ELEMENTALES 4.1 INTRODUCCIÓN
4.7. CONCLUSIONES DEL ESTUDIO DE CASOS
4.7.1. Comparación con el análisis a prior
Destacamos, en primer lugar, la pertinencia y utilidad del análisis de tipo teórico realizado en la sección 2.5, que nos ha permitido prever las diferencias entre estos tipos de sujetos. Al comparar las columnas izquierda y derecha de cada una de las tablas 4.7.1 y 4.7.2. con la tabla 2.5.14 detacamos el grado de acuerdo entre los elementos de significado en sus diversas categorías en el análisis a priori y en los resultados del estudio de casos.
Tabla 4.7.1.Significados de la combinatoria elemental para los estudiantes con alto porcentaje de problemas resueltos
Luisa (12 problemas resueltos) Sujeto modelizador
Adolfo (13 problemas resueltos) Sujeto generador de modelos
Elementos extensivos:
Traducción de los problemas de colocación y partición a selección, excepto el problema en el que falla.
Identificación correcta de las configuraciones combinatorias en 12 problemas.
Reconocimiento del problema dado como un ejemplo del tipo de problemas resolubles mediante el modelo combinatorio correspondiente.
Planteamiento de problemas relacionados de menor tamaño en el problema que no traduce y en el problema 8 que convierte en problema compuesto debido a la traducción.
Planteamiento de subproblemas en los problemas compuestos.
Elementos extensivos:
Uso del esquema sugerido en el enunciado en los 13 problemas.
Identificación correcta de las configuraciones combinatorias en 13 problemas.
Planteamiento recursivo de problemas relacionados de menor tamaño.
Planteamiento de subproblemas en los problemas compuestos.
Elementos ostensivos:
Simbolización algebraica o numérica de los elementos a combinar, según su naturaleza. Uso de disposiciones tabulares.
Notaciones y términos para denotar las operaciones combinatorias.
Expresión de la fórmulas combinatorias. Correspondencia entre los datos del problema y los parámetros de las fórmulas
combinatorias.
Expresión de las reglas de la suma producto y cociente.
Correspondencia entre los datos del problema y los factores.
Expresión de las operaciones aritméticas.
Elementos ostensivos:
Simbolización algebraica o numérica de los elementos a combinar, según su naturaleza. Uso de disposiciones tabulares.
Expresión de las reglas de la suma producto y cociente.
Correspondencia entre los datos del problema y los factores.
Expresión de las operaciones aritméticas.
Elementos actuativos:
Traducción entre esquemas operatorios. Identificación de la operación combinatoria y desarrollo de la misma.
Pocas enumeraciones, en general parciales. Descomposición del problema combinatorio compuesto en subproblemas y composición de los mismos.
Realización de las operaciones aritméticas correspondientes.
Elementos actuativos:
No traduce los esquemas operatorios. Fijación de variables.
Enumeración parcial sistemática de las configuraciones combinatorias (selección, colocación, partición).
Resolución recursiva del problema combinatorio simple.
Descomposición del problema combinatorio compuesto en subproblemas y composición de los mismos.
Realización de las operaciones aritméticas correspondientes.
Elementos intensivos:
Identificación de las condiciones de realización del esquema operatorio de selección (influencia del orden, repetición). Traducción de condiciones de los esquemas de partición y colocación a condiciones del esquema de selección.
Muestreo, partición, aplicación. Conceptos combinatorios (variaciones, permutaciones, combinaciones, definiciones y condiciones de aplicación.
Reglas del producto, del cociente y de la suma; condiciones de aplicación.
Identifica propiedades combinatorias.
Elementos intensivos:
Identificación de las condiciones de
realización del esquema operatorio (influencia del orden, repetición; tipo de elementos y celdas, condiciones de la partición).
Muestreo, partición, aplicación.
No recuerda los conceptos combinatorios (variaciones, permutaciones, combinaciones). Reglas del producto, del cociente y de la suma; condiciones de aplicación.
Generalización de soluciones parciales. Identifica propiedades combinatorias.
Elementos validativos:
Justificación de las condiciones de aplicación del modelo combinatorio correspondiente. No suele justificar las reglas de la suma y producto.
Enumeración como comprobación de algunas soluciones.
Elementos validativos:
Justificación de las condiciones de realización del esquema operatorio.
Verificación de las condiciones de aplicación de las reglas del producto, del cociente y de la suma.
Enuneración sistemática y disposición tabular como justificación.
Tabla 4.7.2.Significados de la combinatoria elemental para los estudiantes con bajo porcentaje de problemas resueltos
Julián (4 problemas resueltos) Sujeto modelizador
Pedro (5 problemas resueltos) Sujeto generador de modelos
Elementos extensivos:
Traduce los problemas 8 de colocación y 4 y 10 partición a selección, la traducción del 4 es incorrecta y obtiene un problema no
equivalente.
Identificación correcta de las configuraciones combinatorias en 6 problemas.
Reconocimiento del problema dado como un ejemplo del tipo de problemas resolubles mediante el modelo combinatorio
correspondiente: 6 correctas; 4 incorrectas. Planteamiento de subproblemas en los problemas 1,2, 7, 8 y 9 con errores diversos.
Elementos extensivos:
Uso del esquema sugerido en el enunciado en los 13 problemas.
Identificación correcta de las configuraciones combinatorias en 6 problemas.
Planteamiento recursivo de problemas iguales de menor tamaño en 10 problemas.
Planteamiento de subproblemas en los problemas compuestos.
Elementos ostensivos:
Simbolización algebraica o numérica de los elementos a combinar, según su naturaleza; 1 diagrama en árbol sin acabar.
Uso de disposiciones tabulares que no explota para hacer enumeración.
Notaciones y términos para denotar las
operaciones combinatorias; errores en notación Expresión de la fórmulas combinatorias; erróneas en 3 problemas.
Correspondencia entre los datos del problema y los parámetros de las fórmulas combinatorias en 7 problemas.
Expresión de las reglas de la suma (2 veces) y producto (2 veces).
Correspondencia entre los datos del problema y los factores: Errores en la correspondencia. Expresión de las operaciones aritméticas; errores en operaciones aritméticas.
Elementos ostensivos:
Simbolización algebraica, numérica e icónica de los elementos a combinar, según su naturaleza.
Uso de disposiciones tabulares.
Uso de diagramas en árbol 1 completo, 4 parciales, todos sistemáticos, 1 incorrecto.
Expresión de las reglas de la suma (1 correcta y 1 incorrecta), producto (4 correctas) y cociente (1 correcta).
Correspondencia entre los datos del problema y los factores. En general correcta.
Expresión de las operaciones aritméticas
Elementos actuativos:
Traducción entre esquemas operatorios en 3 problemas; el resto usa el esquema del enunciado.
Identificación de la operación combinatoria y desarrollo de la misma en todos los casos; 5 identificaciones erróneas, 1 error en parámetros y 3 errores de fórmula. Fijación de variables (3 problemas). Enumeración total sistemática (1) o parcial sistemática (2) .
Descomposición de problemas en
subproblemas y composición de los mismos, no siempre productiva.
Realización de las operaciones aritméticas correspondientes.
Elementos actuativos:
No traduce los esquemas operatorios.
Fijación de variables correctamente en 4 problemas.
Enumeración parcial sistemática y correcta de las configuraciones combinatorias (5 parciales, 4 completas) 4 incorrectas por mala
interpretación enunciado.
Resolución recursiva del problema combinatorio simple.
Descomposición del problema combinatorio compuesto en subproblemas y composición de los mismos.
Realización de las operaciones aritméticas correspondientes.
Elementos intensivos:
Errores en la identificación de las condiciones de realización del esquema operatorio de selección (influencia del orden, repetición). No siempre traduce de los esquemas de partición y colocación a condiciones del esquema de selección.
Muestreo, partición, aplicación. Conceptos combinatorios (variaciones, permutaciones, combinaciones, con errores en las definiciones y condiciones de aplicación. Reglas del producto y de la suma; con algunos errores en la aplicación.
Generalización incorrectas de soluciones parciales.
Identifica propiedades combinatorias.
Elementos intensivos:
Errores en la interpretación de las condiciones de realización del esquema operatorio
(influencia del orden (1 problema), repetición; tipo de elementos ( 3 problemas) y celdas ( 2 problemas), condiciones de la partición), número de elementos (1 problema). Muestreo, partición, aplicación.
No recuerda los conceptos combinatorios (variaciones, permutaciones, combinaciones). Reglas del producto, del cociente y de la suma; condiciones de aplicación.
Generalización correcta de soluciones parciales en 3 problemas No generaliza en 1 problema.
No identifica una propiedad combinatoria (problema 5).
Elementos validativos:
No suele aportar justificaciones.
A veces justifica la pertinencia del orden y la repetición, pero no siempre es aplicable al problema.
Enumeración como comprobación de algunas soluciones.
Elementos validativos:
No suele aportar justificaciones.
Enuneración sistemática y disposición tabular como justificación.
Podemos entonces diferenciar el significado de la combinatoria elemental para el sujeto
modelizador y para el sujeto generador de modelos. En ambos casos hay un núcleo común,
dado por la identificación de los esquemas combinatorios y sus particularidades, las ideas de muestreo, partición, aplicación, reglas de la suma y producto. Las prácticas de solución de los problemas incluyen el planteamiento de problemas relacionados, descomposición del problema en partes, la simbolización de los elementos, el uso de las reglas de la suma y producto y operaciones aritméticas.
Para el sujeto modelizador se añaden las nociones combinatorias de variaciones, permutaciones y combinaciones, sus reglas de aplicación, notaciones, fórmulas y parámetros, mientras que el sujeto generador de modelos hace un uso extenso de la enumeración, recursión, fijación de variables, descomposición del problema en partes. Todo ello le permite generar la solución a partir de las reglas de la suma y producto. Hemos observado, que, en contra de lo previsto, apenas se hace uso de la regla del cociente, en problemas en los que es pertinente su uso.
Por contra de lo esperado, el sujeto modelizador no siempre traduce los esquemas combinatorios y a veces la traducción es incorrecta. Cuando se hace traducción es siempre hacia el esquema de selección, que permite al alumno identificar las operaciones combinatorias básicas y los valores de sus parámetros.
En ambos tipos de sujetos aparece con frecuencia, como elemento ostensivo el uso de disposiciones tabulares que serán especialmente útiles para el sujeto generador de modelos como medio de control de la sistematicidad de la enumeración. En todo caso, la disposición tabular sirve para visualizar el tipo de configuración pedida en el enunciado del problema y ha parecido ser mucho más efectiva que el diagrama en árbol que es escasamente utilizado.
Es característico del sujeto contructor de modelos la recursión, no sólo como elemento actuativo, sino en el planteamiento de subproblemas relacionados con el dado. Ello hace que la enumeración, prevista para este tipo de sujetos, rara vez sea completa, aunque suele ser sistemática. El sujeto resuelve recursivamente una serie de problemas relacionados, realizando una enumeración (parcial) de un subproblema de menor tamaño y haciendo uso de la fijación de
variables y la generalización para incorporar la solución parcial en la solución del problema primitivo.
La presencia de elementos validativos es menor de lo esperado, especialmente en los sujetos con alta tasa de fallo, posiblemente por su inseguridad respecto a la solución dada. Aparece el uso de las disposiciones tabulares como medio de justificación.