MRDF con restricciones.

Las dificultades que plantea la estimación de los MRDF en el caso de que no se impongan restricciones sobre los parámetros lleva a la necesidad de plantear, en muchos casos, MRDF a los que se les impone a priori una determinada forma temporal; aunque con esto tengamos que perder parte de la flexibilidad en la estimación El objetivo de la imposición de restricciones será por tanto minimizar

todo lo posible el número de parámetros a estimar, reduciendo de esta forma potenciales problemas de multicolinealidad entre los regresores.

Las aplicaciones empíricas en este campo han aportado un conjunto amplio de hipótesis acerca de las posibles formas temporales que se pueden imponer a priori a un MRDF. Vamos a presentar las más utilizadas en la práctica, distinguiendo las que resultan de asumir que los parámetros están afectados por un sistema de ponderaciones (suponiendo una determinada estructura para esas ponderaciones), de las que parten de aproximar los mediante las ordenadas de una función polinomial.

6.2.2.1. Ponderaciones.

Dentro de las posibles ponderaciones que se les puede asignar vamos a distinguir las decrecientes (retardo aritmético y geométrico) y las que primero crecen y después descienden (retardo en forma de V invertida). El caso de los retardos geométricos lo abordaremos en la segunda parte del Tema 6 para dar más coherencia a la estructura expositiva. Veamos, por tanto, a que nos referimos cuando hablamos de una estructura aritmética de retardos y una en forma de V invertida.

• Retardo aritmético14_{: Implica que los coeficientes decrecen de acuerdo con una} progresión aritmética. Fue Fisher (1937) el que expuso la posibilidad de que las ponderaciones siguieran este tipo de progresión. Según su planteamiento si se puede asumir que los efectos de la variable explicativa retardada son insignificantes a partir del cuarto periodo tendríamos que estimar la siguiente especificación15_:

5 4 3 2 + C /15

A partir de esa expresión tomaríamos el contenido del paréntesis como “la variable explicativa” estimando de esta forma . En cuanto al número de retardos, para obtenerlo podríamos especificar modelos con diferente número de retardos y determinar qué modelo resulta conjuntamente más explicativo.

Para obtener el valor de cada una de las ponderaciones simplemente plantearemos que las ponderaciones (Y ) siguen una progresión aritmética asignándole el valor 1/∑H@ Y al mayor de los retardos y de forma creciente conforme nos acercamos en el tiempo al momento “t”.

• Retardo en forma de V invertida: De Leew muy posteriormente (1962) planteó otra ley de formación de ponderaciones que da lugar a una estructura temporal que tiene forma de V invertida

14 _{Sirva como recordatorio que en una progresión aritmética cada término es el anterior aumentado (o}

disminuido) en una misma cuantía (a la que denominaremos razón de la progresión aritmética).

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(Λ). En concreto, si se puede asumir que los efectos de la variable explicativa retardada son insignificantes a partir del quinto periodo tendríamos que estimar la siguiente especificación16_:

2 3 3 + 2 C | /12

A partir de esa expresión tomaríamos el contenido del paréntesis como “la variable explicativa” estimando de esta forma .

Esto no quiere decir que éstas sean las únicas leyes de formación “validas”, sino que son dos de las más observadas y fáciles de poner en práctica. Otra posible alternativa es observar el comportamiento de los datos y tratar de buscar una ley de formación que se aproxime lo mejor posible al comportamiento temporal observado de la/s variable/s.

6.2.2.2.Polinomios.

En la modelización de algunos fenómenos económicos el número (longitud) de retardos puede ser muy alto, lo que (como vimos anteriormente) puede generar problemas de colinealidad entre los regresores17_{. Para solventar estos problemas en esa subsección vamos a recurrir a un supuesto bastante} extendido en términos de modelización de retardos, que es el de suponer que la estructura real de distribución de los coeficientes de los retardos puede ser aproximada por un polinomio18 _{de orden p –} que, en principio, debe ser de orden no muy elevado19_{-. A este tipo de retardos distribuidos polinomiales se les}

suele denominar retardos de Almon20_{. De esta forma lo que estamos suponiendo es una determinada} función polinomial para la distribución de los retardos:

∀_ 0,1,2, … , u y ∀u E } (5.3.2.1)

El éxito de esa formulación reside en su flexibilidad, puesto que una función polinomial, dentro de un intervalo dado, permite aproximar cualquier otra función sin necesidad de que el número de regresores sea

demasiado elevado (es decir sin que el grado del polinomio sea excesivamente alto).

Hay una cuestión, no obstante, de mucha relevancia en la asunción de esta hipótesis de

Almon, y es la de determinar cuánto deben valer p y q. Esto lo veremos una vez que hayamos clarificado cómo estimar los valores de con base en este supuesto. Para ello tendremos que ir dándole valores a

j: + ⋯ ~ 2 2 +2+ ⋯ ~2~ + 3 3 +3+ ⋯ ~3~ …

16 _{El multiplicador de largo plazo o multiplicador total sería, también en este caso, el valor de} .

17 _{Estos problemas pueden ser especialmente marcados en el caso en que se trabaje con variables}

macroeconómicas, pues éstas, al ser agregados, suelen mantener mayor estabilidad en el tiempo.

18 _{Esta aproximación se basa en el Teorema de Weierstrass, según el cual si una función (f) está acotada en un}

intervalo cerrado podremos aproximarla por un polinomio.

19 _{Si fuera elevado es como si no tuviéramos restricciones, por lo que volveríamos al problema inicial, invalidando}

el procedimiento.

20 _{Recibe esta denominación porque fue S. Almon en su publicación de 1965 “The distributed lag between capital}

appropriations and expenditures” (Econometrica, n. 33, pp. 178-196) el que la desarrolló. En concreto la aplicó a un modelo en el que se explicaba la dotación de reservas que realizaban un elevado número de empresas de diferentes sectores de actividad, durante los diferentes trimestres del periodo 1953-1961.

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H u u +u+ ⋯ ~u~

En el gráfico 2.3.2 se han representado dos de las posibles distribuciones polinomiales que pueden aproximar a la distribución de los . En concreto en el gráfico de la izquierda se muestra una representación del valor de los en el tiempo cuando el mejor ajuste es un polinomio de segundo grado, y en la parte derecha cuando es más realista emplear un polinomio de tercer grado.

Gráfico 2.3.2. Representación de la hipótesis de Almon.

Sustituyendo las ponderaciones en la expresión general del MRDF obtenemos lo siguiente:

‚ + ⋯ Hƒ ‚ 2 3 + ⋯ u Hƒ ‚ 2 3 + ⋯ u Hƒ +‚ 2+ 3+ + ⋯ u+ Hƒ … ~‚ 2~ 3~ + ⋯ u~ Hƒ (6.3.2.2)

Por tanto, cada término de la ecuación se compone de una combinación lineal de retardos de la variable explicativa. Este modelo puede ser estimado sin problemas por MCO o por MCG (Mínimos Cuadrados Generalizados); éste último método de estimación se empleará en el caso en que los residuos presenten problemas de autocorrelación (y en general en el caso en el que las perturbaciones sean no esféricas -como consecuencia de “problemas” en la matriz de varianzas y covarianzas de las perturbaciones-).

Es interesante subrayar que en el modelo original de retardos distribuidos finitos teníamos q+1 parámetros a estimar y, sin embargo, en el modelo transformado siguiendo la hipótesis de Almon sólo tenemos p+1 (siendo } * u . En otras palabras, se ha reducido el número de parámetros a estimar (en q-p parámetros), que fue nuestro objetivo prioritario –para reducir potenciales problemas de

multicolinealidad-. En la práctica esa “reducción” del número de parámetros a estimar al pasar del modelo original al que asume la hipótesis de Almon (q-p) equivale a aplicar restricciones de igualdad a “0” sobre esos q-p parámetros.

• Determinar p y q. Consecuencias de p y q erróneos.

Dos cuestiones inmediatas que surgen al plantear la hipótesis de Almon son: ¿Cómo determinar el grado del polinomio, es decir cómo determinar el valor de “p”? y ¿Cómo determinar el número de retardos, es decir como determinar el valor de “q”?. Si no se conocen esos valores partiendo de la Teoría económica, habrá que realizar contrastes de hipótesis sobre modelos alternativos para diferentes valores de p y q hasta alcanzar un modelo lo más satisfactorio posible.

j

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6.3. Especificación y estimación de MRD infinitos.

En la primera parte del tema hemos analizado el caso en el que los retardos del modelo tienen una estructura finita, es decir la influencia sobre la variable explicada de la variable o variables explicativas no es significativa después de un determinado número (q) de períodos. Pero la mayoría de los fenómenos económicos requieren de un supuesto menos restrictivo. Además, incluso en el caso de que podamos asumir una estructura temporal finita para los retardos, existe una elevada dificultad para estimar estos modelos puesto que, en general, tendremos que recurrir a una forma polinomial, lo que implica la dificultad de determinar un valor para el orden del polinomio y para la longitud de los retardos. Para resolver estas cuestiones en esta última parte del tema plantearemos como alternativa los modelos cuya estructura de retardos es infinita.

Una primera aproximación para estimar este tipo de modelos de infinitos retardos es la estimación ad hoc. La estimación de los parámetros „ en un modelo con retardos distribuidos infinitos partiendo de este método implica suponer que la variable explicativa X y sus retardos no son variables aleatorias o no están correlacionadas con el término de perturbación. Si esto es cierto podremos aplicar MCO empleando un modelo secuencial en el que se irán introduciendo progresivamente un mayor número de retardos de X. ¿Qué problemas plantea esto?

a) No hay conocimiento previo de la longitud máxima del retardo.

b) Cuanto mayor sea la longitud del retardo menor será el número de grados de libertad

para estimar. Tal como se subrayó en la introducción del tema, estimar un número muy elevado de parámetros partiendo de un número de observaciones, por lo general, reducido resulta difícil o incluso, en muchos casos, imposible.

c) Los valores de los retardos suelen presentar problemas de autocorrelación y multicolinealidad.

Para evitar esto la literatura relativa a los modelos de retardo ha planteado la posibilidad de que la sucesión de parámetros se aproxime por una sucesión indefinida que siga una ley de formación

conocida y que, precisamente, el conocimiento de esa ley de formación permita que la especificación quede determinada por un número reducido de parámetros. En las dos secciones de este epígrafe vamos a ver algunas de esas leyes de formación.

En el cuarto epígrafe de este tema se pretende dar un paso más en la comprensión de los MRD infinitos al aportar una visión de este tipo de modelos desde la óptica de su aplicabilidad en el contexto de los modelos de Teoría Económica. Es decir, acercaremos los modelos de retardos distribuidos a la lógica de comportamiento de los agentes económicos.

Finalizaremos el tema presentando en el epígrafe 5 las técnicas habitualmente empleadas para la estimación de los MRD. Con este último epígrafe daremos por concluido el análisis de modelos dinámicos.