Identificación del esquema combinatorio

Al describir la construcción del cuestionario, analizamos esta variable que fue una de las principales en la investigación de Navarro Pelayo. Aunque en nuestro caso no hemos encontrado que influya en la dificultad de los problemas, estamos también interesados en ver si

8355 . 0 13 2 2 2 = + = e s s i G

σ

σ

σ

σ

σ

σ

el alumno al resolver el problema identifica correctamente el esquema del enunciado y hace referencia al mismo al resolver el problema. Queremos también observar si el alumno cambia el esquema del enunciado y utiliza uno diferente, por ejemplo, si un problema de colocación lo resuelve usando el esquema de selección o partición.

En esta variable hemos considerado las categorías cuya codificación y descripción indicamos a continuación:

Usa el esquema implícito en el enunciado

El alumno utiliza en su resolución la terminología específica del esquema al que pertenece ese problema concreto, como en el caso siguiente (elegir 3 estudiantes entre 5 voluntarios). En su resolución el alumno usa palabras específicas de la acción de extraer una muestra, como "escoger", "selecciono". Nótese que el alumno no identifica la operación combinatoria, sino que emplea la enumeración, obteniendo el número combinatorio C5,3 como

equivalente al C5,2 (seleccionar tres niños es equivalente a descartar dos) que es una propiedad

de los números combinatorios. Seguidamente obtiene C5,2 como suma de los números

combinatorios C4,1 +C3,1 + C2,1 +C1,1:

Supongo que no interviene el orden, si es que no realizan la acción de forma simultanea. Se trata, pues, de escoger 3 de 5, que equivale a descartar 2 de 5.

Si descarto a Elisa hay 4 posibilidades de selección, dependiendo del otro de los 4 chicos que no selecciono para la tarea.

Si descarto a Fernando, hay 3 posibilidades aún no consideradas, ya que dejar fuera a Fernando y Elisa ya lo habíamos contemplado.

Hay en total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 formas de hacerlo. (Estudiante 18; problema 6)

Usa el esquema de selección:

Cuando el alumno usa este esquema en un problema cuyo enunciado no corresponde al mismo. El comentario que aparece en el problema contiene los elementos semánticos típicos del esquema de selección: se extraen, se eligen, etc. En el siguiente ejemplo, el estudiante, para resolver el problema 3 (colocar 3 cartas en cuatro sobres) utiliza la palabra "selección". En definitiva ha pasado del problema dado a otro equivalente, lo que le permite aplicar de forma inmediata la definición de combinaciones, que generalmente se le enseña a partir de la idea de muestra no ordenada: A B C D - - - - - - - - - - - -

En definitiva sería hacer una selección de 3 sobres de entre 4, sin que importe el orden, C4,3 = (43) = 4.

(Estudiante 21; problema 3)

El estudiante usa el esquema de partición:

Cuando el alumno usa este esquema en un problema cuyo enunciado no corresponde al mismo. El comentario que aparece en el problema contiene expresiones típicas del esquema de partición: se reparten, se separan, etc. En el ejemplo que reproducimos el estudiante usa la palabra "subgrupo" para resolver el problema 8 (aparcar 5 coches en 3 cocheras). En este caso, la traducción del problema (colocación) a uno de partición ha sido ineficaz, porque el alumno no tiene en cuenta el orden de aparcamiento de los coches y produce una solución errónea:

Tendremos que calcular el número de subgrupos diferentes de tres elementos que hay en un grupo de 5. C53 = 10 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5

1 4 5 2 3 4 2 3 5 3 4 5 2 4 5 (Estudiante 22; problema 8)

El estudiante usa el esquema de colocación:

Cuando el alumno usa este esquema en un problema cuyo enunciado no corresponde al mismo. El comentario que aparece en el problema contiene expresiones típicas del esquema de colocación: se aparca en, sentar en una mesa, etc. En el caso que sigue (formar números de 3 cifras) el alumno usa la palabra "colocación". En este caso la traducción le permite tener en cuenta el orden, al resolver el problema:

Como importa el orden de colocación de las bolas y, además, se repiten es VR43 = 43 = 64 números.

(Estudiante 26; problema 11)

Esquema mixto:

Los comentarios que realiza el alumno sobre el problema contienen una terminología que comparten más de un esquema, como en el siguiente ejemplo que usa elementos de los esquemas de colocación y selección (formar un número de 5 cifras a partir de unas dadas, con una condición):

El número tendrá dos ochos que podrán aparecen 5 lugares distintos: C52 = 5! / 2!3! = 5.2 = 10.

Ahora debo encontrar un número de 3 cifras elegidas de entre 1, 2, 4, 6 y tendré 54 formas de hacerlo; por tanto 54 x 10 = 540 formas de escribir un número de 5 cifras en estas condiciones.

(Estudiante 49; problema 7)

No se puede deducir de la respuesta:

En algunos casos el alumno no realiza comentario alguno sobre el ennciado del problema y se limita a resolverlo, como en el caso siguiente:

A B C C C A C B C C A C C B C A C C C B C A C C B C C A C B C C C A B C A B C C C C A B C

De 9 formas diferentes. (Estudiante 9; problema 12)

o bien, hace algún comentario en el que los vocablos que utiliza no pueden considerarse cercanos a ninguno de los esquemas considerados, como el siguiente alumno, que inventa una notación auxiliar para resolver un problema más sencillo deducido del 13 (elegir tesorero y secretario fijando un presidente) y, una vez resuelto, por generalización y recursión resuelve el problema dado: A C D B P T S P T S P S T P S T P S T P T S

B A C D D B A C C D B A

Y multiplico las 6 formas diferentes de los cargos cuando dejo fija la primera letra y multiplico por 4, que es la variación que hago al ir pasando a la primera posición las demás letras y, por tanto, 6 . 4 = 24

(Estudiante 13; problema 13)

La tabla 3.4.1 contiene las frecuencias absolutas y porcentajes de cada categoría en la variable descrita en los distintos problemas del cuestionario.

Tabla 3.4.1. Frecuencias y porcentajes en cuanto a la identificación del esquema combinatorio

Esquema usado en la resolución del problema Total Problema Esquema

enunciado

Selección Partición Colocación Mixto No explica

1 33 (42.3) 0 (0.0) 0 (0.0) 6 (7.7) 0 (0.0) 39 (50.0) 78 (100) 2 41 (56.2) 20 (27.4) 0 (0.0) 0 (0.0) 1 (1.4) 11 (15.1) 73 (100) 3 22 (27.2) 22 (27.2) 0 (0.0) 0 (0.0) 1 (1.2) 36 (44.4) 81 (100) 4 25 (47.2) 4 (7.5) 0 (0.0) 0 (0.0) 1 (1.9) 23 (43.4) 53 (100) 5 35 (43.7) 7 (8.8) 0 (0.0) 0 (0.0) 2 (2.5) 36 (45.0) 80 (100) 6 46 (63.9) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 26 (36.1) 72 (100) 7 35 (70.0) 7 (14.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 3 (6.0) 5 (10.0) 50 (100) 8 31 (50.0) 11 (17.7) 1 (1.6) 0 (0.0) 1 (1.6) 18 (29.0) 62 (100) 9 41 (65.1) 3 (4.8) 1 (1.6) 0 (0.0) 1 (1.6) 17 (27.0) 63 (100) 10 24 (33.8) 6 (8.5) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 41 (57.7) 71 (100) 11 18 (37.5) 0 (0.0) 0 (0.0) 3 (6.2) 1 (2.1) 26 (54.2) 48 (100) 12 19 (34.5) 3 (5.5) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 33 (60.0) 55 (100) 13 15 (25.4) 1 (1.7) 0 (0.0) 2 (3.4) 0 (0.0) 41 (69.5) 59 (100) TOTAL 385 (45.6) 84 (9.9) 2 (0.2) 11 (1.3) 11 (1.3) 352 (41.7) 845 (100)

Observamos en esta tabla que, de todos los alumnos que proporcionan solución a un problema, la mayor proporción usa el mismo esquema implícito en el enunciado, en los problemas 2, 4, 6, 7, 8 y 9. Si tenemos en cuenta sólo los casos en que se explicita el modelo, también en los problemas 1, 5, 10, 11, 12 y 13 lo más frecuente es usar el esquema del enunciado. De ello deducimos que, por lo general, el alumno en su respuesta usa el esquema sugerido en el enunciado. Esta era una hipótesis que Navarro- Pelayo formuló para explicar la dificultad de los problemas combinatorios, aunque no llegó a estudiar. Por tanto pensamos que en este punto nuestros resultados completan la investigación de la citada autora.

El porcentaje más alto de cambio de modelo, alrededor del 30%, ha correspondido a los problemas 2 y 3 seguidos, con alrededor de un 20%, por el problema 8. El esquema subyacente en estos tres problemas era el de colocación y el cambio se produjo, en la práctica totalidad de los casos, hacia un esquema de selección. El porcentaje de cambios fue especialmente bajo en los problemas 6 y 13, 0% y 5% de cambios respectivamente, y en ambos casos está presente el esquema de selección.

El resto de problemas, de partición presenta un cambio de esquema que oscila entre el 5% y el 11%, siéndolo, en su inmensa mayoría, hacia el esquema de selección.

Parece ser que los estudiantes no consideran importante el traducir el problema a un esquema diferente o bién encuentran dificultad para hacerlo y de hecho dos de los problemas resueltos por un mayor número de estudiantes son el 3, con un porcentaje relativamente alto de cambio de esquema al esquema de selección y el 6, con un porcentaje cero en cuanto al cambio de modelo, pero cuyo enunciado corresponde al esquema de selección. No parece que el cambio de esquema en si produzca el éxito pero no olvidemos que los dos problemas que acabamos de citar uno era de selección y el otro se tradujo a un esquema de selección, lo que parece indicar ciertamente es que el esquema de selección facilita la resolución, posiblemente porque el esquema de selección se usa para definir las operaciones combinatorias y por tanto facilita al alumno la identificación de dicha operación.

Analizados los datos de una manera global vemos que en el 46 % de los problemas resueltos los estudiantes no realizan cambio de esquema, lo que sugiere una dificultad en la traducción del problema a otro equivalente.