Clase de Javiera y Clase de Jos´ e

Clase de Javiera:

Lleg´o el d´ıa de la clase que Javiera hab´ıa preparado con dedicaci´on. Escribi´o en la pizarra los problemas 1 y 2, y les dijo a los alumnos que los realizaran usando ecuaciones. La metodolog´ıa que us´o fue: un momento de trabajo personal, luego comentar con los compa˜neros y, finalmente, una puesta en com´un, y les dej´o espacio para trabajar.

Observ´o durante la clase c´omo los alumnos y alumnas hac´ıan r´apidamente la traducci´on del lenguaje natural al matem´atico.

Pedro:(siempre hace los ejercicios r´apidamente, dice en voz alta) ¡Est´a malo esto!

Javiera:Pedro no grites, tus compa˜neros est´an trabajando.

Pedro: Est´a malo, esto no puede ser, ¡usted se equivoc´o!

(Javiera, muy tranquila y segura de lo que estaba haciendo, le hace algunas preguntas a Pedro, para que contin´ue o busque una explicaci´on).

De inmediato, Javiera hace la puesta en com´un, pues Pedro dio la respuesta en voz alta. Llama a Bernardita a la pizarra para que escriba y resuelva la primera ecuaci´on.

Problema 1: Un n´umero aumentado en 10 es igual al mismo n´umero aumentado en el doble de 5. Bernardita escribi´o: x + 10 = x + 2· 5 x + 10 = x + 10/ + (−10) x + 10 + (−10) = x + 10 + (−10) x + 0 = x + 0 x = x/ + (−x) x + (−x) = x + (−x) 0 = 0

Bernardita: (mira a la profesora y con timidez, le dice) Parece que est´a malo esto profesora”.

Pedro: Ve, le digo que eso est´a malo, no puede ser que la x se vaya.

Javiera le dice a su alumna que se siente y pide a Pedro que trate de buscar una explicaci´on.

Pedro: Mire, est´a bien resuelto, usted se equivoc´o en hacer el problema.

La profesora consulta al resto del curso y les pregunta: ¿Qu´e creen ustedes? ¿Tendr´a alg´un significado esto que nos dio? El curso completo se queda en

silencio, hasta la m´as inquieta mira a la pizarra y no encuentra explicaci´on. Entonces, Javiera hace una pregunta al curso: ¿Qu´e nos dice el problema? Busquen un n´umero que cumpla con esto, sin mirar el desarrollo que hizo Bernardita de la ecuaci´on.

R´apidamente levantan la mano varios alumnos, Javiera les pide a algunos que los escriban en la pizarra.

Ahora, ¿qu´e observan?

Rodrigo: (alumno muy anal´ıtico) Este problema tiene 10 respuestas.

Javiera:¿Por qu´e?

Rodrigo: Bueno, vamos cambiando valores y llegamos”.

Continuando con su clase, ocupa todo lo que escribieron los alumnos y la discusi´on que se gener´o. Posteriormente, les explica que este tipo de ecuaciones, que al resolverlas resulta el mismo n´umero a ambos lados de la igualdad, tienen varias soluciones.

Del mismo modo, es decir, usando la misma metodolog´ıa, los alumnos resuelven el problema 2; posteriormente, Javiera escribe sobre las soluciones de una ecuaci´on en la pizarra y da ejemplos.

Clase de Jos´e:

Jos´e les dice a sus alumnos que ahora realizar´an problemas de aplicaci´on usando ecuaciones. Escribe en la pizarra dos problemas y les da un tiempo para que los resuelvan. Mientras sus alumnos trabajan, ´el completa el libro de clases; pasado un tiempo se acerca un alumno.

Roberto:Profe... parece que el problema est´a malo.

Profesor:(sin mirar lo que hab´ıa hecho el alumno) No, ¡est´a bien! Si´entate.

Observa que hay murmullos en la sala y se para de su asiento y comienza a pasearse; efectivamente, se da cuenta que a los alumnos les da una respuesta rara.

Manuel:Profe... esto est´a malo, h´agalo usted en la pizarra.

El profesor vuelve a su mesa y lo resuelve r´apidamente; se da cuenta que le da 0 = 0. Piensa que esto no est´a bien, as´ı es que decide cambiar el problema en ese mismo instante.

Profesor: A ver, alumnos, me equivoqu´e, en vez de el doble de 5 coloquen el doble de 6.

Todos los alumnos resuelven el nuevo problema.

Manuel:Profe, esto tambi´en est´a malo. Mire me da 10 = 6”.

El profesor, muy nervioso, vuelve a resolver y se da cuenta de que tambi´en hay un error. Aprovecha de mirar el problema 2 y obtiene 6 = 3. Preocupado, toma la decisi´on y dice “no realicen los problemas, vamos a hacer m´as ecuaciones”.

Los alumnos reclaman y dicen ¡M´as lo que nos hace escribir...! Lo ´unico que quiere Jos´e es finalizar la clase, as´ı es que improvisa y escribe en la pizarra va- rias ecuaciones y les dice que las resuelvan, eso s´ı, atento a que no ocurra lo mismo. Terminada la clase, busca a Javiera y le dice a su colega: Oye Javiera, los

problemas que me pasaste el otro d´ıa est´an malos, no los pudieron hacer los alumnos, tuve que improvisar y hacer otros ejercicios.

Javiera le responde que esos problemas ten´ıan la intenci´on de tratar el tema de las soluciones de una ecuaci´on y le explica lo que ella hizo en clases. Jos´e le dice “Me

hubieras avisado, me pas´e la clase cambiando los enunciados.” Pero en realidad

no entend´ıa bien para qu´e Javiera pon´ıa problemas con infinitas soluciones, si esos problemas en realidad no aparecen en ecuaciones de primer grado.

Notas did´acticas

Siempre es bueno estimular a los y las estudiantes para que expresen las ideas ma- tem´aticas que hay en el caso. Concretamente, en esta situaci´on el problema aparenta ser simple, sin embargo, requiere de un an´alisis m´as fino, puesto que subyacen ideas que permitir´an la comprensi´on de otros conceptos, como la resoluci´on de sistemas lineales o las ecuaciones polin´omicas de grados mayores a uno.

La idea fundamental ac´a es tratar las soluciones de una ecuaci´on de primer grado de la forma ax + b = 0 con a y b cualquier n´umero entero. Se observa que al tratar estas ecuaciones en Octavo B´asico, no se hace hincapi´e en analizar las soluciones de una ecuaci´on, teniendo en consideraci´on que la ecuaci´on lineal tiene soluci´on ´unica o infinitas soluciones o soluci´on vac´ıa. Es com´un que cuando los alumnos resuelven ecuaciones y obtienen 0 = 0, lo interpreten como una ecuaci´on que est´a mal hecha y que no tiene significado en matem´atica. Lo mismo ocurre con las ecuaciones que, al resolverlas, dan contradicciones, por ejemplo 6 = 1, ellos piensan que la ecuaci´on no tiene sentido, que el problema est´a mal planteado.

Por tal raz´on, es necesario que el Facilitador encauce la discusi´on hacia este tema, pues es f´acil que la reflexi´on se focalice en aspectos como la preparaci´on de la clase, que sin duda es muy relevante, pero no se constata si los estudiantes tienen o no apropiado el saber en cuanto a las soluciones de la ecuaci´on de primer grado. Esto no quiere decir que el tema de la preparaci´on de la clase no se aborde, por el contrario, lo primero que un docente debe realizar para hacer su clase es estar completamente apropiado del contenido a tratar.

Otro punto a considerar es la idea de provocar la discusi´on y analizar los dos tipos de clases, haciendo notar que las intervenciones tienen distintas intencionalidades y evitando que los estudiantes emitan juicios sobre el actuar de ambos profesores. La profesora Javiera quer´ıa introducir un tema nuevo para los alumnos, era primera vez que trataba el tema en cuesti´on, de ah´ı entonces que se esmera en la preparaci´on de su clase. Por otra parte, el profesor tiene otra intenci´on, que es aplicar la resoluci´on de ecuaciones en problemas; sus alumnos sab´ıan resolver ecuaciones, sin embargo, al proponer los mismos problemas que Javiera, su clase cambi´o de rumbo.

Aspectos matem´aticos

En general, las soluciones vac´ıas de una ecuaci´on causan problemas, lo mismo que las soluciones infinitas. Es importante guiar la discusi´on a que no es lo mismo decir “esta ecuaci´on tiene varias soluciones” que decir “esta ecuaci´on tiene infinitas soluciones”. Es importante que el Facilitador invite a dar argumentos claros que permitan asegurar que la ecuaci´on 3(x− 4) = 2(x − 1) + (x − 10) tiene infinitas soluciones, lo mismo para

el caso vac´ıo.

Otro aspecto interesante a discutir es que no basta comprobar algunos casos, para asegurar que una relaci´on o propiedad es universal. Es decir, si no se sabe a priori que el conjunto soluci´on de una ecuaci´on de primer grado es un singleton, o todo el conjunto de los n´umeros reales (si se considera a este como referencial) , o el vac´ıo, no basta decir que como:

1) 2 + 10 = 2 + 2· 5 2) 3 + 10 = 3 + 2· 5 3) 7 + 10 = 7 + 2· 5 Entonces, para cualquier x real se cumple que x + 10 = x· 5, sino que se requiere un argumento general.

Aspectos pedag´ogicos

La siguiente es una pregunta recurrente: “¿Es necesario saber resolver ecuaciones para determinar que x + 10 = x + 2· 5?”

O, m´as generalmente, problemas del tipo “Mi mam´a me regala 20 estampitas, que junto a las que ya ten´ıa suman en total 34, ¿cu´antas estampitas ten´ıa?”, ¿son realmente apropiados para introducir las ecuaciones? Se sugiere guiar al grupo a dis- cutir este tema, es decir, discutir la necesidad de introducir las ecuaciones y cu´ales problemas son los m´as apropiados. Se sugiere que el Facilitador est´e muy preparado, con representaciones y met´aforas que permitan resolver problemas que propongan los estudiantes, sin necesidad de usar ecuaciones.

Otro aspecto interesante y relacionado con el anterior, es utilizar met´aforas y representaciones para resolver ecuaciones, dar sentido a las reglas que rigen a las ecuaciones, argumentar respecto a la naturaleza de las ecuaciones. Por ejemplo, en la representaci´on en balanzas, parece ser claro (ver la imagen m´as abajo) que la caja alargada puede tener cualquier cantidad de calugas y esta se mantendr´a equilibrada, lo cual muestra que cualquier n´umero x es soluci´on de la ecuaci´on x + 10 = x + 2· 5.