para identificar los primos, y sus apariciones entre los números enteros parecen no seguir ningún patrón. Uno de los primeros métodos para encontrarlos fue desarrollado por un co etáneo de Arquímedes: Erastóstenes de Cirene. Hoy es célebre por su criba para encontrar nú
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
meros primos. Erastóstenes imaginó los núme
ros de conteo desplegados ante él. Subrayó el 2 y tachó todos los múlti plos de 2. Después pasó al 3, lo subrayó y tachó todos los múltiplos de 3. Continuando de esta manera, cribó todos los compuestos. Los números subrayados que habían quedado tras la criba eran los primos.
Así que podemos predecir los primos, pero ¿cómo decidimos si un nú mero determinado es primo o no? ¿Qué hay de 19.071 o 19.073? Sal vo los primos 2 y 5, un número primo debe acabar en 1, 3, 7 o 9, pero este requisito no basta para hacer que ese número sea primo. Es difícil saber si un número grande que termina en 1, 3, 7 o 9 es primo o no sin probar posibles factores. Por cierto, 19.071 = 32 × 13 × 163 no es pri
mo, pero 19.073 sí.
Otro reto ha sido descubrir algún patrón en la distribución de los pri mos. Veamos cuántos primos hay en cada segmento de 100 compren dido entre 1 y 1.000.
Rango 1–100 101–200 201–300 301–400 401–500 501–600 601–700 701–800 801–900 901–1.000 1–1.000 Número
de primos 25 21 16 16 17 14 16 14 15 14 168
En 1792, cuando sólo tenía 15 años, Carl Friedrich Gauss propuso una fórmula, P(n) para calcular de forma aproximada el número de números primos menores que un número dado n (actualmente deno minado teorema de los números primos). Para n = 1.000 la fórmula da el valor aproximado de 172. El número real de primos, 168, es inferior a este cálculo aproximado. Siempre se había supuesto que así sucedía para cualquier valor de n, pero los primos a menudo deparan sorpresas y se ha demostrado que para n = 10371 (un número enorme que nor
malmente se escribiría con un 1 seguido de una ristra de 371 ceros) el verdadero número de primos sobrepasa el cálculo aproximado. De he
1742
d.C.1896
1966
Goldbach hace la conjetura de Se demuestra el teorema Chen Jingrun casi confirma que todo número dado (mayor de 2) es la de los números primos sobre la conjetura de Goldbach suma de dos primos la distribución de los primos
cho, en algunas regiones de los números de conteo la diferencia entre el cálculo aproximado y el número real fluctúa entre menos y exceso.
¿Cuántos?
Hay infinitamente muchos números primos. Euclides afirmó en sus Elementos (Libro 9, Proposición 20) que «los números primos son más que cualquier multitud designada de números pri mos». La hermosa demostración de Euclides dice así:Supongamos que P es el máximo número primo, y pensemos en el número N = (2 × 3 × 5 × ... × P) + 1. O N es primo o no lo es. Si N es primo, hemos producido un primo mayor que P, lo cual contra- dice nuestra suposición. Si N no es un primo tiene que ser divisible por algún primo, por ejemplo 3, 5 ... P. Esto significa que p divide a
N – (2 × 3 × 5 × ... × P). Pero este número es igual a 1 y por tanto p
divide a 1. Esto no puede ser, ya que todos los primos son mayores que 1. Por lo tanto, sea cual sea la naturaleza de N, llegamos a una contradicción. Nuestra suposición original de que hay un máximo número primo P es, por consiguiente, errónea. Conclusión: el nú mero de primos es ilimitado.
Aunque los primos «se extienden hasta el infinito», este hecho no ha impedido que haya gente que se haya esforzado por encontrar el mayor número primo que se conozca. Uno que ha ostentado el récord recien temente es el descomunal número primo de Mersenne 224036583 – 1, que
es aproximadamente 7.236 × 1012 (o unos 7 millones de millones).
Lo desconocido
Destacadas áreas desconocidas en las que es tán implicados los primos son el «el problema de los primos gemelos» y la famosa «conjetura de Goldbach».Los primos gemelos son pares de primos consecutivos separados úni camente por un número par. Los primos gemelos comprendidos entre 1 y 100 son 3, 5; 5, 7; 11, 13; 17, 19; 29, 31; 41, 43; 59, 61; 71, 73. En el frente numérico, se sabe que hay 27.412.679 gemelos menores de 1010. Esto significa que los números pares con gemelos, como 12 (que
tiene los gemelos 11, 13), constituyen sólo el 0,274% de los números dentro de este rango. ¿Hay un número infinito de primos gemelos? Sería curioso que no los hubiera, pero hasta ahora nadie ha sido capaz de escribir una demostración de esto.
Christian Goldbach aventuró la conjetura de que:
Todo número par mayor de 2 es la suma de dos números primos.
Por ejemplo, 42 es un número par y podemos escribirlo como 5 + 37. El hecho de que también podamos escribirlo como 11 + 31, 13 + 29 o 19 + 23 no viene al caso: sólo necesitamos una manera de hacerlo. La conjetura es verdadera para una enorme gama de números; pero nun ca se ha demostrado en general. El matemático chino Chen Jingrun
dio un gran paso. Su teorema afirma que todo número par suficiente mente grande puede escribirse como la suma de dos primos o como la suma de un primo y un semi-primo (un número que es la multiplicación de dos primos).
El gran teórico de los números Pie rre de Fermat demostró que los pri mos que tienen la forma 4k + 1 pue den expresarse como la suma de dos cuadrados exactamente de una ma nera (por ejemplo 17 = l2 + 42),
mientras que aquellos que tienen forma 4k + 3 (como 19) no pueden escribirse de ningún modo como la suma de dos cuadrados. Joseph La grange también demostró un céle bre teorema matemático sobre po tencias al cuadrado: todo número entero positivo es la suma de cuatro cuadrados. Así que, por ejemplo, 19 = l2 + l2 + l2 + 42. Se han explorado
potencias más elevadas y se han lle nado libros con teoremas, pero si guen existiendo muchos problemas. Hemos descrito los números primos como los «átomos de las matemáti-