Problema 4: Partición de un conjunto de objetos distintos en partes distintas [VR 3,4 ]

Enunciado:

Un niño tiene cuatro coches de colores diferentes (Azul, Blanco, Verde y Rojo) y decide repartírselos a sus hermanos Fernando, Luis y Teresa. ¿De cuántas formas diferentes puede repartir los coches a sus hermanos? Ejemplo: Podría dar los cuatro coches a su hermano Luis.

Resolución 1: Ajuste de un modelo combinatorio U1

U2

U3 U4

- Asignar los cuatro coches a tres personas equivale a elegir las 3 personas a quien se dará cada uno de los 4 coches, pudiendo repetirse cada persona en la selección.

- Por tanto, la configuración combinatoria pedida será la formación de grupos de 4 personas, entre un conjunto de 3 elementos (personas), con repetición, en las que el orden de los elementos en los grupos influye, ya que supone la recepción de coches diferentes.

- Estas son las condiciones de aplicación del modelo de las variaciones con repetición de 3 elementos tomados de cuatro en cuatro:

- VR3, 4 = 34 = 3x3x3x3 = 81

Conocimientos puestos en juego: U1:

- Traducción del problema de un esquema operatorio de partición a otro de selección (actuativo).

- Identificación de las configuraciones a contar como modos distintos de seleccionar las personas (actuativo).

- Reconocimiento (implícito) de que ambos esquemas producen las mismas configuraciones (intensivo).

- Reconocimiento de que la selección de las personas es con reemplazamiento (intensivo; condición de realización de la acción), ya que una misma persona puede recibir más de un coche.

U2:

- Reconocimiento de que el orden de selección influye en la formación de las configuraciones (intensivo).

- Justificación de que el orden influye (ya que supone la recepción de coches diferentes. U3:

- Reconocimiento de las condiciones de aplicación del concepto de 'variaciones con repetición de 3 objetos tomados de 4 en 4' (intensivo).

U4:

- Expresión de las variaciones con repetición VR3,4 = 34 = 3x3x3x3 = 81 (ostensivo).

- Realización de las operaciones aritméticas (actuativo).

Tipos de conocimientos:

Extensivos:

- Identificación de las configuraciones combinatorias.

- Se reconoce el ejemplar de problema como perteneciente al tipo de los problemas resolubles con las variaciones con repetición.

Ostensivos:

- Uso de la notación VR3,4 como equivalente de 'variaciones con repetición de 3 objetos

tomados de 4 en 4.

- Correspondencia entre los datos del problema y los parámetros de las fórmulas combinatorias.

- Expresión del producto 3x3x3x3=81. Actuativos:

- Esquemas operatorios de partición y selección.

- Traducción al esquema de selección de un esquema de partición. - Realización de cálculos aritméticos (producto).

Intensivos:

- Identificación de la ley de formación del conjunto de las configuraciones. - Partición, asignación, orden, reemplazamiento, selección.

- Propiedades del esquema de selección (orden y repetición). - Variaciones con repetición; condiciones de aplicación. Validativos:

- Justificación de las condiciones de realización de la acción.

- Verificación sistemática de las condiciones de aplicación de las variaciones con repetición. Resolución 2: Generación de un modelo combinatorio (esquema de partición)

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10

- Se tiene un conjunto de cuatro objetos distinguibles (los coches, que podemos distinguir con las letras A, B, V, R).

- Se debe dividir el conjunto en tres subconjuntos diferentes F, L y T (los hermanos).

- El número de elementos de estos subconjuntos puede ser 0, 1, 2, 3, o 4 porque una persona puede recibir 0, 1, 2, 3, o 4 coches.

- El orden de los elementos en cada subconjunto es irrelevante. - Descomposiciones posibles del número 4 en sumandos: - a) 4 = 4 + 0 + 0 = 0 + 4 + 0 = 0 + 0 + 4;

b) 4 = 1 + 3 + 0 = 1 + 0 + 3 = 3 + 1 + 0 = 3 + 0 + 1 = 0 + 1 + 3 = = 0 + 3 + 1;

c) 4 = 2 + 2 + 0 = 2 + 0 + 2 = 0 + 2 + 2; d) 4 = 2 + 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 2.

- En el caso a) cada descomposición del número 4 realizada sólo da lugar a una manera de repartir los coches (los 4 a cada uno de los tres hermanos).

- En el caso b), cada descomposición de las seis producidas da lugar a cuatro configuraciones combinatorias posibles (modos de repartir los coches). En efecto, el coche que se da a uno de los hermanos puede ser el A, B, V, o R; una vez asignado este coche los otros tres se asignan a otro de los hermanos. Por tanto, en el caso b) se obtienen 6x4 = 24 configuraciones.

- En el caso c), cada una de las tres descomposiciones producidas da lugar a seis configuraciones distintas. En efecto, los dos coches que se dan a una persona se pueden elegir entre cuatro; como en la formación de estas configuraciones no se pueden repetir los objetos, ni el orden influye en dicha formación, el número de maneras en que se pueden asignar los dos coches es C4,2 = (4.3) /2 = 6.

(Otro modo de resolver este problema parcial será mediante enumeración sistemática de las seis combinaciones posibles).

- En el caso d), cada una de las 3 descomposiciones da lugar a 12 configuraciones. En efecto, una vez distribuidos los 2 coches a una persona (para lo cual hemos visto que hay 6 posibilidades) los otros dos se distribuyen entre los dos hermanos restantes; esto se puede hacer de dos modos distintos; por tanto, aplicando la regla del producto se tienen 12 posiblidades de hacer la distribución según esta descomposición del número 4.

- Sumando el número total de configuraciones de los cuatro casos se tiene: 3x1 + 6x4 + 3x6 + 3x12 = 81.

Conocimientos puestos en juego U1:

- Se introduce una notación (ostensivo) para representar los objetos, A, B, V, R. Esto facilitará la representación de las configuraciones combinatorias.

- Se interpreta la colección de cuatro coches como un conjunto (intensivo). Este objeto es usado para modelizar el problema como de partición (actuativo) de este conjunto en subconjuntos. Se supone que los elementos del conjunto son distinguibles (intensivo).

C = _{{A, B, V, R}} U2:

- Se introduce una notación (ostensivo) para designar a los tres subconjuntos en que se debe descomponer el conjunto C (F, L, T).

- Dividir (actuativo) quiere aquí decir que se deben hacer particiones (intensivo) del conjunto C en subconjuntos (intensivo). Cada una de estas particiones se interpretan como las configuraciones combinatorias. Por ejemplo,

F = _{{A, B }; L = { V }; T = { R}, es una partición de C. La configuración combinatoria} correspondiente a esta partición, que se puede representar como

{{A, B }, {V}, {R}},

quiere decir que se dan los coches A y B a Fernando, el coche V a Luis y el coche R a Teresa y se diferencian los subconjuntos entre sí. Es un ejemplar del conjunto de configuraciones a contar.

U3:

- Se atribuye una propiedad (intensivo) al objeto designado como “número de elementos de un subconjunto” (intensivo) en el caso particular de los subconjuntos mencionados en U2.

U4:

- Se quiere decir que el “orden en que se dan” (actuativo) los coches a cada persona no da lugar a nuevas configuraciones combinatorias. Se conviene en considerar como la misma configuración, por ejemplo, las siguientes disposiciones de los objetos:

{{A, B }, {V}, {R}}, {{B, A }, {V}, {R}},

En conjunto, los textos U1 a U4, se usan para determinar la forma de las configuraciones combinatorias y las reglas de formación del conjunto de configuraciones. U5:

- Se realiza la descomposición del número 4 en sumandos (actuativo), según un orden sistemático mediante la disposición tabular de las descomposiciones (ostensivo). La disposición tabular y sistemática prueba (validativo implícito) que la descomposición es exhaustiva.

U6:

- Se interpreta cada descomposición del número 4 como configuración combinatoria: 4 + 0 + 0, quiere decir, F = _{{A, B, V, R}, L = ∅, T = ∅}

0 + 4 + 0, quiere decir, L = _{{A, B, V, R}, F = ∅, T = ∅} 0 + 0 + 4, quiere decir, T = _{{A, B, V, R}, F = ∅, T = ∅}

Cada expresión sumatoria (ostensivos) representa una configuración combinatoria particular (ostensivo, implícito).

U7:

- Se plantea el problema (extensivo) de saber cuántas configuraciones se pueden formar de modo que el número de elementos de cada subconjunto sea el indicado por los sumandos en que se descompone el número 4.

- Se da como solución de cada problema el número 4 y se demuestra (validativo).

- Usando la noción de multiplicación de números naturales (intensivo) se calcula (actuativo) el número total de configuraciones en el caso b), 6 x 4 =24.

- A cada una de las expresiones (ostensivos) de la forma,

1 + 3 + 0 ; 1 + 0 + 3 ; 3 + 1 + 0 ; 3 + 0 + 1 ; 0 + 1 + 3;0 + 3 + 1;

se les asigna el número de configuraciones (4), tales que los cardinales de los subconjuntos correspondientes son los indicados por los sumandos respectivos.

- Los procesos interpretativos puestos en juego en este caso son similares al texto U7, excepto que la validación del número de configuraciones para cada descomposición (6) se hace identificando en el subproblema planteado las condiciones de aplicación del modelo de las combinaciones (intensivo), y la realización efectiva del cálculo (actuativo),

C4,2 = (4.3) /2 = 6.

- Dado que el número de objetos a combinar es pequeño se podría también proceder a formar sistemáticamente todas las configuraciones posibles.

U9:

- De nuevo aquí se puede aplicar el análisis de U7, aunque también se debe adaptar el método de solución de los subproblemas. Se pueden resolver aplicando las combinaciones junto con la regla del producto (intensivo).

U10:

- Se aplica la regla de la suma (intensivo) y se realizan los cálculos correspondientes (actuativo). - Se concluye interpretando que la solución del problema planteado, número de modos distintos en que se pueden repartir cuatro coches entre tres personas es 81.

Tipos de conocimientos:

Extensivos:

- Identificación de las configuraciones combinatorias.

- Planteamiento de subproblemas relacionados más sencillos que el dado. - Descomposición de un problema en partes.

- Planteamiento del problema compuesto. Ostensivos:

- Correspondencia entre los datos del enunciado y los factores.

- Notaciones para representar los objetos a repartir (A, B, V, R), su conjunto C, y los subconjuntos a formar (F, L, T).

- Notación conjuntista de las configuraciones (modos de repartir los coches). - Disposición tabular de las descomposiciones en sumandos del número 4. - Expresión como sumas indicadas de las descomposiciones de 4 en sumandos. Actuativos:

- Descomposición del problema en subproblemas. - Descomposición del número 4 en sumandos.

- Esquema operatorio de partición de un conjunto en subconjunto. - Enumeración sistemática.

- Realización de cálculos aritméticos (producto y cociente). Intensivos:

- Identificación de la ley de formación del conjunto de las configuraciones. - Propiedades del esquema operatorio de partición, orden.

- Conjunto; subconjunto; partición de un conjunto; número de elementos de un conjunto. - Las correspondencias entre las notaciones sumatorias y las conjuntistas se basan en el

criterio (intensivo) convenido de expresión de las configuraciones. - Reglas del producto, de la suma y sus condiciones de aplicación. Validativos:

- Verificación de la descomposición del 4 en sumandos mediante la disposición tabular que prueba la enumeración sistemática.

- Verificación sistemática de las condiciones de aplicación de las reglas del producto, de la suma y del cociente.