Coeficiente de filtración modificado

Si nos basamos en la teoría de retención y arrastre, λ permanece constante durante el proceso de filtración. No obstante, se ha verificado que λ varía con . Los modelos que relacionan λ con se basan en la hipótesis de que la variación de la eficiencia del filtro se debe a variaciones de la geometría de los poros, causadas por la retención de partículas. De este modo, la superficie específica de los poros es un factor importante que debe ser considerado, pues la velocidad intersticial aumenta debido al estrechamiento de los canales por los que escurre la suspensión.

El modelo matemático general que relaciona λ con puede obtenerse si se consideran los tres casos individuales que se mencionan a continuación, y se combinan posteriormente para obtener un resultado global. En primer lugar, se considera al medio filtrante como un conjunto de esferas individuales. En segundo lugar, se supone que el medio filtrante está representado por un conjunto de capilares cilíndricos individuales. Finalmente, se considera que la velocidad intersticial es modificada por la cantidad promedio de depósito en cualquier elemento de volumen del medio filtrante.

129

3.5. Modelos matemáticos que relacionan λ con σ

La tabla 6 muestra los principales modelos que relacionan λ con σ, constantes y valores de los exponentes x, y, z.

El modelo propuesto por Iwasaki fue obtenido a partir de estudios con filtros lentos, y el de Sakthivadival a partir de la filtración de partículas no coloidales en un medio granular. En ambos casos, los modelos resultantes prevén un crecimiento lineal de λ con σ. La aplicación de estos modelos está limitada a los filtros en los cuales la acción física de cernido es dominante.

Figura 80: Coeficiente del filtro

λ

en función del depósito (Iwasaki e Ives)

Fox y Cleasby encontraron que el valor de λ calculado según Ives no se ajustaba a los resultados experimentales obtenidos con flóculos de hidróxido férrico. Se observa una diferencia significativa entre la curva teórica calculada en un computador y la curva resultante de los experimentos, como lo muestra la figura 81.

130

Tabla 6: Modelos matemáticos que relacionan

λ

con

σ

Modelo Exponentes Observaciones

Iwasaki sakthivadival Ives K, , parámetros Heertjes Shekhtman Lerk Maroudas y Eisenklan Wright, Kavannaugh y Pearson Mackerle Stein (*) (**) (*) (válido cuando λ decrece con σ) (**) (válido cuando λ decrece con σ) Mintz y Kristhul C, C0 = concentraciones de partículas suspendidas (vol/vol) Deb = Coeficiente adimensional; M1, M2 constantes. X = parámetro Yao, Habibian y O´Melia n = eficiencia de colección de un colector esférico aislado = Factor de colisión O´Melia y Ali n = Número de partículas suspendidas = Factor de colisión entre partículas retenidas y partículas suspendidas = Eficiencia de colección entre partículas retenidas y partículas suspendidas

131 La ecuación de Ives, en cambio, se adapta mejor a los resultados obtenidos en la filtración de partículas discretas no floculentas. Ensayos hechos con algas, que se pueden suponer un material menos compactable, dieron los resultados que aparecen en la figura 82.

Figura 82: Módulo de impedimento

λ

versus depósito específico (Ives)

Los autores antes citados concluyen que la primera parte de la expresión , parece ser válida para el período inicial, pero no así la segunda parte:

En 1969 Ives presentó un nuevo modelo en el que trata de reconciliar las expresiones de varios autores. Se basa en la hipótesis de que

λ

es función de la superficie específica del filtro (superficie de material por unidad de volumen).

Al principio de la filtración, el filtro se puede considerar constituido por granos esféricos en los cuales el material se deposita, incrementando la superficie específica y por tanto

λ

.

A medida que la carrera progresa y se aumenta el volumen de depósitos, los granos del medio dejan de actuar como esferas independientes y el lecho se puede considerar como una masa compuesta de una serie de capilares cilíndricos.

Al combinar ambos métodos de comportamiento se obtiene la siguiente ecuación:

132 En donde:

= constante =

.

: valor de saturación de cuando se alcanza un límite tal que la deposición de

más material en esa profundidad queda inhibida.

Los exponentes y, z, x son constantes empíricas, que se pueden variar para ajustarlas a los distintos modelos que se consideren. Si y = 1, z = 0, x = 0 se obtiene el modelo de Iwasaki, por otra parte, si y = 1, z = 1, x = 1 se llega a la expresión de Ives de 1960.Igualmente se puede demostrar que, cambiando los exponentes, se puede llegar a las ecuaciones de Mackrle, Shekhtmari y Maroudas.

Por tanto el nuevo modelo de Ives viene a ser una generalización de su modelo anterior, que busca ajustarse a las condiciones experimentales de cada investigador.

Su mayor inconveniente radica en que para la determinación de las constantes, hay que realizar laboriosos experimentos en filtros pilotos, lo que hace poco práctico su uso como instrumento de diseño.

El modelo propuesto por Heertjes y Lerk se desarrolló a partir del concepto de célula unitaria (poro aislado), donde las partículas próximas a su superficie estarían bajo la acción de la resultante de las fuerzas de rozamiento y de Van der Waals. Shektman supuso arbitrariamente que, debido al aumento de σ y de la velocidad intersticial, λ decrecería linealmente con el aumento de σ. Se puede observar en la tabla 6 que λ será igual a 0 cuando σ = , lo cual es improbable porque la acción física de cernido estará actuando y, por lo tanto, λ será diferente de cero.

Tanto Maroudas y Eisenklan, como Wright y colaboradores, propusieron un modelo basado en la hipótesis de que la eficiencia global en una capa del lecho filtrante es proporcional a la relación entre las fuerzas de arrastre y la resultante de las fuerzas que mantienen a las partículas adheridas a la superficie de los granos. Aunque este modelo haya sido verificado experimentalmente, su aplicación parece ser limitada, pues no tiene en cuenta el aumento de λ al inicio de la filtración ni tampoco el periodo en que λ permanece prácticamente invariable con el aumento de σ.

El modelo propuesto por Mackerle muestra una fase de aumento y otra de disminución de λ con el aumento de σ. A pesar de las dificultades para determinar los exponentes y, z, este comportamiento normalmente es observado en la práctica, a excepción del inicio de la filtración, cuando se verifica un crecimiento lineal de λ con el aumento de σ.

El modelo propuesto por Stein, a pesar de tener en cuenta las deficiencias mostradas por algunos modelos anteriores, es de aplicación práctica restringida debido a la dificultad de determinar cuatro parámetros (K1, K2, λ0, σu).

133 El modelo propuesto por Mintz y Kristhul fue desarrollado a partir de la teoría del transporte de sedimentos en medios porosos. Es interesante observar que a pesar de la diferencia matemática entre los modelos de Maroudas y Eisenklan por un lado y Mintz y Kristhul por otro, el significado físico es el mismo, pues en cualquier caso, el valor máximo de σ es σu en cualquiera de las capas del medio filtrante.

En el modelo de Deb los experimentos fueron hechos con partículas discretas y no con flóculos cuyo grado de hidratación afecta los resultados. El modelo está hecho para granos unidimensionales, lo que no suele ser el caso real, aunque la correlación entre los datos experimentales y la curva teórica calculada en un computador es bastante aceptable.

Figura 83: Coeficiente adimensional del filtro λa versus (según Deb)

El modelo propuesto por Yao y colaboradores se basa en un colector esférico, en el cual las partículas son removidas por difusión, intercepción y sedimentación. Dependiendo del tamaño de las partículas de la suspensión, uno u otro de estos mecanismos será el dominante. Este modelo se verificó en la práctica utilizando microesferas de látex; por ello no puede garantizarse que el modelo sea aplicable en condiciones reales, en que las suspensiones están constituidas generalmente por partículas floculentas.

El modelo propuesto por O’Melia y Ali fue obtenido a partir del modelo de Yao y colaboradores, pero teniendo en cuenta el efecto del aumento de la superficie específica debido a las partículas previamente retenidas.

134

3.6. Pérdida de carga en un medio filtrante

Al pasar un fluido Q a través de un lecho filtrante granular de profundidad L, la fricción que el fluido sufre al atravesar los poros produce una pérdida de carga h, como indica la figura 84.

Figura 84: Variación de la pérdida de carga en función de (L) y (t)

Al comenzar la operación de un filtro, los granos del lecho están limpios y la pérdida de carga se deberá solamente al tamaño, forma y porosidad (características hidráulicas) del medio filtrante y a la viscosidad y velocidad del líquido.

Si el fluido no tuviera partículas en suspensión o disolución, esta pérdida de carga inicial será constante a través de todo el periodo de trabajo o carrera del filtro. Pero, como ordinariamente contiene sólidos, estos irán recubriendo los granos del lecho, incrementarán su diámetro y disminuirán su porosidad inicial, con lo que la pérdida de carga irá incrementándose por la disminución del área de paso del flujo.

Resulta de aquí que deben considerarse dos clases de pérdida de carga:

- Una pérdida de carga inicial, que es la mínima que puede producir el filtro y que llamaremos o .

- Una pérdida de carga por colmatación, que será función del tiempo . Por tanto:

135 O en forma diferencial:

1.- Pérdida de carga inicial

La pérdida de carga inicial puede calcularse a partir de la ecuación de Kozeni, que solo es aplicable para esferas con flujo laminar, el cual solo se presenta cuando el número de Reynolds es menor que 10.

Donde:

f =

constante experimental y adimensional, generalmente igual a 5

k = coeficiente de fricción = viscosidad cinemática

g = aceleración de la gravedad L = profundidad del lecho

= porosidad inicial v = velocidad de filtración

= relación área de la partícula /volumen de la partícula

Siendo, para partículas esféricas, donde DC es el diámetro de la partícula, se tiene la

ecuación de Kozeni:

En la práctica, sin embargo, los granos ni son esféricos ni tienen tamaño uniforme ni el flujo es laminar sino transicional. Por lo tanto, la ecuación debe ajustarse para los siguientes casos:

 Cuando los granos no son esféricos, pero son de diámetro uniforme. En este caso hay que introducir un coeficiente de esfericidad ( ).

136

, que, reemplazado en (3.20), resulta:

 Cuando los granos no son esféricos ni de diámetro uniforme ni están estratificados en el lecho.

Hay que considerar la dispersión de las partículas así:

Donde:

Xi = Fracción en peso de material retenido entre dos tamices consecutivos, en un ensayo

granulométrico.

di = Diámetro promedio geométrico entre dos tamices.

Reemplazando (3.23) en (3.20), se tiene:

 Cuando los granos no son esféricos ni de diámetro uniforme, pero están estratificados en el lecho.

En este caso, la pérdida de carga total será igual a la suma de las pérdidas de carga en cada capa, si se entiende por capa el conjunto de partículas comprendidas entre dos tamices consecutivos.

Todo lecho filtrante se estratifica naturalmente cuando se lava con flujo ascendente, capaz de expandir los granos y hacer que estos, al suspender el lavado, se coloquen de menor a mayor, según sus densidades y sus diámetros. Las partículas más grandes y pesadas irán al fondo. Por eso, en los filtros rápidos, el lecho está estratificado, mientras que en los lentos no. La porosidad en uno y en otro caso es diferente; es mayor en los

137 rápidos que en los lentos, en los cuales, por no haber estratificación, los granos pequeños se meten en los grandes y disminuyen el área de paso o la porosidad.

Si se supone que la porosidad no varía en las diferentes capas, en cada una se cumple que Li = Xi L, donde Li es el espesor de una capa.

Reemplazando estos conceptos en (3.20), se tiene:

2.- Pérdida de carga final

La pérdida de carga final en un filtro es función de la forma como se distribuyen los depósitos específicos σ en el lecho filtrante y disminuyan su porosidad inicial .

Se puede expresar así:

En donde está dado por las ecuaciones incluidas anteriormente, y el coeficiente de pérdida de carga que depende del tipo de medio filtrante usado, de la rata de filtración, de la viscosidad del líquido y de las características de la suspensión.

Figura 85: Pérdida de carga final en un lecho filtrante

138 En el caso ideal en que el depósito específico σ sea uniforme en todo el lecho, la pérdida de carga vendría representada (ver fig. 85) por una línea recta con pendiente y la ecuación 3.27 quedaría así:

t

En el caso práctico, sin embargo, σ no es uniforme sino al contrario los sólidos quedan casi todos depositados en las capas superiores del lecho y casi nada en las inferiores, con lo que la curva de pérdida de carga final suele hacerse convexa, aumentando su convexidad con el tiempo, a medida que la colmatación superficial se hace mayor. Se ha establecido una ecuación para describir el incremento de la pérdida de carga considerando la formación de películas de espesor ∆DC alrededor de cada

grano, las cuales reducen la porosidad inicial en un valor σ. Reemplazando por consiguiente DC por DC + ∆DC y por - σ en la ecuación (3.21a), obtenemos para

partículas esféricas: Donde

Conocido el depósito específico σ, el valor de DC + ∆DC puede hallarse así:

Reemplazando este valor en (3.30a):

139

4. Fundamentos de la Filtración

La filtración es un ejemplo especial de flujo a través de un medio poroso, cuya resistencia al flujo no es constante sino aumenta a medida que el medio filtrante se va obstruyendo o se forma una torta de filtración.

A medida transcurre el proceso o bien disminuye la velocidad de flujo o aumenta la caída de presión.

En la filtración a presión constante, Δp permanece constante y disminuye la velocidad de flujo con el tiempo, mientras que en la filtración a velocidad constante, la caída de presión aumenta progresivamente permaneciendo constante la velocidad.

Si en el caso de la Sedimentación era posible definir una ecuación (fórmula de Stokes, etc.) que permite explicar desde un punto de vista físico o físico-matemático su comportamiento, no ocurre igual con la Filtración. La teoría de la filtración es compleja y ninguno de los métodos, hoy día desarrollados, ofrecen un conocimiento suficiente del proceso, tal es el caso de los estudios teóricos desarrollados por Ruth, Carman o Lewis, en los que no llegan a considerarse todas las variables que deben tenerse en cuenta para la elección de un determinado filtro: por lo que siempre será necesario recurrir a la experimentación para fijar las características del filtro y su régimen de trabajo óptimo. Entre estas características, a tener en cuenta, destacan la naturaleza, tamaño y cantidad de partículas, la presión necesaria para efectuar la filtración, las características del flujo residual a filtrar (viscosidad, densidad, temperatura, etc.), caudales y tiempos de filtración, resistencia del material sólido a la filtración, etc.

Aunque la teoría de la filtración no se emplea en exclusiva para el diseño de filtros en aplicaciones concretas, es frecuentemente empleada para la interpretación de resultados a escala de laboratorio, la optimización de aplicaciones o la predicción de cambios en las condiciones de trabajo. Su principal limitación reside en el hecho de que las características de la mezcla a tratar de partículas solidas y fluido, a veces llamada

lechada, por su complejidad e interacción pueden ser muy variables en los diferentes

casos reales.

In document Separación Sólido – Líquido en Hidrometalurgia (página 129-140)