3. Cinética de la filtración
4.4. Factores relacionados con el lavado de tortas
• El volumen de lavado depende de la fracción de material soluble que se queda en la torta.
• El tiempo de ciclo depende de la tasa a la que el líquido pasa a través de la torta La fracción de material soluble que permanece en la torta está fuertemente relacionado con el volumen de lavado.
donde:
- r es la razón de material soluble que permanece después del lavado entre los que originalmente estaban presentes.
- n es el volumen de líquido de lavado dividido por el volumen retenido en la torta. - ε es la eficiencia de lavado de la torta.
Por otro lado,
donde:
151
4.5. Otra aproximación al modelo
No obstante lo anteriormente expresado sobre el dilema teoría-experimentación y lo expuesto en anteriores apartados, a la hora de elegir un filtro o de diseñar un proceso de filtrado, parece también oportuno indicar aquí, que existe una ecuación que define, con buenos resultados, el mecanismo por el que se rige. Se trata de la "Ley de Darcy", que su enunciado indica que la pérdida de carga, ∆P, es proporcional a la velocidad de filtración, U. (relación del caudal Q por unidad de superficie A)
Siendo: K = coeficiente de proporcionalidad que es función de la viscosidad dinámica y de la resistencia del medio.
= viscosidad dinámica. R = resistencia del medio.
Es decir, el problema que se plantea en la filtración es: conocido el gasto y la composición de la suspensión a filtrar, determinar el filtro a utilizar y el tiempo necesario para la filtración; para ello es necesario establecer la velocidad de filtración, que permite utilizar las medidas efectuadas en el laboratorio para resolver este problema.
El paso del fluido a través del depósito, formado por las capas del sólido filtrado, siempre se realiza en régimen laminar.
Si designamos por U la velocidad de filtración y Q el gasto, será:
siendo A la superficie del filtro. La caída de presión, ∆P1, a través del depósito de
partículas, está dada por la ecuación de Carman-Kozeny:
siendo la viscosidad del filtrado, x el espesor del depósito, y la superficie específica de una partícula ( = relación área de la partícula /volumen de la partícula).
Si denominamos por:
152 que es una característica del depósito:
que define la caída de presión a través del depósito (o capas de partículas).
La caída de presión a través del tejido filtrante ∆P2, es función de la viscosidad, de
la velocidad y de una característica C del tejido, y se puede escribir:
La caída de presión total:
Si designamos por V el volumen del filtrado obtenido por unidad de superficie, en tiempo t:
pero para integrar esta ecuación es preciso establecer una relación entre V y x.
Si designamos por y, la relación entre el volumen del sólido en la suspensión y el volumen neto del líquido en la suspensión. Cuando el espesor del depósito sea x, la unidad de superficie del filtro soporta un volumen x, formado por: de sólido,
de líquido. Pero el volumen de sólido está acompañado en la suspensión de un volumen de líquido, siendo este volumen de líquido igual a la suma del volumen que queda en el filtro y del volumen V del filtrado, es decir:
de donde: y si ponemos:
depende del depósito y es función de y del título y de la suspensión. Por lo que la ecuación diferencial se convierte en:
153 integrando:
La constante de integración es cero, si V = 0 para t = 0.
La experimentación en un filtro de laboratorio permite determinar los parámetros K, C y ; poniendo t/V en función de V, se obtiene una recta, cuya ecuación es:
la pendiente de esta recta es
Hay que tener en cuenta al hacer el gráfico, que los puntos iniciales (comienzo de filtración) por no haber torta pueden separarse bastante de estas rectas.
En los distintos ensayos, si la torta fuera incomprensible el valor de sería el mismo, y si la tela se comportara invariablemente C también tendría igual valor, pero esto no es lo corriente y se calcula por:
El producto
depende, a la vez, de las propiedades de depósito y de la composición de la suspensión a filtrar.
El producto se puede poner en función de los gramos/litro (A) de la suspensión de peso específico del sólido, ya que el volumen del sólido en la suspensión será:
y el volumen neto del líquido
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En la mayor parte de los casos, el parámetro C (que indica la resistencia del filtro) es pequeño respecto a , por lo que la recta pasa casi por origen.
Si se efectúan ensayos para valores distintos de la diferencia de presión ∆P, se observa para ciertos depósitos que la influencia de esta diferencia de presión está convenientemente representada por la ecuación teórica. En otros casos queda mejor representada por:
En este caso se dice que el depósito es comprensible, admitiendo que el efecto observado proviene de una variación de , debido a la presión y a la porosidad .
Como los filtros se alimentan, en general, por bombas centrífugas, su funcionamiento tiene lugar pocas veces a presión constante o a caudal constante, sino que, según las características de la bomba, su caudal es en esencia constante durante las primeras etapas del ciclo y la presión es constante durante la fase final del ciclo.
La capacidad de los filtros se mide en función de los sólidos secos obtenidos por unidad de superficie filtrante.
Aparte de la influencia que tienen todos los factores indicados, en la fórmula sobre el volumen del filtrado, debemos indicar que para cargas formadas por sólidos incomprensibles, el aumento de la temperatura de la disolución aumenta el volumen de filtrado, por hacer disminuir la viscosidad.
Cuando las partículas sólidas disminuyen de tamaño, disminuye el volumen de filtrado y se aumenta la cantidad de líquido retenido en la torta, se modifica este inconveniente por la aglomeración de estas partículas por coagulación, mediante la adición a la suspensión a filtrar de materiales porosos, químicamente inertes y de bajo peso específico, tales como Kieselgurhr o tierras de diatomeas, pulpa de papel, carbón vegetal, serrín, cal, yeso, tierra de batán, separan, tylose, etc.
155 El tiempo óptimo de filtración es el necesario para obtener la producción máxima de filtrado.
V = volumen de filtrado; tm = tiempo de maniobra (lavado de torta, limpieza, etc.);
y t = tiempo de filtración.
Como conocemos V = f(t) el máximo de la función f(t) nos dará el tiempo óptimo de filtración ya que tm es independiente de t y además fijo. Si representamos V = f(t)
con abscisas tiempos y trazamos por el punto de abscisa tm una paralela a la curva
V = f(t), la tangente a esta curva por el origen tendrá por pendiente:
La tela filtrante también tiene gran importancia, y de la luz de su malla depende el tamaño de las partículas sólidas perdidas hasta que no comience a formarse la torta. Los tejidos gruesos y duros tienden a obstruirse con mayor facilidad que los delgados y flexibles y normalmente se utilizan con papel.
Dado que la separación sólido-líquido por filtración requiere una presión diferencial, ∆p, perpendicularmente a la costra de sólidos (cake), dicha diferencia de presión, ∆p, requerida para eliminar el fluido de la costra puede ser también determinada a través de la ley de Kelvin que cuantifica las fuerzas de capilaridad o diferencia de presión necesaria dentro de los poros intersticiales de una costra o torta de sólidos.
Donde: - T, tensión superficial. -
θ
, ángulo de contacto. - D, diámetro de poro.La expresión anterior refleja que cuanto más pequeñas son las partículas mayores son las diferencias de presión que se deben aplicar para vencer las fuerzas de capilaridad y poder obtener una humedad final deseada de la costra. El tamaño de poro tiene una relación directa con la distribución granulométrica (D80 y D10) del material que va a ser
desaguado.
Además de la expresión anterior, en el proceso de filtración interesa saber la cantidad de torta que se forma sobre una superficie unitaria del filtro en la unidad de tiempo, W/
t
f, para seleccionar y dimensionar la unidad de filtración adecuada, la156 mencionada expresión se puede también obtener como resultado de la derivación de la ecuación de Poiseuille, ambas ecuaciones se presentan a continuación en su forma definitiva:
y a partir de la ecuación de Poiseuille se obtendría:
Con la siguiente notación: