RESULTADOS DE LA FASE EXPLORATORIA Y ANÁLISIS A PRIORI DEL CUESTIONARIO
Problema 7: Seleccionar 5 dígitos con reemplazamiento y colocarlos posteriormente para formar un
2.5 ANÁLISIS A PRIORI DE PROCESOS DE RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
2.5.5. Problema 5: Partición de un conjunto de objetos diferentes en dos subconjuntos distintos
[C4,2]
Enunciado:
Un grupo de cuatro amigos, Andrés, Benito, Clara y Daniel, tienen que realizar dos trabajos diferentes: uno de Matemáticas y otro de Lengua. Para realizarlo deciden dividirse en dos grupos de dos chicos cada uno. ¿De cuántas formas pueden dividirse para realizar los trabajos? Ejemplo: Andrés-Benito pueden hacer el trabajo de Matemáticas y Clara-Daniel el trabajo de Lengua.
Resolución 1: Ajuste de un modelo combinatorio U1
U2 U3 U4
- Los 2 alumnos que harán el trabajo de matemáticas se pueden elegir entre los 4. Una vez elegidos estos dos alumnos los otros dos restantes se asignan al trabajo de lengua.
- Los alumnos no se pueden repetir; el orden de elección de los 2 alumnos no influye en la configuración.
- Por tanto, se trata de las combinaciones de 4 objetos tomados de 2 en 2, - C4,2 = (4x3)/2 = 6
Conocimientos puestos en juego: U1:
- Traducción a un problema de selección.
- Identificación de las configuraciones a contar como modos distintos de seleccionar 2 personas entre 4 (esquema operatorio de selección) (actuativo).
- Se asume que el esquema de selección es equivalente, en términos de producir las mismas configuraciones, que el esquema de partición (intensivo).
- Planteamiento de un subproblema relacionado con el dado (elegir 2 personas entre 4) (extensivo).
U2:
- Reconocimiento de las condiciones de la selección: los objetos no se repiten; no influyen el orden de la selección en la formación de las configuraciones (intensivos).
U3:
- Reconocimiento de las condiciones de empleo del modelo combinatorio de las combinaciones de 4 objetos tomados de 2 en 2 (intensivo).
U4:
- Recuerdo de la expresión de las combinaciones (ostensivo) y realización de las operaciones aritméticas (producto y cociente) (actuativos).
Tipos de conocimientos:
Extensivos:
- Identificación de las configuraciones combinatorias. - Planteamiento de un problema relacionado con el dado.
- Reconocimiento del ejemplar de problema como perteneciente al tipo de problemas resolubles mediante el modelo de ls combinaciones ordinarias.
Ostensivos:
- Uso de la notación C4,2 como equivalente de 'combinaciones de 4 objetos tomados de 2 en
2'.
- Correspondencia entre los datos del problema y los parámetros de las fórmulas combinatorias.
- Expresión de las operaciones (4x3)/2 =6. Actuativos:
- Esquema de selección sin reemplazamiento de objetos distintos. - Traducción al modelo de selección de un modelo de partición. - Realización de cálculos aritméticos (producto y cociente). Intensivos:
- Identificación de la ley de formación del conjunto de las configuraciones. - Propiedades del proceso de selección: no repetición y no influencia del orden. - Equivalencia de los esquemas de selección y de partición en las circunstancias dadas. - Combinaciones ordinarias (regla y condiciones de aplicación).
Validativos:
- Verificación sistemática de las condiciones de aplicación de las combinaciones ordinarias. - Justificación de que el problema relacionado resuelto da la solución del problema de
partición propuesto (al seleccionar 2 personas de 4, las otras 2 quedan también seleccionadas y no proporcionan nuevas configuraciones).
Resolución 2: Generación de un modelo combinatorio U1 U2 U3 U4 U5
- Repartir 4 personas en 2 grupos de 2 equivale a seleccionar 2 personas entre 4 ya que al elegir 2 para un grupo quedan asignadas las otras dos para el otro grupo. - Para elegir el primer alumno de matemáticas tenemos 4 posibilidades, y para el segundo 3.
- Si el orden de selección influyera en la formación de configuraciones, cada forma de elegir el primer alumno se compone con cada una de elegir el segundo; por tanto, habrá 4x3= 12 formas.
- Pero como el orden de elección de los alumnos para matemáticas no influye en formar nuevas configuraciones, cada dos de las maneras contadas se reduce a una.
- Por tanto, el número de formas posibles es (4x3)/2= 6. Conocimientos puestos en juego:
U1:
- Traducción a un problema de selección.
- Identificación de las configuraciones a contar como modos distintos de seleccionar 2 personas entre 4 (esquema operatorio de selección) (actuativo).
- Se asume que el esquema de selección es equivalente, en términos de producir las mismas configuraciones, que el esquema de partición (intensivo).
- Justificación de la equivalencia argumentando que al elegir 2 personas para un grupo quedan las otras dos asignadas al otro (validativo) y reconocimiento de esta propiedad ( intensivo). - Planteamiento de un subproblema relacionado con el dado (elegir 2 personas entre 4) (extensivo).
U2:
- Se plantea un subproblema relacionado (suponiendo que el orden influyera), y se resuelve recursivamente descomponiendo la acción de seleccionar 2 personas entre 4 en dos sub- acciones: (1) elegir la 1ª persona entre 4; (2) elegir la 2ª entre 3.
U3:
- Reconocimiento de las condiciones de empleo de la regla del producto: cada forma de elegir la 1ª persona se compone con cada una de las formas de elegir la 2ª ( intensivo).
- Cálculo del número de formas en el subproblema relacionado (4x3=12) ( actuativo). U4:
- Toma en consideración de las condiciones iniciales del problema: es indiferente el orden de asignación de las personas al grupo de matemáticas.
- Reconocimiento de la igualdad de las configuraciones formadas en U3 cuando provienen de un cambio de orden de las dos personas.
- Planteamiento de un subproblema: ¿cuántas de tales configuraciones son iguales? Clases de equivalencia.
- Reconocimiento de las condiciones de empleo de la regla del cociente: cada dos configuraciones se reduce a una.
U5:
- Regla del cocinete. realización de los cálculos aritméticos (multiplicación y división).
Tipos de conocimientos:
Extensivos:
- Identificación de las configuraciones combinatorias.
- Planteamiento de un problema relacionados con el dado traduciendo el enunciado. - Planteamiento recursivo de una serie de problemas.
- Planteamiento de un problema de quotición. Ostensivos:
- Correspondencia entre los datos del enunciado y los factores. - Expresión de operaciones aritméticas (4x3)/2 =6.
Actuativos:
- Traducción al modelo de selección de un modelo de partición. - Realización de cálculos aritméticos (multiplicación y división). Intensivos:
- Identificación de la ley de formación del conjunto de las configuraciones. - Propiedades del proceso de selección: no repetición y no influencia del orden.
- Equivalencia de los esquemas de selección y de partición en las circunstancias dadas, clase de equivalencia.
- Reglas del producto y del cociente, recursión. Validativos:
- Verificación sistemática de las condiciones de aplicación de las reglas del producto y del cociente.
- Justificación de que el problema relacionado resuelto da la solución del problema de partición propuesto (al seleccionar 2 personas de 4, las otras 2 quedan también seleccionadas y no proporcionan nuevas configuraciones).