Síntesis y conclusiones finales del caso de Aldolfo

El estudio pormenorizado que hemos realizado de las respuestas dadas por Adolfo a los 13 problemas del cuestionario y las aclaraciones obtenidas mediante la entrevista personal nos ha permitido identificar los conocimientos (y "desconocimientos") que ha puesto en juego. Su confrontación con el análisis a priori de los procesos de solución realizado en el capítulo 2 nos permite caracterizar a Adolfo como un sujeto generador de modelos.

Presentamos, a continuación, lo que podemos describir como el significado sistémico y personal de la combinatoria elemental para Adolfo, clasificando los componentes de este significado en los cinco tipos que propone el modelo epistemológico que hemos adoptado para interpretar los resultados de nuestra investigación.

(1) Elementos extensivos

Adolfo resuelve los 13 problemas propuestos a pesar de que no recuerda las definiciones y fórmulas de las operaciones combinatorias. El éxito se basa en el correcto reconocimiento de las configuraciones combinatorias que se deben contar, en la interpretación adecuada de los datos del enunciado, en su destreza en formular subproblemas y problemas relacionados en forma recursiva y en componerlos mediante las reglas de la suma y del producto.

(2) Elementos ostensivos

En la mayor parte de los problemas introduce una notación para representar las configuraciones pedidas, bien usando las iniciales de los nombres de los objetos, o los propios nombres de tales objetos. Usa números, en caso de que las configuraciones pedidas sean de tipo numérico.

Además dispone de forma tabular los ejemplares de las configuraciones que forma para garantizar la exhaustividad de la enumeración. En ningún caso utiliza diagramas en árbol. En los casos en que debe aplicar la regla de la suma y del producto identifica sin error los valores que debe asignar a los sumandos y los factores.

(3) Elementos actuativos

Las técnicas que pone en juego son:

- Descomposición del problema en subproblemas, hallar las soluciones parciales mediante enumeración, generalizando casos semejantes y aplicando la regla de la suma o el producto (7 problemas, 2, 4, 6, 7, 9, 11 y 13).

- Reducir el problema a otro equivalente más simple o reducir su dimensión; resolver este nuevo problema y generalizar al primero (4 problemas: 1, 8, y 12 que los reduce de tamaño fijando un elemento; y el 3, que lo transforma en seleccionar un sobre para dejarlo vacío). - Uso de la fijación de variables y recursión para formular problemas más simples del mismo

tipo al dado.

- Enumeración directa de las configuraciones cuando el tamaño es pequeño (2 problemas: 5 y 10).

(4) Elementos intensivos

- Identifica con seguridad las condiciones de realización del esquema operatorio (influencia del orden y repetición en los problemas de selección), (elementos distinguibles o indistinguibles, casillas iguales o diferentes en los problemas de partición y colocación), condiciones de las particiones y colocaciones, así como las condiciones de aplicación de las reglas de la suma y del producto.

- Generaliza correctamente la solución parcial de un problema a problemas equivalentes obtenidos al variar sistemáticamente los valores de una variable.

- Identifica propiedades combinatorias, tales como que Cm,n= Cm, m-n

- No recuerda ninguna de las definiciones de las operaciones combinatorias (variaciones, permutaciones, combinaciones).

(5) Elementos validativos

- Presenta la descomposición en casos y la enumeración sistemática, apoyada en la disposición tabular, como justificación de que ha formado el conjunto de todas las configuraciones pedidas.

- Justifica la influencia del orden y la repetición recordando las condiciones del problema. “Como la bola se devuelve al bombo, pueden aparecer números con cifras repetidas”. “Importa el orden, ya que, por eemplo el número 247 es distintos del 742” (problema 11). 4.4. EL CASO DE LUISA (12 problemas resueltos correctamente)

4.4.1. Conocimientos previos

Esta alumna estudió combinatoria en Bachillerato, así como también en el primer curso de la licenciatura (asignatura de Estadística); también afirma que la ha utilizado de forma esporádica en la carrera.

Recuerda las fórmulas combinatorias, aunque reconoce que tuvo esforzarse para reconstruir algunas de ellas. El esquema combinatorio estudiado fue el de selección, resultándole extraño el uso de las aplicaciones (esquema de colocación) en las definiciones de las operaciones combinatorias.

- I: Y de las fórmulas ¿te acuerdas?.

- L: De las fórmulas ... me acuerdo que me costó acordarme y de algunas no estaba muy segura. - I: ¿De cuáles no estabas muy segura?

- L: De las permutaciones si. - I: ¿Con y sin repetición?

- L: La de permutaciones con repetición me costó acordarme; de las demás no me acordaba demasiado pero razonando y viendo lo que tenía que salir fui reconstruyendo las fórmulas.

- I: El tipo de definición que viste, en su momento, para permutaciones, variaciones, etc. era del tipo tengo tantos objetos y tengo que formar grupos... o del tipo tengo dos conjuntos, establezco una aplicación inyectiva...

- L: Eso no lo he visto nunca.

Utiliza en todos los problemas el procedimiento general de ajuste de un modelo combinatorio, aunque reconoce que su empleo no es automático. Es preciso reconocer las condiciones de aplicación a partir del enunciado, es decir, esta alumna se acerca al tipo de sujeto que en nuestro análisis "a priori" hemos llamado sujeto modelizador:

- I: Siempre que has podido has ido a la fórmula...

- L: Si he podido, si; pero, claro, para aplicar las fórmulas también tienes que razonar, tienes que pensar de qué tipo es el problema pues, aunque te sepas las fórmulas, no tienes por qué saber hacer los problemas.

- ¿Qué es más fiable para ti la fórmula o el diagrama? Cuando hablo de diagrama me re - fiero al diagrama en si, a la enumeración de casos,...

- L: Con el diagrama lo voy a tener todo más claro y más seguro pero yo me he fiado mucho de las fórmulas porque creo que he entendido bien cuando se podía aplicar cada una de ellas; de las fórmulas siempre te puedes fiar porque sabes que son ciertas pero, claro, lo que ya no te puedes fiar es de saber si estás aplicando la correcta o no, entonces, cuando estoy más o menos segura de que razonado bien, pues aplico la fórmula y ya está, lo malo es que no siempre estás segura, te puedes asegurar con el diagrama.

No tiene una valoración fundamentada del papel de la combinatoria dentro de la matemática discreta, considerándola como un tema difícil incluso para alumnos que cursan la carrera de matemáticas, aunque reconoce su papel en el desarrollo de formas de razonamiento:

- L: Yo creo que puede ayudar bastante a razonar, a desarrollar el razonamiento pero también es verdad que a los niños, en general, les cuesta mucho y a lo mejor es complicarles la vida porque, en realidad esto después de BUP, que yo recuerde, no se vuelve a utilizar. Luego después si hace una carrera puede que si le sirva el razonar sobre este tipo de cosas, pues yo me acuerdo que la Estadística de primero de carrera la gente lo que menos sabía hacer era estos problemas de bolas y cosas así; a mi me gustaban porque a mi se me daba bien en BUP, pero te das cuenta de que las cosas se empiezan a complicar de una manera que había cosas que no era capaz de hacer, costaba bastante; esto es más difícil de lo que parece.