obtenemos cero. Sin em bargo, aquí lo interesante son las diagonales. La dia gonal suroeste 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1... son
los coeficientes de la expansión
(1 + x)–1 = l – x + x2 – x3 + x4– x5 + x6– x7 + ...
Triángulo de Sierpinski
mientras que los términos de la siguiente diagonal son los coeficientes de la expansión
(1 + x)-2 = l – 2x + 3x2– 4x3 + 5x4– 6x5 + 7x6– 8x7 +...
El triángulo armónico de Leibniz
El erudito alemánGottfried Leibniz descubrió un notable conjunto de números en for ma de un triángulo. Los números de Leibniz tienen una relación de simetría en torno a la línea vertical. Pero a diferen
cia del triángulo de Pascal, el número de una fila se obtiene sumando los dos números que hay
debajo de él. Por ejemplo 1/30 + 1/20 = 1/12.
Para construir este triángulo podemos avanzar desde la parte superior y mo vernos de izquierda a derecha por sustracción: conocemos 1/12 y 1/30, y de ese modo 1/12 – 1/30 = 1/20, el número siguiente a 1/30. Puede que se haya dado cuenta us
ted de que la diagonal exterior es la famosa serie armónica El triángulo armónico
1 1 1 1 1 1 de Leibniz
1 + — + — + — + — + — + — + . . . 2 3 4 5 6 7
pero la segunda diagonal es lo que se conoce como la serie leibniziana
1 1 1
—— + —— + . . . + ————— 1×2 2×3 n × (n + 1)
que mediante cierta manipulación ingeniosa resulta ser igual a n/(n +1). Igual que hicimos antes, podemos escribir estos números leibni zianos como B(n,r) para representar el n.–ésimo número de la n.–ésima fila.
Están relacionados con los números de Pascal normales C(n,r) me diante la fórmula:
1
B(n,r) × C(n,r) = ——n+1
El triángulo de Pascal constituye un ejemplo del oficio de las matemá ticas: la búsqueda constante de patrones y de armonía que refuercen nuestra comprensión de la propia materia.