Solo resulta en el post´ıtulo

Primera parte

Carmen Gloria termin´o hace poco, y de manera muy exitosa, un post´ıtulo universitario para profesores de matem´atica de ense˜nanza media. De las cosas que aprendi´o, la que m´as le impact´o fue la importancia de las visualizaciones y representaciones en matem´atica. Desde entonces, ha utilizado visualizaciones y representaciones en varios t´opicos del curr´ıculo: para n´umeros racionales ha empleado frecuencias relativas y probabilidades; y para otras, met´aforas cl´asicas, como la de m´aquinas transformadoras para las funciones.

Tambi´en ha utilizado la idea de transformar un problema en otro m´as manejable. Por ejemplo, en probabilidades todo lo presenta de manera l´udica a trav´es de juegos de urnas, naipes, dados o monedas, con excelentes resultados; tanto as´ı, que sus estudiantes ya hacen las transformaciones de manera aut´onoma, sin que ella est´e “picaneando” para que esto ocurra.

Sus colegas est´an sorprendidos de que Carmen Gloria haya tomado esta bandera con tanta pasi´on, m´as a´un al recordar que sol´ıa despreciar el aspecto “did´actico” de la ense˜nanza por considerarlo un adorno innecesario, argumentando que un dominio cabal de los contenidos por parte del docente era suficiente para que los estudiantes aprendieran. Ahora anda todo el d´ıa pensando en met´aforas, representaciones, “mapeos conceptuales” como les llama ella, que le permitan hacer surgir la matem´atica del “fondo de la oscuridad”. ¡Qu´e bicho le pic´o!

comentan extra˜nados sus colegas.

Cuando le toc´o repasar fracciones de n´umeros enteros, para el t´opico de n´umeros racionales de Primero Medio, se preocup´o de mostrar a los alumnos varias representaciones de las fracciones, adem´as de las tradicionales pizzas. Entre ellas, aquella de las fracciones como parte o porci´on de un conjunto de individuos u objetos:

En un curso mixto hay 25 ni˜nas y 20 ni˜nos. ¿Qu´e fracci´on del curso corresponde a mujeres?

Los estudiantes m´as talentosos estaban bastante aburridos con los ejemplos de Carmen Gloria, algunos se sent´ıan casi ofendidos por los ejemplos triviales que propon´ıa. “Ni en Sexto B´asico nos ense˜naron con ejemplos tan fomes”, “A m´ı me hab´ıan dicho que la profesora Carmen Gloria era m´as dura, pero parece que tener buen promedio en el curso va a ser papaya”.

A Carmen Gloria no le preocupaban los comentarios, pues estaba segura de que esos estudiantes eran a “prueba de profesores” y que sin importar qui´en les hiciera clase, ellos iban a rendir bien de todos modos. No obstante, sent´ıa que estaba llegando a estudiantes que antes no la tomaban en cuenta, porque iba muy r´apido en sus explicaciones, dando definiciones, ejemplos y aplicaciones, sin detenerse en los tiempos espec´ıficos de cada alumno y alumna.

Una semana despu´es, propuso al curso un ejercicio de aplicaci´on de sumas de fracciones de distintos denominadores. Grande fue su sorpresa al comprobar que varios estudiantes, al sumar

1 2 +

1 3

lo hac´ıan sumando numeradores y denominadores por separado:

1 2+ 1 3 = 1 + 1 2 + 3 = 2 5

Carmen Gloria se horroriza y les dice: “¡As´ı no se hace! F´ıjense bien, son frac-

ciones de distinto denominador, lo que deben hacer es ponerlas en com´un deno- minador, en este caso, por ejemplo 6.

As´ı queda... 1 2+ 1 3 = 3 6 + 2 6 = 5 6

Los alumnos asintieron, pero no parec´ıan muy convencidos, especialmente Mat´ıas.

Mat´ıas: Yo entiendo lo que usted calcul´o, pero no entiendo por qu´e no me da el mismo resultado cuando las represento como usted nos dijo antes”.

Carmen Gloria: ¿C´omo as´ı?

Mat´ıas: Pero acu´erdese, profe, usted misma nos dijo que era bueno representar y visualizar antes de calcular. Y a m´ı eso me ayud´o harto. Entonces ahora yo pens´e:

1/2 lo represento por una caja en que hay una bolita roja y una blanca. Las rojas

son la mitad del total.

1/3 lo represento por una caja en que hay una bolita roja contra 2 blancas. Ahora

Ahora me acuerdo que sumar es juntar, as´ı que yo junto no m´as las dos cajas. Echo todas las bolitas en una caja m´as grande. Y ah´ı tengo ahora 2 rojas y 3 blancas. O sea, las rojas son 2/5 del total.

Carmen Gloria: (perpleja) Pero, f´ıjate que ese resultado 2/5 no es posible,

porque es menor que 1/2, y al sumarle algo a 1/2, no puede dar un resultado m´as chico que 1/2.

Mat´ıas: Eso lo entiendo, profe, pero igual no entiendo por qu´e al juntar las cajas que representan las fracciones, no me da lo mismo.

(En ese momento son´o la campana y Carmen Gloria, con un suspiro de alivio, le dijo a Mat´ıas “Lo seguimos viendo en la pr´oxima clase, ¿te parece?”.

Segunda parte

Carmen Gloria est´a comenzando a pasar probabilidades en ¿Primero? ¿Segundo? Medio. Sensatamente, quiere motivar las probabilidades a partir de las frecuen- cias relativas. Da ejemplos del tipo ´exito-fracaso en un experimento en que uno mide “el grado de ´exito” o la “eficacia” mediante la frecuencia relativa del ´exito: n´umero de ´exitos o aciertos, dividido por n´umero total de intentos.

Pero de nuevo, en el curso de un ejercicio, se encuentra con un alumno, Jos´e, que suma 2 5+ 3 5 = 5 9

Carmen Gloria se horroriza de nuevo y trata de explicarle por qu´e su resultado es absurdo, pero el alumno se defiende:

Jos´e: Es que yo me acord´e de cuando usted nos ense˜n´o a hacer la fracci´on aciertos divididos por intentos. As´ı que yo me imagin´e que ese 2/5 y 3/4 salieron de un juego en que uno trata de embocar pelotas en un cesto: Pedrito acert´o 2 lanzamientos de 5 y Mar´ıa acert´o 3 de 4. Entonces, los dos juntos acertaron 5 de 9. Y cuando queremos medir la destreza de un jugador o equipo, dividimos su n´umero de aciertos por su n´umero de intentos. As´ı es que el equipo Pedro - Mar´ıa tiene una destreza de 5/9, de nueve lanzamientos aciertan 5. Es decir, la suma de las destrezas individuales es la destreza del equipo, entonces. . .

2 5+ 3 5 = 5 9

Carmen Gloria ya no da m´as, le parece que su nueva bandera de lucha la ha lleva- do por caminos sinuosos. Un poco decepcionada del modo en que los estudiantes han utilizado sus ideas, reconsidera la implementaci´on del m´etodo did´actico que est´a realizando. Piensa que, tal vez, el asunto es similar a lo que le ocurr´ıa cuan- do era estudiante de pedagog´ıa: ella segu´ıa las clases de matem´atica sin ning´un problema, pero una vez que comenzaba a resolver las gu´ıas y los problemas de los libros, no sab´ıa por d´onde empezar, no avanzaba y no obten´ıa resultados; solo en ese momento se daba cuenta de que no hab´ıa entendido todo lo que ella supon´ıa. Ahora le pasaba lo mismo, todo se ve muy bonito en el post´ıtulo, pero al parecer el profesor de la universidad es tan capo, que puede llevar a cabo esta metodolog´ıa a la perfecci´on; pero como yo no tengo todo su conocimiento did´actico, ni mucho menos matem´atico, no tengo las herramientas para salir de estas encrucijadas. Otra cosa es con guitarra, piensa.

Gu´ıa para el facilitador

Introducci´on

Los estudiantes de educaci´on media suelen tener especiales dificultades con el concep- to de fracci´on (tambi´en los de b´asica). Generalmente, en educaci´on b´asica han visto razones, proporciones, porcentajes, pero para la mayor´ıa, una fracci´on es un s´ımbolo

“esot´erico” con el que se calcula mec´anicamente y en forma descontextualizada y sin mayor justificaci´on. En el mejor de los casos, representa un proceso, pero no la con- ciben a´un como un n´umero.

Por otra parte, la estad´ıstica es un t´opico tratado someramente en la formaci´on inicial de los profesores, con un fuerte d´eficit de buena base experimental y de situa- ciones did´acticas relevantes. Las frecuencias relativas aparecen como fracciones, pero la relaci´on entre las manipulaciones estad´ısticas y el c´alculo de fracciones permanece confusa.

Este caso pretende abordar estos dos temas con la problem´atica com´un: ¿qu´e sig- nifica a/b? Al no tener claro el significado de a/b, los alumnos alumnas operan con las fracciones imitando la forma en que sab´ıan operar con enteros, obteniendo por ejemplo 1 2+ 1 3 = 2 5.

Habitualmente, los docentes se limitan a corregir este procedimiento, sin consa- grar mayor atenci´on a las posibles causas de este error.

Resumen

Carmen Gloria es una profesora de matem´atica que despu´es de participar en un post´ıtulo, qued´o convencida de la importancia de las met´aforas y de las representa- ciones en matem´atica. As´ı, ella cambi´o su forma de ver la ense˜nanza de la matem´atica y su postura respecto a esta.

Ahora ocupa bastante tiempo en utilizar met´aforas para la ense˜nanza de todos los temas, lo cual la tiene muy contenta, pues siente que estaba llegando a alumnos que antes no la segu´ıan, porque se dedicaba a presentar la matem´atica de manera muy formal.

Sin embargo, se da cuenta de que sus alumnos de dos niveles diferentes, realizan en forma errada la suma de fracciones, debido a que la met´afora utilizada en ambos casos pod´ıa confundirlos a la hora de hacer c´alculos, sobre todo porque se utilizaban dos met´aforas, que no necesariamente dialogan bien. Por un lado, se utiliza la repre- sentaci´on de una fracci´on como una distribuci´on de bolitas de colores de una urna,

y por otro, la met´afora de “sumar” como “ juntar”. En el segundo caso se utiliza la representaci´on de fracci´on como “aciertos sobre todos los intentos” y “sumar” como

“juntar”. En ambos casos las met´aforas entran en conflicto.

Al final, Carmen Gloria, un poco decepcionada, no se cree capaz de llevar a cabo estas ideas con sus alumnos, pues no tiene los mismos conocimientos del profesor del post´ıtulo.

Objetivo principal

Provocar discusi´on y reflexi´on acerca de que esta manera de calcular (sumar nume- radores y denominadores) puede provenir de causas m´as profundas que una simple extensi´on abusiva de reglas de c´alculo familiares en el ´ambito de los enteros. Puede provenir, por ejemplo, de un conflicto de met´aforas:

“1/2 es una caja con una bolita roja y una bolita blanca”: “La proporci´on de bo- litas rojas es un medio”, dir´ıa el hombre de la calle.

Por otra parte, “1/3 es una caja con una bolita roja y dos bolitas blancas”. “La

proporci´on de rojas es ahora un tercio”, dir´ıa el hombre de la calle.

Enseguida, “sumar es juntar o reunir”. Entonces el ni˜no, junta el contenido de las dos cajas en una sola caja y obtiene. . . ¡5 bolitas de las cuales 2 son rojas! Esto es, 2/5. Procede de esta manera, porque la profesora lo ha estimulado a apoyarse en met´aforas del tipo:

- “Una fracci´on es una proporci´on en una poblaci´on”.

- “Una fracci´on es una porci´on”.

- “Sumar es juntar”. - “Restar es quitar”.

Objetivos secundarios

1. Provocar discusi´on y reflexi´on respecto a utilizar versus no utilizar repre- sentaciones, met´aforas y representaciones en y entre diferentes ´areas de la matem´atica.

2. Provocar discusi´on y reflexi´on respecto a utilizar metodolog´ıas nuevas una vez que se est´a muy seguro de ellas, versus utilizar metodolog´ıas nuevas ex- poni´endose a errores, “arreglando la carga en el camino”.

3. Provocar discusi´on respecto a si las fracciones son n´umeros, partes del todo, distribuci´on de una mezcla, probabilidades, frecuencias relativas o todo eso.

Situaci´on problem´atica principal

En este caso son dos las situaciones conflictivas principales, una en cada cap´ıtulo. La profesora del caso no parece estar preparada para “administrar” conflictos entre

Situaci´on problem´atica secundaria

En el primer cap´ıtulo, particularmente, el ni˜no dice expl´ıcitamente que ´el entiende que su soluci´on es err´onea, pero lo que no entiende es por qu´e su m´etodo no fun- ciona en este caso, si la met´afora de fracciones como distribuci´on de una mezcla le ha servido para entender las fracciones. Esta es otra situaci´on problem´atica, es decir, no basta decir “tu resultado es incorrecto”, ni tampoco basta que el ni˜no entienda que el resultado es incorrecto, sino que es necesario ponerse en los zapatos del ni˜no y entender cu´al es realmente el problema de Mat´ıas.

Recomendaciones para la conducci´on del caso

Es importante invitar a los participantes en el Taller a acompa˜nar al ni˜no en su razo- namiento y tratar de rescatarlo, en lugar de decirle simplemente que su razonamiento es incorrecto y que no debe proceder as´ı. Procediendo de esta manera podr´ıan expe- rimentar la diferencia entre la matem´atica “sabida” y la matem´atica a ser ense˜nada. Generalmente, saben lo que es correcto, pero no saben c´omo ayudar a un estudian- te a “verlo” o interiorizarlo, sin recurrir a fundamentaci´on te´orica ajena al nivel del educando.

Una manera de “rescatar” el uso de la met´afora que dice que las fracciones son proporciones de poblaciones, es tomar una caja de huevos para 6 unidades y depositar en sus huecos, bolitas de colores que representen las fracciones 1/2 y 1/3. Se podr´ıa depositar 6 bolitas blancas en los 6 huecos de la caja y el ni˜no podr´ıa representar primero 1/2 reemplazando 3 bolitas blancas por 3 bolitas rojas en la caja, para luego representar 1/3 reemplazando 2 bolitas blancas por 2 bolitas rojas en la caja. Obtiene as´ı 5 bolitas rojas y una blanca en los 6huecos.

Otra manera de hacer reflexionar al ni˜no productivamente es darle (o sugerirle que imagine) dos porciones de plasticina del mismo tama˜no, para que fabrique las dos bolitas de la primera caja con la primera, y con la segunda las tres bolitas de la segunda caja.

El segundo ni˜no se apoya en la met´afora que dice: “Una fracci´on es un coeficiente de destreza: n´umero de aciertos dividido por n´umero de intentos”.

Hace notar, justificadamente, que si Pedro y Mar´ıa forman equipo y lanzan pelo- tas, para determinar la destreza o la performance del equipo hay que sumar el total de aciertos y dividirlo por el total de intentos. Como Pedro acert´o 2 de 5 y Mar´ıa acert´o 3 de 4, entonces el equipo acert´o 5 de 9. En este contexto, es natural “sumar fracciones”, dice Jos´e, y no entiende por qu´e es ileg´ıtimo hacerlo.

La profesora no discierne bien que sumar aciertos e intentos es leg´ıtimo en una situaci´on como la descrita, pero que hacer esto no es simplemente “sumar fraccio- nes” de otra manera. Jos´e parece creer que si conoce las destrezas de Pedro y Mar´ıa podr´a pronosticar la destreza del equipo, con ayuda de su suma de fracciones.

La profesora podr´ıa ayudarlo a ver que la destreza o performance del equipo de- pende no solo de las destrezas individuales, sino tambi´en de cu´antas pelotas lance cada integrante: si Pedro lanza 5 y Mar´ıa lanza 8, de las que acertar´a 6, la perfor- mance del equipo mejora. Sin embargo, la fracci´on 3/4 es la misma que la fracci´on 6/8. Jos´e podr´ıa descubrir por s´ı mismo que si fuera el entrenador del equipo formado por Pedro y Mar´ıa, podr´ıa derrotar a otros equipos, como aquel formado por Luis y Carmen, aunque Luis sea m´as diestro que Pedro y Carmen sea m´as diestra que Mar´ıa, siempre que le asigne tirar muchas pelotas a Mar´ıa y pocas a Pedro, si es que el otro entrenador, torpemente, le da a tirar muchas pelotas a Luis y pocas a Carmen, que es m´as h´abil que Luis. Jos´e puede descubrir por s´ı mismo que la performance del equipo no depende solo de las fracciones que dan las performances o destrezas de sus integrantes, sino que del n´umero de pelotas que lance cada uno. En otros t´erminos, no depende ´unicamente de las fracciones involucradas, sino tambi´en de “c´omo est´en vestidas”.

La conclusi´on matem´atica que suele escapar a los estudiantes y profesores, es que el intento de definir una “suma estad´ıstica de fracciones”, que corresponda a lo que uno hace en la pr´actica en situaciones como la descrita, es un intento fallido, porque se trata de una suma mal definida: no depende solo de las fracciones implicadas, sino de su escritura; no da lo mismo aplicarla a

1 2 y 1 3 que a 100 200 y 1 3.

El principal riesgo que se debe evitar, en este caso, es que los participantes se limiten a corregir la manera de calcular de Mat´ıas y Jos´e, sin acompa˜narlos en su manera de calcular y ayudarlos a ver por s´ı mismos qu´e es leg´ıtimo y qu´e es ileg´ıtimo (por estar “mal definido”).

No es ileg´ıtimo sumar aciertos con aciertos e intentos con intentos, pero s´ı lo es pretender que, de esa manera, se define una suma de fracciones, ya que ocurre que

1 2+ 1 3 = 2 5 y 10 20+ 1 3 = 11 23 y 1 +10 =11.

En este caso puede emergen la idea de probabilidad: ¿Cu´an probable es que Mar´ıa acierte cuando lanza una pelota al cesto? ¿Cu´an probable es que una pelota lanzada por el equipo formado por Mar´ıa y Pedro caiga en el cesto? Puede ser recomendable alentar a los estudiantes a explorar en esta direcci´on, si la idea aparece.

Preguntas para guiar la discusi´on

1. ¿C´omo podr´ıa explicarle Carmen Gloria a Mat´ıas por qu´e su manera de cal- cular fracciones es incorrecta?

2. ¿Debiera Carmen Gloria renunciar a esta metodolog´ıa, si se corre el riesgo de provocar errores conceptuales profundos en los estudiantes?

3. ¿Es ileg´ıtimo lo que hace Mat´ıas? ¿Todo su procedimiento, o solo una parte de ´el?

4. ¿Es incorrecto representar fracciones por bolitas en urnas? ¿D´onde radica el problema?

5. ¿C´omo proceder de manera did´acticamente fecunda y no puramente represi- va?

6. ¿Qu´e posibles caminos abre este error? ¿Cu´anto ‘partido” le podr´ıamos sacar? 7. ¿Los errores de Mat´ıas y de Jos´e son del mismo estilo u obedecen a diferentes