Condiciones de Orden:

Teniendo en cuenta que las restricciones empleadas usualmente son las de exclusión, la condición de orden implicará que el número de restricciones de exclusión sea al menos igual (o

mayor) que el número de ecuaciones menos 1 (q ≥M-1).

De esta forma podemos sintetizar las condiciones de orden como sigue. Sea M el número de ecuaciones en el sistema (igual al número de variables endógenas), y q el número de variables (del total) que no están incluidas en la ecuación (ya sean endógenas o predeterminadas). La condición de orden implicará:

a) Si q < M - 1, entonces el sistema es subidentificado.

b) Si q = M - 1, entonces el sistema es exactamente identificado. c) Si q > M - 1, entonces el sistema es sobreidentificado.

Estas condiciones se pueden expresar de otra forma si diferenciamos entre variables endógenas y predeterminadas (exógenas y endógenas retardadas) incluidas y excluidas en el modelo. Si diferenciamos en M el número de variables endógenas incluidas en la ecuación (que denotaremos como M*) y el número de variables endógenas excluidas en la ecuación (M**), y por analogía descomponemos K en K* (número de variables predeterminadas incluidas en la ecuación incluyendo, si es el caso, la ordena en el origen –intersección-) y K** (número de variables predeterminadas excluidas en la ecuación), la condición de identificabilidad q ≥M-1 se pueden expresar en otros términos. Así, teniendo en cuenta que q= M**+K**, como además M= M*+ M**-1, tendremos: M**+K**≥ M*+ M**-1, lo que equivale a la condición K**≥ M*-1 (el número de variables predeterminadas excluidas de la ecuación sea igual o mayor que el número de variables endógenas incluidas en la ecuación menos una):

a) Si K**<M*-1, entonces la ecuación es subidentificada.

b) Si K**=M*-1, entonces la ecuación es exactamente identificada. c) Si K**>M*-1, entonces la ecuación es sobreidentificada.

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Antonio Caparrós Ruiz y Oscar D. Marcenaro-Gutiérrez

Ésta es una condición necesaria pero no suficiente. Aunque tendremos que

implementarla para poder distinguir si la ecuación es identificada o sobreidentificada. De esta forma tendremos que, mediante las condiciones de orden, determinar qué ecuaciones son identificadas o sobreidentificadas, y a esas les aplicaremos las condiciones de rango. Las condiciones de orden son necesarias pero no suficientes, porque se han formulado basándonos en el número de ecuaciones (K+q), pero esto no garantiza que todas las ecuaciones sean linealmente independientes. En otras palabras, una ecuación que cumpla la condición de orden de identificabilidad puede no estar identificada si no todas las variables predeterminadas excluidas de una ecuación (incluidas en el sistema) sean independientes.

B) Condiciones de Rango:

En un modelo con M ecuaciones (con M variables endógenas) una ecuación está identificada si y sólo si se puede formar un determinante no nulo de orden M-1, a partir de los coeficientes de las variables endógenas y predeterminadas excluidas de esa ecuación, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo.

a) Si no se puede formar al menos un determinante no nulo de orden M-1, a partir de los coeficientes de las variables endógenas y predeterminadas excluidas de esa ecuación, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo la ecuación es subidentificada (puesto que el rango de la matriz será menor que M-1).

b) Si la matriz formada a partir de los coeficientes de las variables endógenas y predeterminadas excluidas de la ecuación -que se está identificando-, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo, presenta al menos una matriz cuadrada de orden M-1⇒la

ecuación es identificada. En otras palabras esta condición de rango permite afirmar

que hay una sola solución para los parámetros estructurales partiendo de los parámetros dados de la forma reducida. Será exactamente identificada cuando sólo haya un determinante distinto de cero de rango igual a M-1.

c) En cambio será superidentificada cuando haya más de un determinante distinto de cero de rango igual a M-1.

Veamos a efectos prácticos una forma sencilla de aplicar las condiciones de rango:

Partamos, en primer lugar, de uno de los modelos planteados más arriba:

#M 5 5 M 5_{M 5 5 M 5} +†Ìã} 5 CsµF} `7.1.7b

+†Ìã} `7.1.8b

Para determinar si se cumplen o no las condiciones de rango tendremos que construir una tabla con tantas filas como ecuaciones y tantas columnas como variables hay contenidas en la forma estructural del modelo. De tal forma que si en una ecuación aparece una determinada variable su casilla tendrá un valor distinto de 0, y 0 en caso contrario. En el ejemplo que venimos empleando tendremos:

Const Ï_$) Ï_&) •™ •₎ H6š•₎

Ecuación `&. $. &b 5 1 5 - ₊ 5 _C

Ecuación `&. $. Vb 5 5 1 - ₊ 0

La condición de orden nos permite determinar que la ecuación `7.1.7b no es identificada (es subidentificada puesto que K**(=0)<M*-1 (=1)), por lo que no habrá que analizarla en relación a las condiciones de rango. Respecto a la ecuación `7.1.8b tendremos que proceder eliminando la fila de

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la correspondiente ecuación y las columnas para las que la casilla de la ecuación son distintas a cero. En nuestro ejemplo concreto tendremos:

H6š•)

5 C

Cómo último paso tendremos que comprobar si hay al menos M – 1 filas y columnas cuyos elementos son todos distintos de cero, para saber si es identificada. En nuestro caso tenemos “1” filas y columnas con valores distintos de cero, por lo que la ecuación es exactamente identificada. Obviamente en el caso de que se imponga la restricción sobre _C de que su valor es 0, la ecuación no sería indentificable.

Veamos esto mismo desde una perspectiva alternativa:

#M_{M M}M +†Ìã} CsµF} `7.1.7b

+†Ìã} `7.1.8b a) Condiciones de orden:

En la primera ecuación tenemos que: K**(predeterminadas excluidas)=0<M*-1 (variables

endógenas incluidas)=1.

En la segunda ecuación tenemos que: K**=M*-1 =1.

Por tanto la primera ecuación es subidentificada y la segunda exactamente identificada.

b) Condiciones de rango: Para la primera ecuación:

A=å + C

+ 0 æ; R=W

0 0 0

0X; A*R=•00Ÿ ø`t ob ] * Î 5 $, en consecuencia la

ecuación es subidentificada. Para la segunda ecuación:

A=å + C + 0 æ; R=W 0 0 0 1 X;A*R=• C 0 Ÿ ø`t ob $ Î 5 $, en consecuencia la ecuación es identificada, pues ø`t ob 1 Y 5 1 y no hay más de un determinante distinto de cero que cumple la condición, por lo que es exactamente identificada.

7.3.2. Estimación y validación.

Para las ecuaciones simultáneas, la aplicación del método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) resulta en estimadores sesgados y con errores cuadrados medios que pueden ser bastante elevados, especialmente en muestras pequeñas. De aquí que se utilizan procedimientos especializados tales como la estimación recursiva, los mínimos cuadrados en dos y tres etapas (MC2E, MC3E), o bien la estimación máximo verosímil con información limitada (LIML, de Limited-Information Maximum

Likelihood) o con información completa (FIML, de Full-Information Maximum Likelihood). Estos métodos de estimación se pueden clasificar en dos grandes grupos atendiendo a la información de que dispongamos:

a) Métodos de Información limitada: Que implican estimar ecuación a ecuación (Mínimos Cuadrados Recursivos, MCI, Variables instrumentales, Mínimos Cuadrados en dos etapas, Máxima verosimilitud con información limitada).

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Estos métodos, al realizar la estimación ecuación a ecuación, no tienen en cuenta la información relativa a la especificación de las otras ecuaciones del sistema, de forma que no tiene en cuenta cuáles son las restricciones de identificación de las otras ecuaciones. En cambio los métodos de información completa utilizan toda la información que existe en el sistema de cada una de las ecuaciones, lo que permite que las estimaciones con estos métodos sean, además de consistentes, asintóticamente eficientes.

b) Métodos de Información completa: Que implican estimar simultáneamente todo el conjunto de ecuaciones (Mínimos Cuadrados en 3 etapas y Máxima verosimilitud con información completa).

¿Cómo estimar los parámetros de un sistema de ecuaciones simultáneas?

Para tener una visión esquemática de cuáles son los métodos de estimación, tendremos que distinguir, además de los sistemas recursivos (y de los SURE), entre sistemas con ecuaciones exactamente identificadas y superidentificadas, y la forma de abordar la estimación, es decir ecuación a ecuación (métodos de información limitada) o estimación simultanea de todas las ecuaciones (métodos de información completa). Así tendremos:

Cuadro 7.3.2: Estimación de parámetros en sistemas multiecuacionales Sistemas SURE Sistemas recursivos

Resto de sistemas de ecuaciones simultáneas Identificadas

Superidentificadas (al menos una de las

ecuaciones)

MCG-Zellner MCO MCI/MC2E

VI

(en sus diferentes variantes según se estime ecuación a ecuación o de forma simultánea)

Ecuación a Ecuación: MC2E/MVIL Estimación simultánea:

MC3E/MVIC

Los dos primeros casos presentados en el cuadro anterior (SURE y sistemas recursivos) ya han sido analizados, por lo que nos centraremos a continuación en los restantes casos62_.

A) Métodos de Información limitada: También denominados métodos uniecuacionales,