retícula de los ejes x/y
1639 d.C.
1806
Pascal descubre su teorema Brianchon descubre el teorema con tan sólo 16 años de edad dual del teorema de Pascal
El rayo luminoso y = 2x incide en el punto A cuyas coordenadas son x = 1 e y = 2, pero no incidirá en el punto B cuyas coordenadas son x = 2 e y = 4, y todos los demás puntos que están «detrás de» A (como C, con coordenadas x = 3 e y = 6, y D, con x = 4 e y = 8) quedarán en la oscuridad. Podríamos imaginarnos a nosotros mismos en el origen identificando los puntos que se pueden ver desde allí, y aquellos que quedan en la oscuridad.
Podemos demostrar que aquellos puntos con coorde nadas x = a y x = b que se pueden ver son aquellos
que son relativamente primos entre sí. Éstos son los puntos que tie nen coordenadas, como x = 2 y y = 3, donde x e y no son ambas divi sibles por ningún número excepto por 1. Los puntos detrás de éste se rán múltiplos, como x = 4 e y = 6, o x = 6 e y = 9, y así sucesivamente.
El teorema de Pick
El matemático austríaco Georg Pick escribió un breve artículo, publicado en 1899, sobre geometría «reticular». De toda una vida de trabajo en el que trató una amplia variedad de temas, se le recuerda por el cautivador teorema de Pick; y, ¡menudo teorema es éste! El teorema de Pick proporciona un medio para calcular elárea encerrada por una figura de muchos lados (o poligo nal) formada uniendo puntos cuyas coordenadas son nú meros enteros. Esto son matemáticas de máquina flíper. Para hallar el área de la figura tendremos que contar el número de puntos ● que hay en el límite de la figura y el número de puntos interiores ○. En nuestro ejemplo, el número de puntos que hay en el límite es b = 22 y el nú mero de puntos interiores es c = 7. Esto es todo lo que necesitamos para usar el teorema de Pick:
área = b/2 + c – 1
A partir de esta fórmula, el área es 22/2 + 7 – 1 = 17. El área es 17 unidades cuadradadas. Es así de sencillo. El
teorema de Pick puede aplicarse a cualquier figura que una puntos discretos con coordenadas de números enteros, siendo la única con dición que el límite no se cruce a sí mismo.
Los puntos ○ «visibles» desde el origen, y los puntos × que quedan en la oscuridad Una figura de muchos lados o poligonal
1846
1892
1899
Kirkman se anticipa al Fano descubre el plano de Fano, Pick publica su teorema sobre descubrimiento de los Sistemas el ejemplo más sencillo de el área de los polígonos Triples de Steiner una geometría proyectiva
C
El plano de Fano
El plano de Fano, denominado así en ho nor al matemático italiano Gino Fano, que fue pionero en elestudio de la geometría finita, es el ejemplo más sencillo de
D
E G una geometría «proyectiva». Tiene solamente siete puntos y
siete líneas.
Los siete puntos se llaman A, B, C, D, E, F y G. Es fácil escoger seis de las siete líneas, pero ¿y la séptima? Las propiedades de la geometría y la forma en la que está
A F B construido el diagrama hacen que sea necesario tratar
la séptima líneacomo DFG: el círculo que atraviesa D, F y G. Esto no supone ningún problema, ya que las líneas en la geometría discreta no tienen por qué ser «rectas» en el sentido convencional.
Esta pequeña geometría tiene muchas propiedades, por ejemplo: • cada par de puntos determina una línea que los atraviesa a ambos • cada par de líneas determina un punto que está en ambos.
Estas dos propiedades ponen de manifiesto la notable dualidad que se da en las geometrías de este tipo. La segunda propiedad es sencilla mente la primera con las palabras «punto» y «línea» intercambiadas, y, de igual modo, la primera es simplemente la segunda con los mis mos intercambios.
Si en cualquier afirmación cierta intercambiamos las dos palabras y hacemos pequeños ajustes para corregir la expresión, obtenemos otra afirmación cierta. La geometría proyectiva es muy simétrica. No es ése el caso de la geometría euclídea. En la geometría euclídea hay lí neas paralelas, es decir, pares de líneas que nunca se encuentran. Po demos hablar acertadamente de la idea de paralelismo en la geometría euclídea. Esto no es posible en la geometría proyectiva. En la geome tría proyectiva todos los pares de líneas se encuentran en un punto. Para los matemáticos esto significa que la geometría euclídea es una clase inferior de geometría.
C Si eliminamos una línea y sus puntos del plano de Fano, volvemos
una vez más al terreno de la geometría asimétrica euclídea y a la existencia de líneas paralelas. Supongamos que eliminamos la lí
nea «circular» DFG, lo que nos da un diagrama euclídeo. Con una línea menos ahora hay seis líneas: AB, AC, AE,
BC, BE y CE. Ahora hay pares de líneas que son «parale
las», a saber, AB y CE, AC y BE, y BC y AE. Las líneas
E son paralelas en este sentido si no tienen ningún pun
to en común, como las líneas AB y CE.
El plano de Fano
A B
El plano de Fano, hecho euclídeo
El plano de Fano ocupa una posición icónica en las matemáticas por la conexión que tiene con tantas ideas y aplicaciones. Es una impor tante clave para la resolución del problema de la colegiala de Thomas Kirkman (véase página 173). En la teoría del diseño de experimentos, el plano de Fano aparece como un ejemplo proteico, un Sistema Tri ple de Steiner (STS). Dado un número finito de n objetos, un STS es una forma de dividirlos en bloques de tres de modo que cada par que se tome de los n objetos esté exactamente en un bloque. Dados los siete objetos A, B, C, D, E, F y G, los bloques del STS se correspon den con las líneas del plano de Fano.
Un par de teoremas
El teorema de Pascal y el teorema B1de Brianchon se hallan en la frontera entre la geometría A1
continua y la discreta. Son distintos pero están relacio nados entre sí. Tomemos un círculo estirado, que se
denomina elipse (véase página 95) y marquemos P Q seis puntos a lo largo de ella, que llamaremos A1,
B1 y C1, y A2, B2 y C2. Llamaremos P al punto en el
cual la línea A1B2 interseca a A2B1; Q al punto en el A2
cual la línea A1C2 interseca a A2C1; y R al punto en el cual la línea B1C2 interseca a B2C1. El teorema afirma que los puntos P, Q y R se hallan, todos ellos, en una sola línea recta. El teorema de Pascal es verdadero sean cuales sean las posiciones de los distintos puntos alrededor de la elipse. De hecho, podríamos susti tuir la elipse por una cónica distinta, como una hipérbola, un círculo, una parábola o incluso por líneas rectas paralelas (en cuyo caso se llama a la configuración «cuna de gato») y el teore
a1
ma seguiría siendo verdadero.
q
El teorema de Brianchon fue descubierto mucho tiem
po después. Dibujemos seis tangentes a las que llama- p
remos líneas a1, b1 y c1 y a2, b2 y c2, en contacto con la b
2
circunferencia de una elipse. Luego podemos definir tres diagonales, las líneas p, q y r, por la coincidencia de las lí neas, de modo que: p es la línea entre los puntos donde a1 coin cide con b2 y donde a2 coincide con b1; q es la línea entre los puntos donde a1 coincide con c2 y a2 coincide con c1; y r es la línea entre los puntos donde b1 coincide con c2 y b2 coincide con c1. El teorema de Brianchon afirma que las líneas p, q y r coinciden en un punto.