Econometria II

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Notas de Econometría II

Antonio Caparrós Ruiz y Oscar D. Marcenaro-Gutiérrez

Notas de Econometría II

Autores:

Dr. Antonio Caparrós Ruiz*

Dr. Oscar D. Marcenaro Gutierrez**

Profesores Titulares de Universidad

Departamento de Economía Aplicada (Estadística y Econometría, 15) Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales

El Ejido, 6 Universidad de Málaga Email*: [email protected] Email**: [email protected] Tfno*: 952 131163 Tfno**: 952137003

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Índice

Tema 1. Análisis clásico de series temporales . 1.1. Introducción.

1.2. Componentes de una serie temporal.

Descomposición

.

1.3. Componente

estacional.

1.4. Componente

tendencia-ciclo.

1.5. Predicción.

Tema 2. Modelos de Alisado Exponencial (M.A.E.) 2.1. Introducción.

2.2. Tipos de modelos. 2.2.1. M.A.E. simple. 2.2.2. M.A.E. doble.

2.2.3. M. de Holt-Winters (H-W) sin estacionalidad. 2.2.4. M.H-W con estacionalidad.

Tema 3. Modelos estocásticos de series temporales . 3.1. Introducción.

3.2. M. estacionarios lineales: ARMA (p,q).

3.3. M. no estacionarios: ARIMA (p,d,q) y modelos estacionales. Tema 4. Análisis Box-Jenkins.

4.1. Introducción. 4.2. Identificación. 4.3. Estimación 4.4. Validación 4.5. Predicción

Tema 5: Introducción a los Modelos Dinámicos.

5.1. Introducción.

5.2. Causas que generan retardos en el comportamiento económico.

5.3. Modelo dinámico general. Modelo de retardos distribuidos (MRD).

5.4. Características de los modelos dinámicos.

• Multiplicadores.

• Condición de estabilidad.

• Tipos de trayectoria.

• Condición de monotonía.

• Retardo medio y Retardo Mediano.

Tema 6: Especificación y Estimación de MRD. 6.1. Introducción.

6.2. Especificación y estimación de MRD finitos:

6.2.1. Sin restricciones.

6.2.2. Con restricciones.

6.2.2.1. Ponderaciones.

6.2.2.2. Polinomios.

6.3. Especificación y estimación de MRD infinitos.

6.3.1. Retardo geométrico (Koyck).

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6.4. Justificación teórica de los MRD.

6.4.1.Modelo con rigideces. Hipótesis de Ajuste Parcial (HAP).

6.4.2.Modelo con incertidumbre. Hipótesis de Expectativas Adaptativas

(HEA).

6.5. Estimación de MDA.

Tema 7: Modelos multiecuacionales.

7.1. Introducción.

7.2. Sistemas de ecuaciones no simultáneas: Modelos recursivos y SURE.

7.3. Modelos de ecuaciones simultáneas.

7.3.1. Identificación (condiciones orden y rango).

7.3.2. Estimación y validación.

7.3.3. Simulación y predicción.

Apéndice A. Alfabeto griego.

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PREFACIO

Es importante recordar la creciente importancia de la econometría como disciplina dentro de la economía. De hecho la necesidad de cuantificar y evaluar las teorías e hipótesis económicas se han convertido en una piedra angular de la economía, que cobra aún más relevancia en tiempos convulsos para la economía como los actuales.

En los temas que siguen ampliaremos nuestro campo de visión respecto a la modelización de la economía y la administración de empresas, al tener en cuenta un aspecto esencial de esta disciplina científica: el carácter dinámico del comportamiento de los agentes económicos.

Aquí, como en cualquier otro ámbito de la investigación econométrica aplicada habrá que seguir una serie de pasos para dotar a nuestras investigaciones del suficiente rigor. Sirva como recordatorio el siguiente esquema, en el que se resumen esas etapas fundamentales del análisis econométrico aplicado:

Cuadro 1.1. Etapas del análisis econométrico aplicado.

Fuente: Maddala (2001).

En un contexto de análisis de series temporales es importante hacer, en primer lugar, una breve reseña histórica que nos permita ubicarnos con mayor facilidad en las diferentes aproximaciones que se han abordado ante el problema de análisis de series temporales. En estos procedimientos metodológicos se pueden sintetizar en tres:

a) El análisis clásico de series temporales (extendido en la década de 1920) se basa en

descomponer la serie temporal en cuatro componentes: tendencia, ciclo, movimiento estacional y movimiento irregular. Este procedimiento pretende acotar cada uno de estos componentes

Teoría Económica Modelo Econométrico Test correcta especificación modelo ¿Es el modelo adecuado? Datos Contrastes de hipótesis

Utilización del modelo para tareas predictivas

Sí No

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para, posteriormente, utilizarlo en la determinación de la evolución futura de la variable. Este procedimiento implica un enfoque determinista. Con el enfoque adoptado en el análisis clásico se pueden obtener predicciones de los valores de la variable a partir del pasado de la misma, sin recurrir a la información de otras variables (como hace el análisis causal) para obtener las predicciones.

Con posterioridad se desarrolló la concepción estocástica de las series temporales, que se basa en la teoría de los procesos estocásticos. Dentro de esta concepción podemos distinguir a su vez dos procedimientos para abordar el análisis de series temporales, el

enfoque Box-Jenkins y el análisis causal.

b) El enfoque Box-Jenkins implica que es un proceso estocástico el que genera la evolución de una serie temporal, y por tanto la cuestión esencial es determinar el proceso generador (modelo ARIMA) de la serie temporal, que se basará en lo que los propios datos observados para la serie temporal nos indiquen. En síntesis se trata de explicar el comportamiento de una variable en el futuro (fin predictivo) a partir de cómo han evolucionado los valores de esa variable en los periodos anteriores. En este contexto una serie temporal es una realización de un proceso estocástico.

c) El análisis causal, también llamado enfoque estructural, que explica el comportamiento de una variable a partir de las variaciones en otras (variables causales) más un término de perturbación aleatoria. Así la evolución futura de la variable explicada vendrá determinada por los valores en el futuro de las variables explicativas (causales). Este será el enfoque que abordaremos a lo largo de la última parte de la asignatura (modelos de retardos distribuidos y modelos dinámicos autoregresivos).

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Tema 1. Análisis clásico de series temporales.

1.1 Introducción.

La asignatura precedente de Econometría, Econometría I, se ha ubicado en el campo de la Econometría causal, es decir, una variable dependiente es explicada y predicha por su relación con k variables explicativas:

Yt = β1 + β2*X2t + ...+ βk*Xkt + ut Este tipo de análisis conlleva una serie de problemas:

1) La necesidad de una teoría que justifique las posibles variables explicativas que se han de introducir en el modelo.

2) Las predicciones de la variable Y se basan en predicciones de las X’s_.

Por estas razones surge el análisis clásico de series temporales que permite realizar predicciones de la variable con la única información procedente del pasado de la misma.

1.2 Componentes de una serie temporal.

Una serie temporal puede descomponerse en las siguientes cuatro componentes:

a) Tendencia de larga duración o secular (Tt):

Recoge el movimiento de la variable a largo plazo, que puede ser debido a cambios demográficos, tecnológicos o institucionales.

Ejemplos de variables con tendencia.

1) Paro registrado en España (nº personas).

Fuente: INE.

2) Edad media a la maternidad (años).

Fuente: INE. Paro registrado 0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000 3500000 4000000 4500000 5000000 1 9 9 6 M 0 1 1 9 9 7 M 0 5 1 9 9 8 M 0 9 2 0 0 0 M 0 1 2 0 0 1 M 0 5 2 0 0 2 M 0 9 2 0 0 4 M 0 1 2 0 0 5 M 0 5 2 0 0 6 M 0 9 2 0 0 8 M 0 1 2 0 0 9 M 0 5 2 0 1 0 M 0 9 2 0 1 2 M 0 1

Edad media a la maternidad

26 27 28 29 30 31 32 1 9 7 5 1 9 7 7 1 9 7 9 1 9 8 1 1 9 8 3 1 9 8 5 1 9 8 7 1 9 8 9 1 9 9 1 1 9 9 3 1 9 9 5 1 9 9 7 1 9 9 9 2 0 0 1 2 0 0 3 2 0 0 5 2 0 0 7 2 0 0 9

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3) Tasa de mortalidad infantil posneonatal. (nº defunciones por cada mil nacidos).

Fuente: INE.

Ejemplo de variable sin tendencia.

Temperatura media en Málaga en el mes de septiembre (grados centigrados).

Fuente: INE.

b) Movimiento oscilatorio o cíclico:(Ct)

Recoge las fluctuaciones originadas por el ciclo económico, que pueden durar entre 4 y 8 años.

Ejemplo:

Variaciones intertrimestrales del PIB a precios de mercado (Indice de volúmenes encadenados).

Fuente: INE.

b) Fluctuaciones estacionales (Et):

Son movimientos que se presentan con una periodicidad inferior al año (mes, trimestre, cuatrimestre,...), suelen ser repetitivos y muestran el efecto de la climatología, la estructura productiva o festividades.

Tasa de mortalidad infantil postneonatal

0 1 2 3 4 5 6 7 1 9 7 5 1 9 7 7 1 9 7 9 1 9 8 1 1 9 8 3 1 9 8 5 1 9 8 7 1 9 8 9 1 9 9 1 1 9 9 3 1 9 9 5 1 9 9 7 1 9 9 9 2 0 0 1 2 0 0 3 2 0 0 5 2 0 0 7 2 0 0 9

Temperatura media en Málaga en septiembre

22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 1 9 9 7 1 9 9 8 1 9 9 9 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 2 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 8 2 0 0 9 2 0 1 0

Variaciones interanuales (%) del PIB a precios de

mercado (índices de volumen encadenados)

-20 -15 -10 -5 0 5 10

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Ejemplo:

Indice del comercio al por menor.

Fuente: INE.

d) Variaciones irregulares (It):

Muestra aquellos factores asociados al muy corto plazo y que quedan fuera del control del analista. Dentro de este componente también denominado residual, se encuentran factores inusuales, pero fácilmente reconocibles como una catástrofe natural.

Ejemplo.

Licitación oficial de las Administración Públicas (millones de euros).

Fuente: INE.

Indice de ventas del comercio minorista

0 20 40 60 80 100 120 140 2003M01 2004M07 2006M01 2007M07 2009M01 2010M07 2012M01

Licitación oficial de las Administraciones Públicas

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 1995M01 1999M03 2003M05 2007M07 2011M09

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Ejemplo de descomposición de una serie en componentes:

Dado que los componentes de una serie no se observan aisladamente, se necesita aplicar hipótesis que representen el proceso generador de los datos:

1) Hipótesis aditiva: Yt = Tt + Ct + Et + It 2) Hipótesis multiplicativa: Yt = Tt * Ct * Et * It 3) Hipótesis mixta: Yt = Tt * Ct * Et + It

A nivel práctico hay que elegir entre uno u otro esquema. Hay que considerar que en la hipótesis aditiva los cuatro componentes son independientes, por ejemplo, la existencia de tendencia no condiciona el efecto de la estacionalidad; mientras que en la hipótesis multiplicativa, los elementos están interrelacionados entre sí. Para concretar si la serie temporal sigue un esquema aditivo o uno multiplicativo, por ejemplo se puede analizar la amplitud del ciclo anual (componentes de la serie estacional). Si ésta aumenta a medida que lo hace la tendencia (las ondas se agrandan), el modelo es multiplicativo. Si permanece constante es aditivo.

1,600,000 2,000,000 2,400,000 2,800,000 3,200,000 3,600,000 4,000,000 4,400,000 4,800,000 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 PARO 1,500,000 2,000,000 2,500,000 3,000,000 3,500,000 4,000,000 4,500,000 5,000,000 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 TENDENCIA -400,000 -200,000 0 200,000 400,000 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 CICLO -200,000 -100,000 0 100,000 200,000 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

ESTA CIONA LIDA D

-60,000 -40,000 -20,000 0 20,000 40,000 60,000 80,000 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 IRREGULAR

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Ejemplo:

1. 3. Componente estacional: Desestacionalización.

En este epígrafe analizamos, en primer lugar, cómo conocer mediante el uso de tasas de variación la evolución de una variable a medio y largo plazo. En segundo lugar, se presenta una serie de técnicas que permiten desestacionalizar una serie y extraer el componente estacional de la misma. 1.3.1 Evolución a medio y largo plazo de la variable.

Si el objetivo es conocer la evolución de la serie sin estacionalidad, es decir, su evolución a medio y a largo plazo, es necesario obtener su tasa de variación interanual. Así, por ejemplo, bajo una hipótesis multiplicativa y con datos trimestrales (Yt = Tt * Ct * Et * It), la tasa interanual se obtendría de la siguiente forma:

T1_{4 = [(Yt – Yt-4) / Yt-4] *100=}

[(( Tt * Ct * Et * It)- ( Tt-4 * Ct-4 * Et-4 * It-4))/ ( Tt-4 * Ct-4 * Et-4 * It-4))*100] Si se supone estacionalidad estable Et = Et-4, entonces:

200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 96 98 00 02 04 06 08 10 Serie1_Hipótesis aditiva 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 96 98 00 02 04 06 08 10 SERIE2_Hipótesis multiplicativa

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T1_{4 = [(Yt – Yt-4) / Yt-4] *100=[(( Tt * Ct * It)- ( Tt-4 * Ct-4 * It-4))/ ( Tt-4 * Ct-4 * It-4))*100]} Con esta tasa el efecto estacional queda excluido.

Ejemplo:

Tasas de variación del Indice de pedidos en la industria (2012M1-2012M6)

Tasa de variación Tasa de variación

intertrimestral interanual 2012M01 3.97 0.12 2012M02 0.32 -0.15 2012M03 10.77 -3.91 2012M04 -13.15 -4.21 2012M05 8.41 -3.84 2012M06 1.70 -1.67 1.3.2 Desestacionalización.

En este subepígrafe se presentan diversos métodos para extraer el componente estacional de una variable.

a) Método de la razón a la media móvil.

Con este método se obtienen unos coeficientes que sintetizan en un único valor la estacionalidad para cada periodo temporal. Y a partir de ahí, poder obtener la serie desestacionalizada, es decir, la serie sin el componente estacional.

El método parte de suponer que se cumple lo siguiente: a) La serie ha sido generada bajo una hipótesis multiplicativa:

Yt = Tt * Ct * Et * It

b) La estacionalidad es estable, no varía para mismo periodos de diferentes años: Et=Et-4 o Et=Et-12, con datos trimestrales y mensuales, respectivamente.

c) La tendencia y el ciclo se obtienen de forma conjunta.

Indice de pedidos en la industria

0 20 40 60 80 100 120 140 2 0 0 2 M 0 1 2 0 0 2 M 1 1 2 0 0 3 M 0 9 2 0 0 4 M 0 7 2 0 0 5 M 0 5 2 0 0 6 M 0 3 2 0 0 7 M 0 1 2 0 0 7 M 1 1 2 0 0 8 M 0 9 2 0 0 9 M 0 7 2 0 1 0 M 0 5 2 0 1 1 M 0 3 2 0 1 2 M 0 1

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El objetivo del método es obtener una estimación de Et. Concretamente, el procedimiento consta de las siguientes pasos:

1) Dada una serie Yt se estima el componente tendencia-ciclo a través de la serie de medias móviles centradas: MMc_t=Tt*Ct=       + + + + + + + + + + − − + + − − + + mensuales datos con Y Y Y Y Y es trimestral datos con Y Y Y Y Y t t t t t t t t t t , 12 / ) * 5 . 0 ... ... * 5 . 0 ( , 4 / ) * 5 . 0 * 5 . 0 ( 6 1 1 6 2 1 1 2

2) Se obtiene el componente estacional e irregular (Et*It). Para ello se divide la serie original por MMc_{t :} Et*It= Yt / MMc

t

A esta serie de valores se les denominan índices específicos o brutos de variación estacional y constituyen una primera aproximación del componente estacional.

3) Primera estimación del componente estacional: E’_{j .}

La diferencia entre los índices estacionales es debida a los factores irregulares. Estos se eliminan tomando la media aritmética para cada una de las "m" fracciones del año (m es cuatro con datos trimestrales y 12 para datos anuales).

4) Normalización de los coeficientes: E’_j.

La estacionalidad media en un esquema multiplicativo corresponde a Et=1. Por ello, para lograr que los índices estacionales tengan como media 1, éstos han de ser normalizados. Como resultado se obtienen los índices generales de variación estacional (IGVE):

IGVEj = m m j E E E E ' ' 2 ' 1 ' * ... * * , j=1,...,m

La serie desestacionalizada se obtendría de la siguiente forma: Yd_{t,j= Yt,j / IGVEj.} 5) Los IGVEj fluctúan por debajo y por encima de 1.

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Sample: 2002M01 2012M06 Included observations: 126 Ratio to Moving Average Original Series: PEDIDOS Adjusted Series: PEDIDOSSA Scaling Factors: 1 0.985893 2 0.976118 3 1.076340 4 1.005896 5 1.040415 6 1.049747 7 1.063365 8 0.772776 9 1.045012 10 1.049583 11 1.021198 12 0.954751

• Interpretación de los IGVE:

1) (IGVEmarzo-1)*100 = (1.076-1)*100= 7.6%

La estacionalidad del mes de marzo provoca que el índice de pedidos en la industria crezca un 7.6% por encima de su valor medio anual.

2) (IGVEagosto-1)*100 = (0.77-1)*100= -23%

La estacionalidad del mes de agosto provoca que el índice de pedidos en la industria caiga un 23% por debajo de su valor medio anual.

b) Método de la diferencia a la media móvil:

La hipótesis que subyacen tras este método son las siguientes: * La serie ha sido generada bajo una hipótesis aditiva:

60 80 100 120 140 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

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Yt = Tt + Ct + Et + It

* La estacionalidad es estable, no varía para mismo periodos de diferentes años: Et=Et-4 (t es un trimestre) o Et=Et-12 (t es un mes).

* La tendencia y el ciclo se obtienen de forma conjunta. El procedimiento consta de los siguientes pasos:

1) Estimación del componente tendencia-ciclo a través de la serie de medias móviles centradas: MMc_{t =} Tt + Ct+ Et + It       + + + + + + + + + + − − + + − − + + mensuales datos con Y Y Y Y Y es trimestral datos con Y Y Y Y Y t t t t t t t t t t , 12 / ) * 5 . 0 ... ... * 5 . 0 ( , 4 / ) * 5 . 0 * 5 . 0 ( 6 1 1 6 2 1 1 2

2) Primera estimación del componente estacional e irregular (Et+It). Para ello se resta la MMc_{t a la serie} original, Yt,:

Et+It= Yt - MMc t

A esta serie de valores se les denominan índices específicos o brutos de variación estacional y constituyen una primera aproximación del componente estacional.

3) Primera estimación del componente estacional: E’_j.

Bajo la hipótesis de estacionalidad estable, la diferencia entre los índices específicos o brutos de variación estacional es debida a los factores irregulares. Estos se eliminan tomando la media aritmética para cada una de las fracciones del año.

3) Posteriormente se normalizan los coeficientes E’_{j, para que la media de todos los índices valga 0 (valor} correspondiente a la ausencia de estacionalidad bajo una hipótesis aditiva), obteniéndose los IGVEj=

∑

= − m j j j E m E 1 ' ' /

Por ejemplo, si los datos son trimestrales: IGVE1= E’_{1 -}

∑

= 4 1 ' 4 / j j E ; IGVE2= E’_{2 -}

∑

= 4 1 ' 4 / j j E ; IGVE3= E’_{3 -}

∑

= 4 1 ' 4 / j j E ; IGVE4= E’_{4 -}

∑

= 4 1 ' 4 / j j E 4) La serie desestacionalizada se obtendría de la siguiente forma: Yd_{t,j= Yt,j- IGVEj.}

5) Los IGVEj con la hipótesis aditiva fluctúan por encima y por debajo de 0.

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Sample: 2002M01 2012M06 Included observations: 126 Difference from Moving Average Original Series: PEDIDOS Adjusted Series: PEDIDOSSA Scaling Factors: 1 -1.585038 2 -2.635843 3 7.158018 4 0.194009 5 3.770388 6 4.493587 7 5.706653 8 -22.41911 9 3.910828 10 4.366078 11 1.893486 12 -4.853052

• Interpretación de los IGVE:

IGVEmarzo= 7.15, en el mes de marzo la estacionalidad provoca un aumento del índice de pedidos de 7.15 puntos con respecto a su valor medio anual.

IGVEagosto= -22.41, en el mes de agosto la estacionalidad provoca una caída del índice de pedidos de 23 puntos con respecto a su valor medio anual.

c) Método X11.

Este método, al contrario que los dos anteriores, supone que el componente estacional varía de forma estocástica a lo largo del tiempo. Se puede aplicar tanto con una hipótesis aditiva como multiplicativa. En este caso, el procedimiento de obtención del componente estacional no es tan sencillo, desde un punto de vista algebraico, como en los dos casos anteriores. Por este motivo, sólo nos limitamos a señalar con el ejemplo que se presenta a continuación como se aplicaría dicho método con el programa EVIEWS 7.0. -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

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Ejemplo con la serie “índice de pedidos en la industria”:

• X11-Multiplicativo: • X11. Aditivo: 60 80 100 120 140 70 80 90 100 110 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

PEDIDOS PEDIDOSSA FACTORS

-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

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1.4. Componente de tendencia-ciclo

En este epígrafe se diferencian dos subepígrafes donde se muestra cómo tratar y obtener los compenentes de tendencia y ciclo, respectivamente.

1.4.1. Componente tendencia

Un mecanismo para captar el componente de tendencia de una variable es mediante el análisis de regresión. En particular, se considera un modelo que relacione a la variable Yd_{t (variable} desestacionalizada) con el tiempo (si los datos son anuales, Yd_{t = Yt ):}

Yd_{t = f(t) + ut} A continuación se presentan diversas especificaciones para f(t):

a) Función lineal: Yd_{t = β1 + β2 t + ut, la variable t se puede construir dándole 1 al primer periodo, 2 al} segundo, y así sucesivamente. Gráficamente, correspondería a series de este tipo:

β2: Mide la variación absoluta que por término medio experimenta la variable Yd_{t al transcurrir un} periodo, ya que:

E(Yt-1) = β1 + β2 (t-1) E(Yt) = β1 + β2 t E(Yt) - E(Yt-1) = β2

• Predicción

Para obtener predicciones de la variables Yt, sólo se considera el componente de tendencia y el de estacionalidad. Por ello, en primer lugar, se predice el valor desestacionalizado tras estimar el modelo de tendencia y, en segundo lugar, se incorpora el componente estacional. Ejemplo:

Periodo t Yd t IGVEj . 2012.09 2012.10 2012.11 . 15 16 17 . Yd 2012.09 Yd 2012.10 Yd 2012.11 . IGVE9 IGVE10 IGVE11 70 80 90 100 110 120 130

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

2002 2003 2004 2005 2006 2007

Fuente: Elaboración propia a partir de datos del INE.

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Predicción para 2012:12 de Yt: - Hipótesis multiplicativa: 12 12 . 2012 ^ 12 . 2012 ^ * IGVE Y Y d = donde: ₂18 ^ 1 ^ 12 : 2012 ^

β

+ = d Y - Hipótesis aditiva: 12 12 . 2012 ^ 12 . 2012 ^ IGVE Y Y d + = b) Función polinómica:

La expresión general es:

Yd_{t = β1 + β2 t + β3 t}2_{+ ...+ βp+1 t}p_{+ ut}

En la práctica uno de los valores para p más usuales es p=2, con lo que la expresión resultante es:

Yd_{t = β1 + β2 t + β3 t}2_{+ ut}

Este tipo de función es apropiada para la representación gráfica de una serie que presenta una tendencia curva, con una variación (crecimiento o decrecimiento), que no es constante sino que es función del periodo considerado, por ejemplo:

Si se supone el modelo ya está estimado, se observa como la variación de la variable con el tiempo no es constante: 2 3 ^ 2 ^ 1 ^ ^ t t Y t d

β

+ + = 76 80 84 88 92 96 100 104 108 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

(19)

t t Y_t 3 ^ 2 ^ ^ β β + = ∂ ∂ • Predicción:

Haciendo uso del ejemplo anterior: - Hipótesis multiplicativa: 12 12 : 2012 ^ 12 : 2012 ^ * IGVE Y Y d = donde 3 2 ^ 2 ^ 1 ^ 12 : 2012 ^ 18 18 β β β + + = d Y - Hipótesis aditiva: 12 12 . 2012 ^ 12 . 2012 ^ IGVE Y Y d + = c) Función exponencial:

En ocasiones, el crecimiento de la variable no es moderado si no que parece seguir una ley exponencial, con un ritmo de variación de fuerte crecimiento o caída. En este caso la función que se propone es:

Yd_{t = e}(β1 + β2t+ut)

El siguiente gráfico es un ejemplo de este tipo de modelo:

Para estimar el modelo es necesario linealizarlo: ln Yd_{t = β1 + β2 t + ut} Interpretación de ^ 2 β : 100 * 100 * ^ 2 ^ ^ β = ∂ d d t t Y Y ^ 2

β * 100 es la variación en términos porcentuales que se produce en la variable dependiente cuando transcurre un periodo temporal. Para recuperar los valores ajustados de la variable original:

) 2 ( ^ 2 2 ^ 1 ^ T e t d t t e Y ∑ + + = β β 1,600,000 2,000,000 2,400,000 2,800,000 3,200,000 3,600,000 4,000,000

II III IV I II III IV I II III IV

2007 2008 2009

(20)

Ejemplo: Precio del barril Brendt (2002.01-2007.11) en dólares.

Dependent Variable: LNBARRISA Method: Least Squares

Sample: 2002M01 2007M11 Included observations: 71

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 3.149329 0.028046 112.2913 0.0000

T 0.018201 0.000677 26.88314 0.0000

R-squared 0.912846 Mean dependent var 3.804561

Adjusted R-squared 0.911583 S.D. dependent var 0.393187

S.E. of regression 0.116914 Akaike info criterion -1.426989

Sum squared resid 0.943155 Schwarz criterion -1.363252

Log likelihood 52.65812 F-statistic 722.7032

* Realizar una predicción para diciembre del 2007, sabiendo que t es igual a 1 en 2002.1, y que el IGVE12= 0.957

$

27 .

83

957 .

0 *

*

₁₂ (3.149 0.018201*72 0.943155/142) 12 . 2007 ^ 12 . 2007 ^

=

_Y

_IGVE

_e

+ +

Y

d * Interpretación de ^ 2 β * 100:

Al transcurrir un periodo la variable “Precio del barril de petróleo desestacionalizada” aumenta por término medio en un 1,82%.

1.4.2. Componente cíclico: Filtro de Holdrick-Prescott

A partir de este procedimiento se desea obtener el componente cíclico de la variable. Para aplicar este filtro la variable ha de estar desestacionalizada. Se supone una hipótesis aditiva: Yd_{t = Tt +} Ct+ It, t= 1,...,T. A partir de estas consideraciones, se desea obtener la serie suavizada, que en este caso, sería la tendencia Tt. Para ello habría que minimizar la siguiente función:

{ }[ ( ) [ (( ) ( )) ] 2 2 1 1 2 1

∑

= − + = − − − + − T t t t t t t t d T t Tt T T T T T Y Min λ 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 2002 2003 2004 2005 2006 2007 BARRIL

(21)

tras minimizar la función se obtiene un vector de dimensión 1xT que recoge el componente tendencia: {T1, T2,..., TT}. λ es un parámetro que penaliza la variabilidad del componente tendencia, los autores del método proponen los siguientes valores:

λ= 100 con datos anuales λ= 1600 con datos trimestrales λ= 14400 con datos mensuales.

Una primera aproximación al componente cíclico sería: C’_{t = Y}d_{t - Tt; no obstante, en C’t está} incluido el componente irregular, así pues, para conseguir la verdadera estimación de Ct hay que volver a aplicar el filtro de Holdrick-Prescott a C’t para obtener, nuevamente, una serie suavizada que sería Ct: { }[ ( ) [ (( ) ( )) ] 2 2 1 1 2 ' 1

∑

= + − = − − − + − T t t t t t t t T t Ct C C C C C C Min λ

donde Ct es el componente cíclico.

Ejemplo:

Proc/Holdrick-Prescott filter:

Serie “Paro registrado” (1996M1-2012M01)

-400,000 -200,000 0 200,000 400,000 600,000 1,000,000 2,000,000 3,000,000 4,000,000 5,000,000 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

PARO Trend Cycle

(22)

1.5. Predicción.

Antes de analizar la predicción es necesario que se hagan explícitos los siguientes supuestos: a) Se considera que existe una cierta estabilidad en el fenómeno.

Ejemplo: Serie no estable: Nº de terremotos en España en el mes de abril.

Fuente: INE. -400,000 -200,000 0 200,000 400,000 -400,000 -200,000 0 200,000 400,000 600,000 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

CICLO1 Ciclo Irregular Hodrick-Prescott Filter (lambda=14400)

Nº de terremos en el mes de Abril

0 100 200 300 400 500 1 9 8 5 1 9 8 7 1 9 8 9 1 9 9 1 1 9 9 3 1 9 9 5 1 9 9 7 1 9 9 9 2 0 0 1 2 0 0 3 2 0 0 5 2 0 0 7 2 0 0 9

(23)

b) Los datos han de ser homogéneos en el tiempo, es decir, se ha de mantener la definición y los procedimientos de medición de la magnitud objeto de estudio.

Ejemplo: La Encuesta de Ocupación Hotelera sustituyó desde enero del 1999 a la Encuesta de Movimiento de Viajeros en Establecimientos Hoteleros, ampliando la investigación a la categoría de una estrella y similares.

Si la variable que se investiga es Yt, el conjunto de información disponible es: Y1, Y2, ..., YT

La predicción puede ser de tres tipos:

a) Interim: ^ 1, Y ,..., ^ 2 Y ^ . T Y b) Ex-post: 1... ^ + T Y c) Ex-ante: 0 ^ Y , 1 ^ − Y , 2 ^ − Y ,...

Al error de predicción se le denomina: et = Yt

^ - Yt. Y el porcentaje del error de predicción se define como:

% Error de predicción= (Yt ^

- Yt/ Yt) *100

• Medidas para valorar la capacidad predictiva de los modelos: 1) Error absoluto medio: EAM

EAM = T Y Y T t t t

∑

= − 1 ^ , en el interior de la muestra. EAM = M Y Y M m m m

∑

= − 1 ^ , fuera de la muestra.

2) Porcentaje de error absoluto medio: PEAM

PEAM = T Y Y Y T t t t t

∑

= − 1 ^ / ) ( , en el interior de la muestra. PEAM = M Y Y Y M m m m m

∑

= − 1 ^ / ) ( , fuera de la muestra.

(24)

ECM = T Y Y t t t

∑

^ − 2 ) ( , en el interior de la muestra. ECM =

M

Y

m m m

∑

^

−

2

)

(

_{, fuera de la muestra.}

4) Raíz del error cuadrático medio

RECM= ECM

Cuanto más cercanas estén a cero todas las medidas anteriores mejor será la capacidad predictiva del modelo.

Las limitaciones de las medidas anteriores son que carecen de cota superior. Además los valores que alcancen el EAM, el ECM y la RECM dependen de la unidad de medida de la variable y, por consiguiente, no son adecuados para realizar comparaciones al menos que vengan referidas las predicciones a la misma variable.

5) Coeficiente de desigualdad de Theil

T Y T Y T Y Y U T t t T t t T t t t

∑

= = = + − = 1 2 1 2 ^ 1 2 ^ ) ( ;

éste índice está acotado entre 0 y 1. Además es una medida adimensional. Otra forma de expresar el coeficiente de desigualdad de Theil es con su valor al cuadrado:

U2₌ 2 1 2 1 2 ^ 1 2 ^ ) (                 + −

∑

= = = T Y T Y T Y Y T t t T t t T t t t

El cuadrado del coeficiente de desigualdad de Theil, U2_{, permite ser descompuesto en tres} componentes, que son denominados componente de sesgo, de varianza y de covarianza. En particular, la forma de la descomposición es la siguiente:

U2₌ 2 1 2 1 2 ^ , 2 1 2 1 2 ^ 2 2 1 2 1 2 ^ 2 ^ ₍ ₎ ₂ ₍₁ ₎ ) ( ^ ^ ^                 + − +                 + − +                 + −

∑

= = = = = = − − T Y T Y r S S T Y T Y S S T Y T Y Y Y T t t T t t y y y y T t t T t t y y T t t T t t

(25)

Los dos primeros componentes (componente de sesgo y de varianza) forman la parte sistemática; mientras que el componente de covarianza, la parte no sistemática, lo ideal es que el componente de varianza y sesgo sean lo más pequeños posibles.

Ejemplo:

Se ha estimado un modelo lineal para para la variable desestacionalizada del índice de ventas del comercio minorista:

Dependent Variable: INDICE_SA Method: Least Squares

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 123.4290 1.550832 79.58891 0.0000 T -0.369913 0.018548 -19.94332 0.0000 AR(1) 0.315413 0.119344 2.642888 0.0104 R-squared 0.932072 Mean dependent var 93.44975 Adjusted R-squared 0.929880 S.D. dependent var 7.247092 S.E. of regression 1.919039 Akaike info criterion 4.186581 Sum squared resid 228.3281 Schwarz criterion 4.286937 Log likelihood -133.0639 Hannan-Quinn criter. 4.226178 F-statistic 425.3625 Durbin-Watson stat 2.185324 Prob(F-statistic) 0.000000

Interpretación de la información:

• Root mean squared error: RECM.

• Mean Absolute Error: EAM.

• Porcentaje del error absoluto medio: PEAM.

• Theil Inequality Coefficient: U.

• Bias Proportion + Variance Proportion + Covariance proportion: 1. 70 80 90 100 110 120 130 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 INDICE_SAF ± 2 S.E. Forecast: INDICE_SAF Actual: INDICE_SA Forecast sample: 2003M01 2012M05 Adjusted sample: 2003M02 2012M05 Included observations: 112

Root Mean Squared Error 10.66962

Mean Absolute Error 7.132881

Mean Abs. Percent Error 7.311081

Theil Inequality Coefficient 0.053690

Bias Proportion 0.342986

Variance Proportion 0.262880

(26)

Tema 2. Modelos de alisado exponencial.

2.1. Introducción.

En el siguiente tema se muestran algunos métodos de predicción de series temporales que, al igual que el análisis clásico, se basan sólo en los valores pasados de la variable. Son métodos adecuados cuando hay pocas observaciones.

2.2. Tipos de modelos.

2.2.1 Alisado exponencial simple.

Este método se aplica a variables económicas con una media constante. Se supone que el modelo subyacente tras la variable es:

Yt = β1 + ut,

es decir, la variable fluctúa en torno a una constante y no presenta tendencia ni componente estacional. Si una variable Yt es sometida a un proceso de alisado exponencial simple, resulta una variable alisada St. Teóricamente, St se obtiene de la siguiente forma:

St = δ Yt + (1- δ) δ Yt-1 + (1- δ)2_{δ Yt-2 +...}

donde 0<δ<1 es un parámetro que oscila en torno a 0,01 y 0,30. Si δ está cercano a 1, el método no es adecuado ya que nos indicaría que Yt tiene tendencia.

St es una media aritmética ponderada de infinitos valores, ya que la suma de las ponderaciones es igual a 1:

Σj (1- δ)j_{δ = δ /1-(1- δ) = 1}

Dichas ponderaciones decaen de forma exponencial a través del tiempo.

Para calcular St se necesitan infinitos valores de la variable, lo cual no es factible. Por ello, se realiza la siguiente operación:

St = δ Yt + (1- δ) δ Yt-1 + (1- δ)2_{δ Yt-1 +...} (1- δ) St-1 = (1- δ)δ Yt-1 + (1- δ)2_{δ Yt-2 + (1- δ)}3_{δ Yt-3 +...}

St -(1- δ) St-1 = δ Yt St = δ Yt + (1- δ) St-1

Una vez obtenida la variable alisada St, las predicciones se obtienen de la siguiente forma:

t Yt St Predicción: ) 1 ( ^ t Y 1 2 . . . T T+1 Y1 Y2 . . . YT S1=δY1+(1-δ) S0 S2=δY2+(1-δ) S1 . . . ST=δYT+(1-δ) ST-1 1 1 ^ ) 1 ( S Y = . . . T T S Y (1)= ^

(27)

Si sólo existe información hasta T, entonces: YT(m)=ST ^

.

Para iniciar el proceso es necesario asignar un valor a S0. El programa EVIEWS supone que S0 es igual a la media de las (T+1)/2 primeras observaciones de la variable Yt si T es un número impar, o a la media de las T/2 primeras observaciones de Yt si T es par.

* Actualización de predicciones

Si se observa el valor YT+1 es posible actualizar las predicciones, ya que ahora se puede calcular: ST+1 = δ YT+1 + (1- δ) ST = 1(1) ^ + T Y ) 1 ( 1 ^ + T Y ₌ 1(2) ^ + T Y Ejemplo:

Con datos mensuales correspondientes a la variable tipo de interés de los descubiertos en cuenta corriente aplicados por las entidades de crédito para el periodo 2008:01-2008:11.

a) Obtenga predicciones para enero y febrero del 2009.

Alpha: δ = 0.1780 *Mean: S2008:11= 20.97048 Predicciones: 97048 . 20 ) 2 ( 11 : 2008 ^ = Tipo y ₂₀₀₈_:₁₁(3) 20.97048 ^ = Tipo 20.76 20.80 20.84 20.88 20.92 20.96 21.00 21.04 2008M01 2008M04 2008M07 2008M10 TIPO Sample: 2008M01 2008M11 Included observations: 11 Method: Single Exponential Original Series: TIPO Forecast Series: TIPOSM

Parameters: Alpha 0.1780

Sum of Squared Residuals 0.067904

(28)

b) Si en diciembre del 2008 el tipo de interés es del 20,47% actualice la predicción para el siguiente mes. S2008:12 = 0.1780 * Tipo2008:12 + (1-0.1780) * S2008:11= 20.88 88 . 20 ) 1 ( 12 : 2008 ^ = Tipo .

2.2.2. Alisado exponencial doble (Método de Brown).

En este caso se supone que la variable presenta tendencia lineal y carece de estacionalidad, es decir, el modelo teórico correspondiente es:

Yt = β1 + β2 t + ut y la ecuación de predicción es: ( )

^ m t Y = at + bt * m donde: at = 2 St’_{– St’’} bt = [δ/(1- δ)] (St’_{– St’’)} S’t=δYt+(1-δ) S’t-1 S’’t=δS’t+(1-δ) S’’t-1

El proceso de predicción es el siguiente:

a) Con los datos correspondientes a la variable Y, se genera los valores correspondientes a S’t, S’’t, at y bt:

t Yt S’t S’’t at bt 1 2 . . . T Y1 Y2 . . . YT S’1=δY1+(1-δ) S’0 S’2=δY2+(1-δ) S’1 . . . S’T=δYT+(1-δ) S’T-1 S’’1=δ S’1+(1-δ) S’’0 S’’2=δ S’2+(1-δ) S’’1 . . . S’’T=δ S’T+(1-δ) S’’T-1 a1=2 S1’_{– S1’’} a2=2 S2’_{– S2’’} . . . aT=2 ST’_{– ST’’} b1= [δ/(1- δ)] (S1’_{– S1’’)} b2= [δ/(1- δ)] (S2’_{– S2’’)} . . . bT= [δ/(1- δ)] (ST’_{– ST’’)}

b) Posteriormente las predicciones de la variable Y con información hasta T, se obtendrían de la siguiente forma: (1) ^ T Y = aT + bT *1; (2) ^ T Y = aT + bT *2;...; ( ) ^ m YT = aT + bT *m

b) Si se observa el valor para Yt+1, se actualizarían las predicciones de la siguiente forma: S’T+1= δYT+1+(1-δ) S’T S’’T+1= δ S’T+1+(1-δ) S’’T aT+1=2 S’T+1 – S’’T+1 bT+1= [δ/(1- δ)] (S’T+1 – S’’T+1) ) 1 ( 1 ^ + T Y = aT+1 + bT+1 *1; 1(2) ^ + T Y = aT+1 + bT+1 *2;...; 1( ) ^ m YT+ = aT+1 + bT+1 *m

Al inicio del proceso de predicciones es necesario nuevamente fijar unos valores iniciales de S’0 y S’’0. Las alternativas que se pueden seguir son las siguientes:

(29)

b) S’0 = S’’0 =

− Y

c) Estimar el modelo: Yt = β1 + β2 t + ut, y utilizar los parámetros estimados ^ 1 β y ^ 2 β , como a0 y b0, respectivamente. Ejemplo: Sample: 1995 2009 Included observations: 15 Method: Double Exponential Original Series: CONSUMO Forecast Series: CONSUMSM

End of Period Levels: Mean 819.2061

Trend -14.92030

Obtenga predicciones del consumo para el periodo 2010-2011: Alpha: δ = 0.9990 Mean: a2009 = 819,2061 Trend: b2009 =-14,92030 1 * 2009 2009 ^ ) 1 ( 2009 ^ 2010 Consumo a b Consumo = = + = 804,2858 * 109 € 2 * 2009 2009 ^ ) 2 ( 2009 ^ 2011 Consumo a b Consumo = = + = 789,3655 * 109 €

2.2.3. Método de Holt-Winters sin estacionalidad. Es un método aplicable a modelos del tipo:

Yt = β1 + β2 t + ut y la ecuación de predicción es: ( )

^

m

YT = at + bt * m, donde: at = δ1Yt + (1- δ1) (at-1 + bt-1)

bt = δ2 (at –at-1) + (1- δ2) bt-1

Los valores iniciales a0 y b0, se pueden obtener estimando por MCO: Yt = β1 + β2 t + ut Para actualizar las predicciones:

300 400 500 600 700 800 900 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 CONSUMO

(30)

aT+1 = δ1YT+1 + (1- δ1) (aT + bT) bT+1 = δ2 (aT+1 –aT-1) + (1- δ2) bT ) 1 ( 1 ^ + T Y = aT+1 + bT+1 *1 Ejemplo: Sample: 1995 2009 Included observations: 15

Method: Holt-Winters No Seasonal Original Series: CONSUMO Forecast Series: CONSUMSM

Beta 1.0000

End of Period Levels: Mean 819.2060

Trend -15.02300

Obtenga predicciones del consumo para el periodo 2010-2011: Alpha: δ1 = 1 δ2 = 1 Mean: a2009 = 819,2060 Trend: b2009 =-15,02300 1 * 2009 2009 ^ ) 1 ( 2009 ^ 2010 Consumo a b Consumo = = + = 804,183* 109_€ 2 * 2009 2009 ^ ) 2 ( 2009 ^ 2011 Consumo a b Consumo = = + _{= 789.16* 10}9_€

2.2.4. Método de Holt-Winters con estacionalidad.

Este método se aplica cuando la variable tiene tendencia lineal y estacionalidad: (1) Hipótesis multiplicativa: Yt = (β1 + β2 t) * Et + ut

(2) Hipótesis aditiva: Yt = (β1 + β2 t) + Et + ut

En este método se proponen tres ecuaciones de alisado, cuyas expresiones son las siguientes, según se suponga una hipótesis multiplicativa o aditiva:

(1) Hipótesis multiplicativa:

at = δ1(Yt /Et-L)+ (1- δ1) (at-1 + bt-1) bt = δ2 (at –at-1) + (1- δ2) bt-1 Et = δ3 (Yt /at) + (1- δ3) Et-L

(*Nota : L es el número de periodos dentro del año. Si los datos son mensuales L=12 y si son trimestrales L=4).

La ecuación de predicción es: ) ( ^ m t Y _{= (at + bt * m) * Et+m-L} (2) Hipótesis aditiva:

at = δ1(Yt -Et-L)+ (1- δ1) (at-1 + bt-1) bt = δ2 (at –at-1) + (1- δ2) bt-1

(31)

Et = δ3 (Yt - at) + (1- δ3) Et-L La ecuación de predicción es:

) ( ^ m t Y _{= (at + bt * m) + Et+m-L} Ejemplo:

Utilizando la variable correspondiente al número de viajeros para el periodo muestral 2008:06-2012:06:

a) Indique qué métodos de alisado exponencial se pueden utilizar.

• Método de Holt Winters con estacionalidad: Hipótesis aditiva.

• Método de Holt Winters con estacionalidad: Hipótesis multiplicativa.

b) Obtenga predicciones para el periodo 2012:06-2012:12, con la información que se le proporciona:

• Hipótesis multiplicativa:

Method: Holt-Winters Multiplicative Seasonal Original Series: VIAJEROS

Forecast Series: VIAJERSM

Beta 0.0000

Gamma 0.0000

Sum of Squared Residuals 1.03E+12

End of Period Levels: Mean 7029727.

Trend 13024.58 Seasonals: 2011M07 1.386098 2011M08 1.480794 2011M09 1.237784 2011M10 1.084036 2011M11 0.716772 2011M12 0.661782 2012M01 0.566573 2012M02 0.683435 2012M03 0.827159 2012M04 1.016477 2012M05 1.119982 2012M06 1.219107 3,000,000 4,000,000 5,000,000 6,000,000 7,000,000 8,000,000 9,000,000 10,000,000 11,000,000

II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II

2008 2009 2010 2011 2012

(32)

Mean: a2012:06= 7029727 Trend: b2012:06 = 13024.58

Seasonals: E2011:07= 1.386098,...., E2012:06=1.219107

) 1 ( 06 . 2012 ^

Y = (a2012.06 + b2012.06 * 1) * E2011.07 = 9761944 viajeros

) 2 ( 06 . 2012 ^

Y = (a2012.06 + b2012.06 * 2) * E2011.08 = 10448151 viajeros . . . • Hipótesis aditiva: Sample: 2008M06 2012M06 Included observations: 49

Method: Holt-Winters Additive Seasonal Original Series: VIAJEROS

Forecast Series: VIAJERSM

Beta 0.0000

Gamma 0.0000

Sum of Squared Residuals 1.43E+12

End of Period Levels: Mean 7071203.

Trend 13024.58 Seasonals: 2011M07 2613732. 2011M08 3255197. 2011M09 1618088. 2011M10 579182.0 2011M11 -1919117. 2011M12 -2295493. 2012M01 -2947705. 2012M02 -2156083. 2012M03 -1177500. 2012M04 121170.5 2012M05 825567.7 2012M06 1482961. Mean: a2012:06= 7071203 Trend: b2012:06 = 13024.58

Seasonals: E2011:07= 2613732,...., E2012:06= 1482961

) 1 ( 06 . 2012 ^

Y = (a2012.06 + b2012.06 * 1) + E2011.07 = 9697960 viajeros

) 2 ( 06 . 2012 ^

Y = (a2012.06 + b2012.06 * 2) + E2011.08 = 10352449 viajeros .

. .

(33)

c) Interprete los valores de los parámetros beta y gamma obtenidos para la hipótesis multiplicativa y la aditiva.

• Hipótesis multiplicativa:

bt = δ2 (at –at-1) + (1- δ2) bt-1; δ2 = 0, bt = bt-1 Et = δ3 (Yt /at) + (1- δ3) Et-L ; δ3 = 0, Et = Et-L

• Hipótesis aditiva:

bt = δ2 (at –at-1) + (1- δ2) bt-1; δ2 = 0, bt = bt-1 Et = δ3 (Yt-at) + (1- δ3) Et-L ; δ3 = 0 ; Et = Et-L

d) Señale el modelo de alisado que realice mejores predicciones. Y

• Elección del mejor método RECMHW_Hipótesis mulltiplicativa=145049.5 RECMHW_Hipótesis aditiva= 171093.7

(34)

Tema 3. Modelos estocásticos de series temporales. 3.1. Introducción.

El objetivo de este tema es establecer las bases teóricas para poder realizar predicciones bajo un enfoque estocástico de las series temporales. Bajo esta filosofía de modelización, la serie temporal es considerada como la realización de un proceso estocástico. Un proceso estocástico se expresa como

{ }

Y_t ,t=1,2,..., y se define como una colección de variables aleatorias ordenadas de acuerdo con el parámetro tiempo:

- Variables aleatorias: Y1, Y2,..., Yt,...

De esta forma, una serie temporal es una colección de observaciones muestrales, cada una correspondiente a una variable del proceso:

- Realización: Y1*, Y2*,...,Yt*,...

Cada una de las variables Yt que configuran un proceso estocástico tendrá su propia función de distribución con sus correspondientes momentos (media, varianza, etc.). Asimismo, cada par de esas variables tendrán su correspondiente función de distribución conjunta y sus funciones de distribución marginales. Esto mismo ocurrirá, ya no para cada par de variables, sino para conjuntos más amplios de las mismas. De esta forma, para caracterizar un proceso estocástico deberíamos especificar las funciones de

distribución conjunta de cualquier conjunto de variables: cualesquiera que fueran los valores de (t1, t2,....tm) y cualquiera que fuera el valor de "m".

Habitualmente, conocer esas funciones de distribución resulta complejo de forma que, para caracterizar un proceso estocástico, basta con especificar la media y la varianza para cada Yt y la covarianza para variables referidas a distintos valores de t:

a) Esperanza matemática: µt = E(Yt)

E(Y1), E(Y2), ..., E(Yt),... b) Función de autocovarianza:

γt,t+k = cov (Yt, Yt+k) = E[(Yt- µt) (Yt+k- µt+k)] cuando t=s se obtiene la varianza:

γt,t = Var (Yt) = E[(Yt- µt)2_]

A partir de cov (Yt, Yt+k), Var (Yt) y Var (Yt+k) se obtiene la función de autocorrelación simple: ρt,t+k = ) ( ) ( ) , cov( k t Y Var t Y Var k t Y t Y + + • Estacionariedad y ergodicidad

Para poder hacer inferencia sobre un proceso estocástico, a partir de una realización del mismo, es necesario que éste cumpla las propiedades de estacionariedad y ergodicidad.

(35)

a) Estacionariedad.

Con respecto a la estacionariedad, ésta puede ser de dos tipos: estricta y amplia. Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto o fuerte, si los vectores [Yt, Yt+1, Yt+2,..., Yt+k] y [Yt+m, Yt+m+1,..., Yt+m+k] poseen la misma función de distribución independientemente de t, k y m, es decir: F [Yt, Yt+1, Yt+2,..., Yt+k] = F [Yt+m, Yt+m+1,..., Yt+m+k]

Ejemplo : F [Y2, Y3, Y4] = F [Y6, Y7, Y8], donde t=2, k=2 y m=4

Por otro lado, un proceso es estacionario en sentido amplio o débilmente estacionario cuando se verifica que:

a) µt = µ [Estacionariedad en media o débil de 1er_orden] b) γt,t+k= γk [Estacionariedad en covarianza o débil de 2º orden] Ej. cov (Y2, Y6) = cov (Y7, Y11)= γ4

c) La varianza es finita y constante a lo largo del tiempo:

γ0 = Var(Yt) = E[(Yt- µ)2_{]= σ}2_{= cov (Yt,Yt), para todo t. [Estacionariedad en varianza]} La función de autocorrelación simple en estos procesos estacionarios es:

ρk= ) ( ) ( ) , cov( 0 t t k k t t k Y Var Y Var Y Y + + = γ γ

La representación gráfica de ρk se denomina correlograma.

La estacionariedad en sentido estricto garantiza la estacionariedad en sentido amplio, pero no a la inversa.

b) Ergodicidad.

La ergodicidad es una propiedad necesaria para obtener estimaciones consistentes de los momentos a partir de una realización de una serie temporal. Una condición necesaria, aunque no suficiente es que: 0 lim = ∞ → k k ρ

3.2. Modelos estacionarios lineales: ARMA (p,q). 3.2.1. Modelos autorregresivos de orden p: AR(p).

Los modelos autorregresivos de orden p se definen como:

Yt = δ + φ1Yt−1 +...+φpYt−p +εt, donde los parámetros φi y δ son constantes y εtes

ruido blanco es decir, εt~ N(0,σ2ε) y cov (εt,εs) = 0, y está incorrelacionado con Yt-i para todo i finito. Utilizando el operador L: (1-φ1L-...-φpLp_{) Yt = δ +} t ε Casos particulares: • Modelo AR(1)

Un modelo AR(1) queda definido como:

t t

t Y

Y =δ +φ ₋₁+ε

Para que el proceso sea estacionario en sentido amplio se requiere que |φ |<1. Si ocurre esto: (1- φ L)Yt =δ+εt

(36)

Yt = 1 1 1− + − = t L L φ ε φ δ • E(Yt) = E(δ +φδ+...)

• Var (Yt) = Var(

1 φ

δ

− L finita para todo t.

• Función de autocovarianza:

Para calcular esta función supongamos que AR(1) se transforma en: Y_t =φY

)] )( [( − ₋ − = = t t k k E Y µ Y µ E γ

(Nota: Aquí se utiliza la no autocorrelación de

• Función de autocorrelación simple:

k k k φρ φ ρ ρ = − = −2 = = 2 1 ... Si 0<φ₁ <1 entonces: Si −1<φ₁ <0 entonces: • Modelo AR(2):

Un modelo AR(2) se define como:

Las condiciones de esta

o bien que las raíces de la ecuación:

Notas de

Antonio Caparrós Ruiz y Oscar D. Marcenaro

... 1 1 2 2 1 1 + + + + − t t− t− L ε φε φ ε φ δ ... ) ( ) ( ) ( ...)+E ε_t +φE ε_t₋₁ +φ2Eε_t₋₂ + = φ δ −

1 = µ, constante para todo t. 1 2 ₍ ₎ _... ) ( ) 1 ( ) 1 φ ε φ ε ε φ ε ₌ ₊ ₊ ₌ − = − + t t Var t Var t₋ L Var L Función de autocovarianza:

Para calcular esta función supongamos que

δ

=0, lo que provoca que µ=0, entonces el modelo t

t

Y₋₁+ε . La función de autocovarianza es: 1 1 1 ) ( ) ( ) (Y_tY_t₋_k =E Y_t₋Y_t₋_k +E _tY_t₋_k = _k₋ E φ ε φγ

(Nota: Aquí se utiliza la no autocorrelación de εt con Yt−k).

Función de autocorrelación simple:

k

k_ρ _φ

φ 0 = . La representación gráfica de ρkse denomina correlograma:

Un modelo AR(2) se define como:

Yt=φ1Yt−1+φ2Yt−2 +εt (1-φL−φ L )Yt =δ +εt

2 2 1 Las condiciones de estacionariedad son:

2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 < < − < < − < − < + φ φ φ φ φ φ

o bien que las raíces de la ecuación:

, constante para todo t.

2 2 1 φ σε − = , constante y

, lo que provoca que µ=0, entonces el modelo

(37)

caigan dentro del círculo unidad. Si las raíces son complejas (a+bi), se exige que: Si se cumplen las condiciones de estacionariedad:

• E(Yt) = 1 1 φ φ δ − − • Función de autocovarianza Suponiendo nuevamente, sin pé

( ) ( _t _t _k ₁ _t ₁ _t k =E YY− =EφY−Y γ para k=0, γ0 =φ1γ1+φ2γ para k>0, γk =φ1γk−1+φ2

• Función de autocorrelación simple: 2 2 1 1 − + − = k k k φ ρ φ ρ ρ ,

Representación gráfica de la Función de autocorrelación simple (FAS):

Correlogramas: A partir de ρk =φ1ρk−             =       2 1 1 1 2 1 1 1 φ φ ρ ρ ρ ρ

. Este sistema recibe el nombre

ecuaciones suministran un procedimiento para obtener los coeficientes del modelo AR(2) a partir de los coeficientes de correlación lineal:

Notas de

λ2_- _- ₀ 2 1λ φ = φ 2 4 2 2 2 1 1 φ φ φ λ + − + =

caigan dentro del círculo unidad. Si las raíces son complejas (a+bi), se exige que: las condiciones de estacionariedad:

2

φ

Función de autocovarianza

Suponiendo nuevamente, sin pérdida de generalidad, que µ=0:

) ( ) ( ) ₂ _t ₂ _t _k _t _t _k ₁ _k ₁ ₂ _k ₂ k t− +Eφ Y− Y− +E εY− =φγ − +φ γ − +E 2 γ +σ2_ε 2 2γk− de autocorrelación simple: para k>0.

Representación gráfica de la Función de autocorrelación simple (FAS):

2 2

1 −

− +φ ρk , si k=1 y k=2:

. Este sistema recibe el nombre de ecuaciones de Yule

ecuaciones suministran un procedimiento para obtener los coeficientes del modelo AR(2) a partir de los coeficientes de correlación lineal:

caigan dentro del círculo unidad. Si las raíces son complejas (a+bi), se exige que: a2 +b2 <1.

) ( _tY_t _k E ε ₋

de ecuaciones de Yule-Walker. Estas ecuaciones suministran un procedimiento para obtener los coeficientes del modelo AR(2) a partir de

(38)

Como se ha podido comprobar, el correlograma de un modelo

pueden ser muy parecidos en algunos casos. Por ello, con el objeto de la posterior identificación del modelo subyacente tras los datos, se presenta la función de autocorrelación parcial.

• Función de autocorrelación parcial:

El coeficiente de correlación parcial de orden k:

eliminando el efecto de los valores intermedios de Y sobre dicha correlación, es decir, sin el efecto de los retardos intermedios: Y

modelo AR(p), estaría compuesta por “p” coeficientes que se obtendría de la siguiente forma: 1)

φ

1,(1), procedende de Y 2)

φ

2,(2), procedente de . . . p) φp, p( ), procedente de Y En resumen para un modelo AR(1):

Y para un modelo AR(2):

fas

Notas de

            ==       − 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ρ ρ ρ ρ φ φ

Como se ha podido comprobar, el correlograma de un modelo AR(1) y un modelo AR(2) pueden ser muy parecidos en algunos casos. Por ello, con el objeto de la posterior identificación del modelo subyacente tras los datos, se presenta la función de autocorrelación parcial.

Función de autocorrelación parcial:

ciente de correlación parcial de orden k: ρ*_k,calcula la correlación entre Y

eliminando el efecto de los valores intermedios de Y sobre dicha correlación, es decir, sin el efecto de los retardos intermedios: Yt-1, Yt-2, ..., Yt-k+1. La función de autocorrelación parcial (FAP) de un modelo AR(p), estaría compuesta por “p” coeficientes que se obtendría de la siguiente forma:

, procedende de Yt = δ +φ1,(1)Yt−1+εt.

, procedente de Yt = δ +φ1,(2)Yt−1+φ2,(2)Yt−2+εt

, procedente de Yt = δ +φ1,(p)Yt−1+...+φp,(p)Yt−p+εt En resumen para un modelo AR(1):

Y para un modelo AR(2):

fap

AR(1) y un modelo AR(2) pueden ser muy parecidos en algunos casos. Por ello, con el objeto de la posterior identificación del modelo subyacente tras los datos, se presenta la función de autocorrelación parcial.

calcula la correlación entre Yt y Yt-k eliminando el efecto de los valores intermedios de Y sobre dicha correlación, es decir, sin el efecto . La función de autocorrelación parcial (FAP) de un modelo AR(p), estaría compuesta por “p” coeficientes que se obtendría de la siguiente forma:

(39)

3.2.2 Modelos de medias móviles.

Los modelos de medias móviles son por definición estacionarios y se definen como: Yt = µ+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-...- θqεt-q , MA(q) Yt = µ+(1-θ1L -θ2L2_{-...- θqL}q_{) εt} Casos particulares: • Modelo MA(1): Yt = µ+εt-θεt-1, MA(1) Yt = µ+(1-θL) εt ** E(Yt)= µ

** Función de autocovarizana (suponiendo que µ=0): k

γ =cov (Yt,Yt-k) = E(Yt*Yt-k) = E[ (εt-θεt-1) (εt-k-θεt-k-1)] Para k=0:

0

γ =E(Yt*Yt) = E[ (εt-θεt-1) (εt-θεt-1)] = (1+ θ2_{) σε}2 Para k=1:

(40)

1

γ =cov (Yt,Yt-1) = E(Yt*Yt-1) = E[ (εt-θεt-1) (εt-1-θεt-2)] = - θσε2 Para k>1: γk=0.

** Función de autocorrelación simple: ρ1 = -θ / (1+ θ2_{); ρk=0 si k>1.}

Ejemplo:

Los modelos de medias móviles deben de cumplir la condición de invertibilidad, que implica que puedan transformarse en un modelo AR. En el caso del modelo MA(1), la condición de invertibilidad es: |θ|<1. Si esto ocurre:

Yt = µ + (1- θL) εt Yt/(1- θL) = µ + εt

Yt+ θ Yt-1+ θ2_{Yt-2 + ... = µ/(1- θ) + εt} Yt = µ/(1- θ) -θ Yt-1- θ2_{Yt-2 - ...+ εt}

De esta forma el modelo MA(1) se ha transformado en un AR(∞).

La condición de invertibilidad establece que este proceso AR de orden infinito tiene pesos que van decreciendo al ir tomándose retardos adicionales. La no invertibilidad significa, por el contrario, que en esas circunstancias el proceso tiene pesos que van creciendo, incluso de forma explosiva, lo cual representa una característica no deseable y anti-intuitiva en una serie temporal.

La FAP de un proceso MA(1) invertible tiene infinitos valores distintos de cero, que van convergiendo a cero.

Ejemplo:

(41)

* Modelo MA (2):

Yt = µ+εt-θ1εt-1-θ2εt-2, MA(2) Yt = µ+(1-θ1L-θ22_{L) εt} ** E(Yt)= µ

** Función de autocovarianza (suponiendo que µ=0): k

γ =cov (Yt,Yt-k) = E(Yt*Yt-k) = E[ (εt-θ1εt-1-θ2εt-2) (εt-k-θ1εt-k-1-θ2εt-k-2)] . Para k=0:

0

γ =cov (Yt,Yt) = E(Yt*Yt) = (1+ θ12_{+ θ2}2_{) σε}2_.

Para k=1: γ1=cov (Yt,Yt-1) = E(Yt*Yt-1) = E[(εt-θ1εt-1-θ2εt-2) (εt-1-θ1εt-2-θ2εt-3)] = = (- θ1+ θ1 θ2)σε2_.

Para k=2: γ2=(- θ2)σε2. Para k>2: γk=0.

** Función de autocorrelación simple: ρ1 = (- θ1+ θ1 θ2)/ (1+ θ12_{+ θ2}2₎ ρ2 = (- θ2)/ (1+ θ12_{+ θ2}2₎ ρk=0 si k>2.

** Condición de invertibilidad:

Para que un MA(2) sea invertible se ha de cumplir que la raíces de la ecuación:

0

2 1

2 ₋ϑ λ₋ϑ ₌

λ , caigan dentro del círculo unidad.

** Ejemplos de funciones de autocorrelación simple y parcial para modelos MA(2)