Raiz positiva
Tema 6: Especificación y Estimación de MRD 6.1 Introducción.
6.5. Estimación de modelos dinámicos autorregresivos.
6.5.2. Términos de error (residuos) autocorrelacionados Si en el modelo expresado en forma de retardo distribuido:
⋯
40 Es sinónimo a afirmar que los términos de perturbación son regulares.
41 Este sesgo disminuiría si se incluyera en el modelo una variable exógena significativa (X), puesto que entonces
la influencia de sobre sería menor.
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el término de perturbación no estuviera autocorrelacionado43, su correspondiente forma autorregresiva ε1 ()5 %() $ estaría autocorrelacionada puesto que:
à ε1, ε1@ Ã` 5 " @ 5 " b 5"Ã Ê 0
Esta presencia de autocorrelación en la forma autorregresiva trae aparejada la no optimalidad del estimador por MCO, puesto que la varianza no será mínima, además puesto el sesgo no desaparecerá asintóticamente44:
} lim°⟶ Ñ Ê , además lim
°→∞ÕÖ ‚ÍÎÏЃ Ê0 ⇒ la estimación por MCO es inconsistente.
Esa inconsistencia invalidará los contrastes habituales que se realizan sobre los parámetros del modelo (t y F).
Es importante subrayar que el estimador MCO es inconsistente en el contexto de un modelo con variable dependiente retardada y errores autocorrelacionados solamente si el término de error (ut) sigue un modelo AR(1) estable.
¿Cómo proceder para obtener estimaciones consistentes?
Podemos utilizar MVI (para superar los problemas de derivados de la estocasticidad - aleatoriedad- de los regresores) y MCG para superar los problemas de ineficiencia45 debidos a
la presencia de autocorrelación): Una primera opción, cuando existen variables explicativas endógenas (retardadas), consiste en recurrir a la obtención de estimadores consistentes por el método de Variables Instrumentales (VI)46, o su versión de MC2E.
Este método consiste en buscar variables que sirvan de instrumento para reemplazar variables que están correlacionadas con el término de perturbación. De esta forma lo que pretendemos es sustituir la variable “problemática” con otra (o una combinación de otras) que esté muy relacionada con ella pero que a su vez sea independiente (no esté correlacionada) del término de perturbación. Esta forma de proceder en la obtención de los estimadores tiene como inconveniente que si bien los estimadores que obtengamos son insesgados, asintóticamente no son eficientes, puesto que, en el caso en el que los términos de error (residuos) están autocorrelacionados, la estimación por variables instrumentales se centra en resolver los problemas de colinealidad entre los regresores y el término de error.
En términos algebraicos, el problema que pretendemos resolver es el siguiente: }fÌF`1r ² b Ê 0
Teniendo en cuenta que si estimamos por variables instrumentales la matriz de regresores
Xt=[1, Xt,Yt-1] se reemplaza por Zt=[1, Xt, Zt].
43 En la mayoría de las modelizaciones económicas los términos de error están autocorrelacionados.
44 Respecto al coeficiente de determinación (R2), éste sigue manteniendo su validez a pesar de la existencia de
autocorrelación en los residuos, siempre que los datos sean estacionarios y débilmente dependientes. Esto es así porque en series temporales con datos estacionarios (y débilmente dependientes) las varianzas de los errores y la variable dependiente no cambian a lo largo del tiempo.
45 Recuérdese que un estimador es más eficiente que otro cuando tiene menor varianza que ese otro, y por tanto
es más preciso.
46 El estimador por Variables Instrumentales es un caso particular del estimador por Mínimos Cuadrados en 2
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El estimador mediante variables instrumentales del vector de parámetros del modelo será ìÑíî ï² ï′„ -que será un estimador consistente-, donde Z incluye a las variables que actúan
como instrumento de la/s variable/s del modelo original47. Por analogía con lo que vimos en la estimación por MCO, el estimador del vector de parámetros ìÑ se distribuirá asintóticamente como una normal:
ìÑîí°→ðññò ˆ`ì, ‰Š` ï² ² ï²ï ï² b b
Ese vector estimado será consistente si la matriz de variables instrumentales cumple que: lim°→ ó′Š° 0 y lim°→ ó′L° 0
¿Cómo proceder si tenemos más de un instrumento para un regresor estocástico?
En este caso recurriremos a la estimación por Mínimos Cuadrados en 2 Etapas (MC2E). En la primera tendremos que estimar (por MCO) la variable en función de las variables instrumentales (y las variables predeterminadas del modelo original)48.
En la segunda etapa incluiremos el valor estimado (ajustado) para en la ecuación original, lo que nos permitirá obtener estimaciones consistentes (por MCO) de la ecuación original:
1) ô õ̂ ÷̂ ï ÷̂ ï
2) " ô ε1
Esta metodología se puede aplicar tanto a modelos tipo Koyck, como Jorgenson y, en general, cualquier modelo dinámico autorregresivo.
Este procedimiento no ha resuelto el problema de la autocorrelación de los residuos. No obstante partiendo del estimador por VI y aplicando cualquiera de los procedimientos iterativos que veremos más adelante podemos resolver esta cuestión; de esta forma podremos corregir la falta de eficiencia del estimador por VI.
Si estamos en presencia de autocorrelación, ¿cómo estimar ese modelo si Ž se comporta siguiendo el
esquema AR(1)?
Este procedimiento no es más que una forma de corregir los problemas de autocorrelación en el contexto de que los términos de perturbación sigan un esquema AR(1). Para aplicarlo supongamos que partimos del modelo:
t t t t t t t X Y u u u Y =α+β0 +λ −1+ , =ρ −1+ε (1) se retarda el modelo un periodo, se multiplica por ρ y se resta al anterior, resultando:
t t t t t t X X Y Y Y =α(1−ρ)+β0( −ρ −1)+λ( −1−ρ −2)+ε (2) Este modelo puede escribirse como:
t t t t t t t Y X Y Y X Y −λ − −β −α)=ρ( − −λ − −β − −α)+ε ( 1 0 1 2 0 1 (3)
47 Este vector de características será al menos tan grande (en número de variables) como X. Recordemos que las
condiciones que debe de cumplir el vector Z son: no sea ninguna de de las que están en el modelo, estar correlacionado con la variable a la que sustituye y independiente de u.
48
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El método iternativo de Hatanaka se inicia partiendo de una estimación consistente de los parámetros , , ". Por ejemplo, se parte de las estimacones obtenidas por VI. La primera estimación se inicia sustituyendo , , ". por estimaciones de VI y se estima a continuación ø por MCO, el valor de ø estimado se utiliza en el modelo (2) para volver a estimar , , ", que se vuelven a sustituir en (3) para volver a estimar ø. Si la diferencia entre el nuevo ø estimado, øù, y el anterior, øù, es pequeña, |øù 5 øù|<0,001, se detiene el proceso y nos quedamos con las últimas estimaciones de , , ". Los estimadores obtenidos con este procedimiento son estimadores consistentes y más eficientes que los obtenidos por VI.
¿Cómo estimar ese modelo si Ž se comporta siguiendo el esquema MA(1)?.
Para resolver esta cuestión una primera vía es actuar como en el caso en el que el esquema seguido es un AR(1), o bien recurrir al procedimiento de Zellner-Geisel (1970), basado en incorporar al procedimiento de estimación el hecho de que el término de perturbación sigue un esquema MA(1), con el objetivo de que se produzca un aumento en la eficiencia asintótica del estimador. Veamos en qué consiste el procedimiento de Zellner-Geisel:
Definamos una variable: ×) #)5 (). Por tanto:
×)5%×) $ #)5 () 5% #) $5 () $
Partiendo de un modelo tipo Koyck: " , tenemos:
ú 5"ú 5 5" 5 = " 5 " 5 5" " ⇒ ú "ú ⇒ ú " "ú " " ú = … ú " … " H H "Hú H= ïH "Hú H⇒ #) ûü %ü×) ü ()
Si se conoce el valor de % se puede calcular ûü=∑ %ü[ ] ü') ü y %ü, y entonces podríamos estimar por MCO sin que ello implicara ninguna limitación. Para conocer el valor de " se puede recurrir al procedimiento de Hildreth-Lu, es decir, seleccionar el valor de % entre una parilla de
posible valores (-0,9, -0.8,...,0.8,0.9) que produce un menor SBIC o AIC.
Daremos por resuelto el problema cuando los tests de autocorrelación nos permitan rechazar la presencia de autocorrelación.
Si aplicando estos procedimientos no conseguimos corregir los problemas de autocorrelación, debemos plantearnos la posibilidad de que el problema no reside en la autocorrelación de los residuos sino en una especificación inadecuada del modelo dinámico.
• MC no lineales (ARMAX):
En un modelo tipo Jorgenson:
(6.2.2.1)
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Se aplica la misma estructura de retardos a la variables endógena (#)) que al término de perturbación. Una forma de flexibilizar el modelo es permitir que el término de error tenga una estructura de retardos propia:
- ’) • ¬ ') Ï ()
La anterior expresión se conoce como modelo ARMAX, que de forma detallada se puede expresar como:
⋯ ° ° ⋯ • •
5 ý 5 ý 5 ⋯ 5 ýH H
Si no incluye regresores ( ) estamos en presencia de un ARMA. En términos generales la notación empleada ARMAX (p, q) indica que el número de términos retardados en la parte AR es “p” (- ’)), y el número de retardos en la parte MA (Ï ()) es “q”.
Si el modelo no incluyera términos de media móvil, podríamos estimar por MCO obteniendo estimaciones consistentes. Pero al existir perturbaciones de media móvil, el modelo se convierte en no
lineal (es no lineal en los parámetros), lo que hará necesario recurrir a Mínimos Cuadrados No Lineales en vez de MCO. Este sistema se resolverá empleando algún tipo de algoritmo de
optimización numérica (Newton-Raphson, Gauss-Newton, Scoring, etc..), puesto que haremos para resolver el problema será maximizar el logaritmo de la función de verosimilitud numericamente. Sus resultados serán estimadores que no son ELIO, aunque si suponemos la normalidad de las perturbaciones obtenemos que el estimador por Mínimos Cuadrados No Lineales (MCNL) presenta las mismas propiedades que el estimador por MV (máxima-verosimilitud). Esto implica que si las
perturbaciones son normales el estimador MCNL es consistente, asintóticamente normal y asintóticamente eficiente. En otras palabras, una opción para corregir los problemas de autocorrelación es la de asumir un esquema ARMAX (modelos dinámicos autorregresivos con retardos distribuidos) en los que la modelización ARMA implica tener que recurrir a MCNL.
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Tema 7: Modelos multiecuacionales.