contar a los demás pasajeros que se dirigen al trabajo a
primera hora de la mañana. Como es probable que todos los
pasajeros sean independientes entre sí, podemos suponer sin
temor a equivocarnos que las fechas de sus cumpleaños
estáran desperdigadas al azar a lo largo de todo el año.
Incluyéndole a usted, sólo hay 23 pasajeros a bordo. No es
mucho, pero basta para afirmar que la probabilidad de que
dos pasajeros compartan la misma fecha de cumpleaños no es
igual que la de que no haya dos que la compartan, sino mayor
que ella. ¿Lo cree usted? Hay millones de personas que no,
pero es totalmente cierto. Incluso a un experto con gran
experiencia en el ámbito de la probabilidad, William Feller,
esto le parecía asombroso.
¿Cuántas personas deben congregarse en una sala para que sea cierto que dos personas compartan la misma fecha de cumpleaños? Hay 365 días en un año normal (e ignoraremos los años bisiestos sólo para sim plificar las cosas), de modo que si hubiera 366 personas en la sala, al menos un par de ellas tendrían la misma fecha de cumpleaños, categó
ricamente. No puede darse el caso de que todas ellas tengan fechas de
cumpleaños distintas.
Es el principio del palomar: si hay n + 1 palomas que ocupan n palo mares, un palomar tiene que contener más de una paloma. Si hubiera 365 personas no podríamos estar seguros de que habría una fecha de cumpleaños en común porque todos los cumpleaños podrían ser en fechas distintas del año. Sin embargo, si se coge a 365 personas al azar esto sería sumamente improbable y la probabilidad de que dos perso-
Cronología
1654 d.C.
1657
1718
Blaise Pascal sienta las bases Christiaan Huygens escribe Abraham de Moivre publica La doctrina de la teoría de la probabilidad la primera obra publicada de las posibilidades, a la que sucedieron
nas no compartieran una fecha de cumpleaños sería minúscula. Aun cuando sólo haya 50 personas en la sala hay una probabilidad del 96,5% de que dos personas compartan una fecha de cumpleaños. Si se reduce aún más el número de personas, se reduce la probabilidad de que dos personas compartan una misma fecha de cumpleaños. Ha llamos que 23 personas es el número para el cual la probabilidad es apenas mayor que 1/2 y que para 22 personas la probabilidad de que se comparta una fecha de cumpleaños es apenas menor que 1/2. El nú mero 23 es el valor crítico. Aunque la respuesta al problema clásico del cumpleaños es sorprendente, no es una paradoja.
¿Podemos demostrarlo?
Escojamos a una persona al azar. La probabilidad de que otra persona tenga la misma fecha de cumpleaños es 1/365 y por consiguiente la probabilidad de que estas dos personas no compartan la fecha de su cumpleaños es de uno menos esto (o 364/365). La probabilidad de que otra persona escogida al azar comparta su fe cha de cumpleaños con alguna de las dos primeras es de 2/365, de modo que la probabilidad de que esta persona no comparta su fecha de cumpleaños con ninguna de las dos primeras es de uno menos esto (o 363/365). La probabilidad de que ninguna de estas tres personas comparta su fecha de cumpleaños es la multiplicación de estas dos probabilidades, o (364/365) × (363/365), que es 0,9918.Si continuamos esta línea de pensamiento en los casos de 4, 5, 6... personas, la paradoja de problema del cumpleaños queda aclarada. Cuando llegamos a las 23 personas con nuestra calculadora de bolsillo obtenemos la solución 0,4927 como la probabilidad de que ninguna de ellas comparta la misma fecha de cumpleaños. La negación de que «ninguna de ellas comparte una misma fecha de cumpleaños» es que «al menos dos personas comparten un cumpleaños» y la probabilidad de esto es 1 – 0,4927 = 0,5073, apenas mayor que el crucial 1/2. Si n = 22, la probabilidad de que dos personas compartan una misma fecha de cumpleaños es 0,4757, que es menos que 1/2. La naturaleza aparentemente paradójica del problema del cumpleaños está estre chamente vinculada al lenguaje. El resultado del cumpleaños consti tuye una afirmación sobre dos personas que comparten una fecha de cumpleaños, pero no nos dice qué dos personas son. No sabemos a quiénes corresponderán las coincidencias. Si el señor Trevor Thom
década de 1920
1939
Bose contempla la teoría de Einstein sobre Richard von Mises propone la luz como un problema de ocupación el problema del cumpleaños
son, cuyo cumpleaños es el 8 marzo, está en la sala, podríamos hacer otra pregunta distinta.
¿Cuántos cumpleaños coinciden con el del señor
Thomson?
Para esta pregunta, el cálculo es distinto. La probabi lidad de que el señor Thomson no comparta su fecha de cumpleaños con otra persona es 364/365, de modo que la probabilidad de que no comparta su fecha de cumpleaños con cualquiera de las otras n – 1 personas de la sala es de (364/365)n-1. Por consiguiente, la probabilidad de que el señor Thomson comparta su fecha de cumpleaños con alguien será de uno menos este valor.
Si calculamos esto en el caso de n = 23 esta probabilidad es de solamen te 0,061151, de modo que sólo hay una probabilidad del 6% de que el cumpleaños de otra persona sea el 8 de marzo. Si aumentamos el valor de n, esta probabilidad aumentará. Pero tenemos que llegar hasta n = 254 (incluyendo al señor Thomson en la cuenta) para que la probabili dad sea mayor que 1/2. En el caso de n = 254, su valor es 0,5005. Éste es el punto de separación, porque n = 253 dará el valor 0,4991, que es menos que 1/2. Tendrá que producirse una reunión de 254 personas en la sala para que haya una probabilidad mayor que 1/2 de que el se ñor Thomson comparta su fecha de cumpleaños con alguien más. Esto está quizá más en sintonía con nuestra intuición que con la sor prendente solución del problema del cumpleaños clásico.
Otros problemas sobre cumpleaños
El problema delcumpleaños se ha generalizado de muchas formas. Uno de los enfoques es plantearse el caso de que tres personas compartan un cumpleaños. En este caso se necesitarían 88 personas para que la probabilidad de que tres personas compartieran el mismo cumpleaños no fuera igual que la de que no lo compartieran, sino mayor. En la misma medida, se necesi tarán grupos más grandes si cuatro, cinco personas... han de compartir una misma fecha de cumpleaños.
Otras incursiones en el problema del cumpleaños se han preguntado por las fechas próximas a los cumpleaños. En este problema se consi dera que se ha producido una coincidencia si un cumpleaños cae den tro de un plazo de cierto número de días respecto a otro cumpleaños. Resulta que apenas se necesitarán 14 personas en una sala para que la probabilidad de que dos personas ten gan una fecha de cum pleaños en común, o de
ños dentro de un plazo de un día entre sí, no sea igual, sino mayor a la probabilidad de que esas circunstancias no se produzcan.
Una variante del problema del cumpleaños que requiere herramientas matemáticas más sofisticadas es el problema del cumpleaños para chi cos y chicas: si una clase consiste en un número igual de chicos y chi cas, ¿cuál sería el grupo mínimo que haría que la probabilidad de que un chico y una chica compartieran una fecha de cumpleaños no fuera igual, sino mayor a la probabilidad de que no lo hicieran?
El resultado es que una clase de 32 (16 chicas y 16 chicos) constituiría el grupo mínimo. Se puede comparar esto con los 23 del problema clásico del cumpleaños.
En el cálculo de los cumpleaños se trabaja sobre el supuesto de que los cumpleaños están distribuidos de manera uniforme y de que cada cumpleaños tiene una probabilidad igual de darse en el caso de una persona escogida al azar. Los resultados experimentales muestran que esto no es exactamente cierto (nacen más personas durante los meses de verano) pero es lo suficientemente aproximado como para que la solución sea aplicable.
Los problemas de cumpleaños son ejemplos de problemas de ocupa ción, en los que los matemáticos piensan en términos de la coloca ción de bolas en celdas. En el problema del cumpleaños, el número de celdas es 365 (estas se identifican con posibles cumpleaños) y las bo las que se ha de colocar al azar en las celdas son las personas. El pro blema se puede simplificar para investigar la probabilidad de que dos bolas caigan en la misma celda. Para el problema de los chicos y las chicas, las bolas son de dos colores.
El problema del cumpleaños no sólo interesa a los matemáticos. A Satyendra Nath Bose le atrajo la teoría de Albert Einstein de que la luz se basaba en los fotones. Se apartó de las líneas tradicionales de investigación y contempló el entorno físico en términos de un proble ma de ocupación. Para él, las celdas no eran los días del año, como en el problema del cumpleaños, sino los niveles de energía de los foto nes. En lugar de poner personas en las celdas, como en el problema del cumpleaños, él distribuyó números de fotones. Hay muchas apli caciones de los problemas de ocupación en otras ciencias.