Problema 7: Colocación ordenada, con repetición y condiciones [VR 4,3 x C 5,2 ]

Enunciado:

¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse utilizando los dígitos 1 , 2 , 4 , 6 y 8, si cada uno de ellos debe contener exactamente dos ochos? Ejemplo: 8 8 1 2 4.

Resolución 1: Ajuste de un modelo combinatorio U1

U2 U3 U4 U5

- El problema se puede descomponer en tres operaciones combinatorias:

- Seleccionar los tres números distintos del 8 entre 4 posibles; el orden influye y se pueden repetir los números, luego se trata de las VR4, 3.

- Colocar los 2 ochos en 5 posiciones posibles, o sea, seleccionar 2 posiciones para los 8 entre 5 posibles, de modo que no se puede repetir, ni influye el orden; en este caso se trata de C5,2.

- Cada modo de colocación de los ochos se pueden componer con cada forma de seleccionar los restantes números; luego se debe aplicar la regla del producto. - Por tanto, el número total de números que se pueden formar será:

VR4,3 x C5, 2 = 43 x (5x4)/2 = 64 x 10 = 640.

Conocimientos puestos en juego: U1:

- Se menciona la técnica de descomponer el problema en subproblemas. U2:

- Planteamiento del problema de seleccionar los 3 números distintos del 8 entre 4 posibles (extensivo).

- Interpretación del esquema operatorio de selección como mecanismo generador de las configuraciones, considerándose equivalente al de colocación, mencionado en el enunciado (actuativos).

- Reconocimiento de las condiciones de la selección: influencia del orden y posibilidad de repetición para formar números (intensivos).

- Identificación de las condiciones de aplicación de las variaciones con repetición de 4 objetos tomados de 3 en 3 (intensivo), VR4,3 (ostensivo).

- Asignación de valores a los parámetros. U3:

- Planteamiento del problema de colocar 2 ochos en 5 posiciones posibles (extensivo).

- Traducción del esquema operatorio de colocación al de selección de 2 posiciones entre 5 posibles (actuativos).

- Reconocimiento de las condiciones de la selección: no se pueden repetir las posiciones, ni influye el orden de selección (intensivos).

- Identificación de las condiciones de aplicación de las combinaciones ordinarias de 5 objetos tomados de 2 en 2 (intensivo), C5,2.

- Asignación de valores a los parámetros. U4:

- Planteamiento del problema de composición de los problemas U2 y U3

- Identificación de las condiciones de aplicación de la regla del producto (intensivo). U5:

- Expresión de las fórmulas de cálculo de las VR4,3 x C5, 2 =

= 43 _{x (5x4)/2 (ostensivos).}

- Realización de los cálculos 64 x 10 = 640 (actuativo).

Tipos de conocimientos:

Extensivos:

- Planteamiento de dos subproblemas relacionados más sencillos que el dado: variaciones con repetición; combinaciones.

- Planteamiento del problema de componer los dos problemas anteriores (regla del producto). Ostensivos:

- Correspondencia entre los datos del problema y los parámetros de las fórmulas combinatorias.

- Expresión de las fórmulas de cálculo VR4,3 x C5, 2 = 43 x (5x4)/2.

Actuativos:

- Esquemas operatorios de selección, colocación y composición cartesiana. - Descomposición del problema en subproblemas.

- Realización de cálculos aritméticos (producto y cociente). Intensivos:

- Identificación de la ley de formación del conjunto de las configuraciones. - Condiciones de los esquemas operatorios (orden, repetición).

- Variaciones con repetición; combinaciones ordinarias; condiciones de aplicación. - Reglas del producto y sus condiciones de aplicación.

Validativos:

- Verificación sistemática de las condiciones de aplicación de la regla del producto, de las variaciones con repetición y de las combinaciones.

-

Resolución 2:

Generación de un modelo combinatorio

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7

- Los 3 números distintos del 8 se pueden elegir entre un conjunto de 4.

- El primero se puede elegir entre los 4 disponibles; igual ocurre con el 2º y con el 3º, ya que se supone que la selección de los números es con reemplazamiento. - Como cada forma de elegir cada número se puede componer con las dos restantes, el número total de formas en que se pueden elegir los 3 números será 43

= 4x4x4 = 64.

- Para colocar los 2 ochos tenemos 5 posiciones; la primera posición se puede elegir entre 5 y la segunda posición entre 4. Al cambiar de posición los dos ochos entre sí no se obtiene un número distinto.

- Por tanto, el número de formas de colocar los 2 ochos en las 5 posiciones será la mitad: 5x4/2 = 10.

-Cada forma de colocar los 8 se puede componer con cada forma de seleccionar los 3 números restantes. Estas son las condiciones de aplicación de la regla del producto.

- Luego el número total de números que se pueden formar será, 64x10= 640.

Conocimientos puestos en juego: U1:

- Planteamiento de un subproblema relacionado: modos de elegir 3 números entre 4 posibles con reemplazamiento.

- Descomposicón del problema inicial en subproblemas (implícita): seleccionar los 3 números distintos del 8; colocar los dos 8 entre 5 posiciones.

- Se evoca el esquema operatorio de selección. U2:

- Descomposición recursiva del primer subproblema en partes (elección del 1º, 2º y 3º número).

- Identificación de las condiciones de la selección de cada número (con reemplazamiento). - Enumeración de los modos de seleccionar cada número.

U3:

- Identificación de las condiciones de la composición (cartesiana): cada forma de seleccionar un número se compone con cada forma de seleccionar los restantes.

- Reconocimiento de la regla del producto y su aplicación.

- Uso de la notación multiplicativa y de potencias, 43 _{= 4x4x4 = 64.}

U4:

- Planteamiento de otro subproblema: colocación de los dos 8.

- Identificación de la configuración combinatoria de este subproblema mediante el esquema operatorio de colocación.

- Reconocimiento de las condiciones de realización de la operación: sin reemplazamiento; no influencia del orden.

U5:

- Reconocimiento de las condiciones de aplicación de las reglas del producto y del cociente. - Expresión de las operaciones y realización 5x4/2 = 10.

U6:

- Planteamiento del problema inicial: formación de números 5 cifras. - Reconocimiento de las condiciones de aplicación de la regla del producto. U7:

- Expresión de las operaciones y realización de las mismas: 64x10 = 640.

Tipos de conocimientos:

Extensivos:

- Identificación de las configuraciones combinatorias.

- Planteamiento de subproblemas relacionados más sencillos que el dado.

- Planteamiento del problema de componer los problemas anteriores (regla del producto). Ostensivos:

- Correspondencia entre los datos del enunciado y los factores.

- Expresión de operaciones aritméticas (multiplicación, potenciación, cociente). Actuativos:

- Esquemas operatorios de selección, colocación y composición cartesiana. - Descomposición del problema en subproblemas.

- Resolución recursiva de subproblemas.

- Realización de cálculos aritméticos (producto y cociente). Intensivos:

- Identificación de la ley de formación del conjunto de las configuraciones. - Condiciones de los esquemas operatorios (orden, repetición).

- Reglas del producto y del cociente; condiciones de aplicación. - Recursividad, equivalencia.

Validativos:

- Verificación sistemática de las condiciones de aplicación de las reglas del producto y del cociente.