Conocimientos informales y formales

Los conocimientos matemáticos que los niños desarrollan a lo largo de la vida no dependen solo de lo que han aprendido en la escuela. El Principio de Aprendizaje del NCTM afirma que los niños desarrollan ideas matemáticas de forma natural a través de sus experiencias cotidianas. Los profesores deben aprovechar estos conocimientos para construir los contenidos matemáticos implícitos en ellos (NCTM, 2003, p. 22). Las conexiones entre contenidos matemáticos diferentes, entre distintos campos, incluso entre las matemáticas y la

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realidad, se apoyan en la relación entre experiencias informales y las matemáticas formales, y son las que dan sentido a estos conocimientos.

La conexión más importante en los primeros aprendizaje matemáticos es la existente entre las matemáticas intuitivas, informales, que los niños han aprendido a través de sus experiencias, y las que están aprendiendo en la escuela (NCTM, 2003, p. 136).

El interés de este trabajo pasa por respetar el desarrollo del pensamiento y el aprendizaje de los niños en su vida diaria, desde sus ideas intuitivas, ayudándoles a establecer conexiones entre el conocimiento informal y el conocimiento formal. Una de las finalidades de la adquisición de las competencias básicas es integrar diferentes aprendizajes, tanto formales como informales (MEC, 2006). Desde la educación matemática interesa buscar tareas que desarrollen en los niños el pensamiento matemático, relacionando el conocimiento informal con los conocimientos formales (MEC, 2007).

La Educación Matemática Realista (RME) sigue un enfoque en el que se utilizan situaciones del mundo real o problemas contextualizados, como inicio del aprendizaje de las matemáticas, y se sigue un proceso de matematización para llegar a estructuras formales matemáticas (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Se apoya en modelos concretos que sirven de mediadores entre lo concreto y lo abstracto. En la RME es muy importante la reinvención guiada donde se anima a los niños a reinventar las matemáticas guiados por el profesor utilizando materiales instruccionales, permitiendo así el desarrollo de la comprensión conceptual (Van Reeuwijf, 2001). Gradualmente, se debería dar la oportunidad a los niños de construir sus representaciones libremente y pasar de estrategias informales, intuitivas con representaciones concretas a estrategias más formales y abstractas de resolución con una instrucción guiada, que permita una matematización progresiva (Freudenthal, 1991). Freudenthal propone dar la oportunidad a los niños de reinventar las matemáticas, ayudándoles a utilizar herramientas o modelos asociados a la actividad matemática. El punto de partida son las situaciones significativas realistas, entendidas como realizables o que el niño pueda imaginar, planteadas en un grupo de trabajo heterogéneo (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003).

Por ejemplo, Van Reeuwijf (2001) comprobó en el caso de resolución de ecuaciones, que empezando con métodos de resolución informales construidos por los alumnos y a través de estrategias pre-formales, se les puede ayudar a llegar a la resolución formal de las ecuaciones, desarrollando una comprensión conceptual sobre ellas. La formalización progresiva en ambientes de aprendizaje en los que los niños reinventan las matemáticas guiados por sus profesores y siguiendo una instrucción con materiales, contribuye al aprendizaje con comprensión (Van Reeuwijf, 2001).

Figura 2.6. Formalización progresiva (Braithwaite y Goldstone, 2013).

El paso de las representaciones fundamentadas25 a las representaciones formales ha sido denominado formalización progresiva (ver Figura 2.6) que describe la instrucción basada en representaciones concretas, como representaciones perceptivas o de contextos reales con

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objetos u otros materiales, para introducir conceptos que más tarde se tratarán con representaciones formales, que pertenecen a sistemas con reglas explícitas como pueden ser los números naturales (Braithwaite y Goldstone, 2013). Una instrucción basada en ambas representaciones, empezando con las representaciones concretas y realizando una transición gradual hacia representaciones formales, podría favorecer el aprendizaje con comprensión de los niños.

En los Estándares del NCTM se indica que “el uso de los símbolos matemáticos debería seguir, no preceder, a otras formas de comunicar ideas matemáticas…. Los profesores ayudan a sus jóvenes alumnos a relacionar su lenguaje ordinario con el lenguaje y los símbolos matemáticos, de manera significativa (NCTM, 2003, p. 135)”, y a “darse cuenta de las semejanzas en las formas de representar situaciones diferentes es un paso importante hacia la abstracción (NCTM, 2003, p. 142)”. Por lo tanto, es importante presentar los contenidos matemáticos con representaciones concretas e intuitivas, antes de su formalización.

En el currículo de la LOMCE (MEC, 2014b, p. 34062) se remarca “la importancia del trabajo práctico y contextualizado, introduciendo la utilización de nociones simbólicas cuando el alumnado muestre una comprensión de los conceptos matemáticos. Se pretende ir de lo práctico y concreto, hasta lo abstracto y formal”. Así mismo, se recomienda el uso de materiales manipulativos para un aprendizaje significativo para trabajar inicialmente los conceptos y procedimientos matemáticos.

En vista de las recomendaciones curriculares, presento teorías de la educación matemáticas que pueden explicar cómo es el desarrollo del pensamiento matemático.

Tall (2013) explica el desarrollo del pensamiento matemático, partiendo de marcos teóricos como Piaget, Bruner, Fischbein, en tres mundos matemáticos. El desarrollo del pensamiento matemático evoluciona a lo largo de etapas de larga duración, comenzando con el inicio del pensamiento matemático basado en la percepción y en la acción, como se puede ver en la Figura 2.7, y evolucionando al desarrollo del lenguaje simbólico, en este caso el lenguaje matemático formal y el razonamiento matemático deductivo.

Tall (2013) parte del concepto de concepción encarnada26 para describir la primera etapa intuitiva, y basada en acciones y la percepción, estableciendo paralelismos con otros autores como se puede ver en la Figura 2.7. Este concepto parte de la idea que todo pensamiento humano se encarna en nuestra experiencia sensorio-motora. El conocimiento matemático comienza con la percepción de las propiedades de los objetos, el conteo y la partición de colecciones, llegando en un nivel de desarrollo estructural más alto, como por ejemplo en propiedades geométricas o el desarrollo operacional más avanzado en la aritmética. Tall (2013) utiliza el término de encarnación conceptual27 para referirse a imágenes mentales que surgen de la interacción de las personas con el mundo que le rodea, y que van convirtiéndose en parte de la imaginación humana.

26 _{Traducción de embodied concept.}

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Figura 2.7. Relación de distintas trabajos del desarrollo del pensamiento matemático (adaptado de Tall, 2013, pp. 6-8).

Tall (2009) da tres formas principales en la que el pensamiento matemático se desarrolla, lo que denomina tres mundos de pensamiento de las matemáticas:

 Un mundo de la realización (conceptual) que comienza con la interacción con objetos del mundo real. El mundo encarnado se basa en la reflexión sobre la percepción y la acción del mundo que nos rodea.

 Un mundo simbólico, que se desarrolla a partir de las acciones humanas encarnadas en formas simbólicas, construyendo lo que Tall demonima proceptos, donde se relacionan procedimientos con conceptos. Tall (2013) explica que los símbolos matemáticos pueden reconocerse como operaciones a realizar y a la vez como conceptos numéricos mentales que se pueden manipular en la mente.

 Un mundo formal axiomático, de las definiciones y la prueba que conduce a la construcción de teorías axiomáticas.

Estos mundos se desarrollan en secuencia, empezando en el mundo encarnado, basado en el desarrollo del pensamiento a través de la percepción física y la acción. La geometría comienza con el juego de los niños con los objetos, reconociendo sus propiedades con los sentidos y describiéndolos, poco a poco con el lenguaje, que se van volviendo más precisas, relacionándolas con el marco formal de la geometría euclidiana (“encarnado formal” en la Figura 2.8). Más tarde, la geometría se generaliza a diferentes formas de la geometría como la no euclidiana, diferencial o topológica (Tall, 2013).

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Figura 2.8. Desarrollo de los mundos de las matemáticas (adaptado de Tall, 2013, pp. 6-8).

El aprendizaje de la aritmética no comienza con las propiedades de los objetos físicos, sino con las acciones realizadas sobre ellos, como el conteo, la agrupación y la partición. Se incluye el uso de material, no solo de objetos en contexto, sino también materiales estructurados como pueden ser los bloques de base 10 para representar los números y las operaciones. En el mundo simbólico o proceptual, a partir de las acciones incorporadas tales como contar, sumar, agrupar y compartir, el niño construye formas simbólicas para el número, suma, producto, división y así sucesivamente, hasta completar la estructura conceptual mental del número y la aritmética (simbólico encarnado en la figura 2.8). A medida que el niño crece, estos dos mundos están disponibles. El mundo encarnado da manifestaciones físicas de conceptos como el número de objetos en una colección o la recta numérica (Tall, 2013). Las propiedades y relaciones observadas en los objetos del mundo encarnado y los proceptos del mundo simbólico-proceptual forman una base para el cambio a la definición axiomática del mundo formal. De hecho, cada una de los tres mundos se centra esencialmente en diferentes elementos, el mundo encarnado se centra en objetos y sus propiedades, el mundo simbólico- proceptual sobre los procesos representados por símbolos (proceptos), el mundo formal sobre propiedades y relaciones deductivas entre ellos, donde todas las propiedades distintas a aquellas asumidas en los axiomas y definiciones deben ser deducidas lógicamente de los axiomas y definiciones en una secuencia de teoremas, que a su vez se pueden juntar para deducir nuevos teoremas (mundo axiomático formal).

En el enfoque de la RME la aritmética comienza trabajándose con situaciones realistas, utilizando el conteo de objetos. Más tarde se introducen materiales estructurados como el rekenrek, agrupaciones de 10 o la banda numérica para realizar las operaciones. Finalmente se llega al cálculo formal, donde los niños recuperan hechos numéricos básicos y realizan los algoritmos de las operaciones numérica (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003; Treffers y Buys, 2001). Así, antes de llegar al cálculo que denominan formal, utilizan el contexto o materiales estructurados, al igual que en mundo encarnado de Tall (2013) o la representaciones concretas de la formalización progresiva (Braithwaite y Goldstone, 2013). En estos marcos teóricos, los niños matematizan, y/o empiezan a usar la matemática formal cuando usan el lenguaje matemático, con su simbología y manipulación. Como he comentado en el capítulo 1, en la revisión de investigaciones del aprendizaje de la aritmética, los niños utilizan estrategias de modelización directa y conteo con ayuda de representaciones con objetos, marcas o secuencias numéricas. Estas representaciones de las cantidades forman parte de estrategias

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informales para resolver situaciones aritméticas, que deben servir de base para los conocimientos aritméticos formales que los niños aprenderán en la escuela como los algoritmos (Carpenter y otros, 1997). Bermejo, Lago y Rodríguez (1998) remarcan la importancia de tener en cuenta los conocimientos informales de los niños y actividades de representación para conseguir un aprendizaje significativo.

Ginsburg y Baroody (2007; adaptación Núñez y Lozano) categorizan el conocimiento matemático en informal o formal. El conocimiento matemático informal se define como aquellas nociones y procedimientos adquiridos a partir de la intuición. Los niños más pequeños poseen algún tipo de sentido numérico que les permite elaborar un conocimiento matemático intuitivo, que favorece el desarrollo del conocimiento informal gracias a sus interacciones, observaciones y reflexiones de su experiencia en el entorno (Baroody, 1997). En este punto indican que el conocimiento informal de Ginsburg y Baroody (2007) se relaciona con el mundo encarnado de Tall (2013) al basarse en la intuición del niño, y considerarse como el desarrollo de esa intuición a través de las interacciones, observaciones y reflexiones de su experiencia en el mundo real.

Inicialmente, los niños utilizan la percepción inmediata de cantidades y, cada vez, los niños van utilizando instrumentos más complejos en situaciones numéricas, como el conteo; son capaces de etiquetar un conjunto con una palabra numeral por la cantidad de elementos que tiene. El conocimiento informal representa una gran elaboración de las matemáticas, pero tiene sus limitaciones prácticas, ya que los procedimientos informales pueden llegar a ser ineficientes (Baroody, 1997). Un ejemplo de esto ocurre en la aritmética, ya que los niños pueden resolver situaciones aritméticas con cantidades pequeñas con estrategias de modelización directa y conteo, pero al aumentar las cantidades, los números empiezan a tener varias cifras y representar cantidades muy grandes que se vuelven difíciles de manejar mediante sus estrategias informales.

El conocimiento matemático formal son los conceptos y procedimientos que el niño aprende en la escuela. Destaca la simbología del lenguaje matemático, convenciones como los hechos numéricos, los algoritmos, los agrupamientos para formas la decena y las propiedades de las operaciones. La investigación apoya que el conocimiento matemático de los niños se desarrolla en función de sus experiencia tanto informales como formales, y más concretamente, el conocimiento formal se construye a partir del conocimiento informal (Ginsburg y Baroody, 2007). La matemática informal, es el paso intermedio entre la matemática intuitiva, limitada e imprecisa el conocimiento intuitivo, y la matemática formal de los símbolos que se trabaja en la escuela (Baroody, 1997).

Ginsburg y Baroody (2007; adaptación Núñez y Lozano) han diseñado un test que evalúa la competencia numérica temprana en los primeros años de escolaridad. Estos autores desglosan en tres etapas las fases del pensamiento matemático numérico. Una primera fase de preconteo, en la que los niños no utilizan palabras, y quizás se basen en imágenes mentales. En esta etapa los niños son capaces de recordar y reproducir una colección de hasta 4 objetos, así como construir el resultado de añadir o quitar una cantidad a otra que han visto previamente, es decir, resuelven problemas sencillos no verbales de suma y resta. Después los niños comienzan una fase en la que utilizan el conteo, procedimiento que van desarrollando y permite trabajar con colecciones más grandes de cuatro elementos y realizan operaciones con ellas. Por último, los niños asimilan representaciones escritas, los símbolos, y las relacionan con sus conocimientos no verbales y basadas en el conteo. En este momento comienza el mundo simbólico-proceptual de Tall (2013).

El test de competencia numérica contiene ítems que evalúan el conocimiento informal e ítems que evalúan el conocimiento formal. Tiene un formato evolutivo por lo que hasta los 7 años

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hay más ítems de conocimientos informales, y después, aumentan los ítems de valoran el conocimiento formal. En la Tabla 2.13 muestro los conocimientos que se consideran informales y los formales.

Tabla 2.13. Descripción general de los tipos de ítems del TEMA3 (Núñez y Lozano, 2009)

Conocimiento informal Conocimiento formal

Numeración: Subitización, usos de

configuraciones como los dedos para representar cantidades, utilizar el conteo. Secuencia de numerales, hasta 5, 10, completan uniendo decenas y unidades “veintiuno”, de 10 en 10, decena siguiente, recitar la secuencia desde cualquier numeral, y hacia atrás.

Leer y escribir números: relacionar los

numerales-palabra con numerales escritos. Identificar y leer numerales escritos.

Decodificar el valor posicional de los números

Comparación de números: desde estrategias

perceptivas, por conteo o por el orden de la secuencia numérica. Ampliar a números de varias cifras apoyándose en bandas numéricas.

Hechos numéricos: recuperación y derivados, uso

de propiedades

Cálculo: cálculo no verbal, estrategias

apoyadas en el conteo, primero con materiales, después sin ellos.

Cálculo: uso de algoritmos y cálculo mental,

como sumar y restar 10, y operar con múltiplos de 10.

Conceptos: regla de cardinalidad, relación

parte-todo

Conceptos: Comprender sistema de numeración

decimales, agrupamiento de 10 y conteo de unidades de distinto orden, algoritmos con llevadas, símbolos escritos y expresiones numéricas de situaciones; propiedades.

En este trabajo pretendo plantear un taller de resolución de problemas aritméticos verbales donde los niños pueden elegir y/o construir el procedimiento de resolución. En los estudios previos, dentro del enfoque de la resolución de problemas, los niños desarrollan estrategias basadas en la modelización directa con objetos y el conteo (Carpenter, Fennema y otros, 1999). Las representaciones que utilizan los niños para resolver los problemas comienzan desde representaciones con materiales manipulativos, objetos, marcas en un papel, hasta llegar a una formalización del lenguaje matemático. En los trabajos de la RME, se propone empezar a resolver situaciones aritméticas con objetos en el contexto, y en un segundo momento, con material estructurado como el rekenrek y la banda numérica (Van den Heuvel- Panhuizen, 2003; Treffers y Buys, 2001). En la formalización progresiva se comienza representando los problemas con Grounded Representations con objetos, materiales o marcas en papel (Braithwaite y Goldstone, 2013). Tall (2013) utiliza el mundo encarnado para tener representaciones significativas en contexto de los conceptos y procedimientos matemáticos.

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Figura 2.9. Las representaciones en los distintos trabajos previos comentados.

Por lo tanto, es importante tener en consideración las representaciones iniciales, concretas e intuitivas de los niños para presentar los contenidos, antes de su formalización. En este sentido, Llach y Alsina (2012) indican que la sintaxis de un sistema representacional, como puede ser el lenguaje matemático, implica gran complejidad y debe ser posterior en el aprendizaje y el desarrollo. Por ejemplo, el aprendizaje de la notación escrita de los numerales conlleva comprender que un signo, dado convencionalmente por la sociedad, representa el cardinal de una colección, lo que conlleva gran dificultad. Y más, cuando las primeras situaciones de cardinalidad se resuelven por correspondencia uno a uno, donde cada objeto se representa por la misma marca. Estos autores aconsejan flexibilidad en las representaciones que utilizan los niños, porque aunque al principio son sistemas figurativos (como dibujos o marcas) se van sustituyendo por representaciones más arbitrarias. Llach y Alsina indican que además, las prácticas informales en el aula, basadas en conteo, correspondencia uno a uno, suma y resta con cantidades pequeñas en situaciones cotidianas, deben utilizarse también en el aula para enlazarlas con las prácticas formales que contribuyen al aprendizaje de la representación formal del sistema de numeración. Las representaciones utilizadas en el conocimiento informal son de tipo manipulativo o gráfico, como colecciones de objetos, configuraciones como pueden ser los dedos de las manos, marcas en un papel, o incluso un material más estructurado como los bloques de base 10. En cambio, las representaciones utilizadas en el conocimiento formal son más simbólicas, utilizando numerales escritos y los signos de las operaciones. La evolución de estas representaciones refleja también la evolución del conocimiento informal al conocimiento formal. En esta tesis, voy a describir las representaciones que utilizan los niños a lo largo de primero de primaria en el taller de resolución de problemas, y su evolución.

Schwartz (1996) representa las cantidades discretas con una terna {x, u, a} donde el x es el número de la medida, u es la unidad con la que se ha medido, y a el atributo que se mide. Puig y Cerdán representan las cantidades como un par ordenado (x, u) en el que x es un número y u una unidad de una magnitud: por ejemplo, 4 canicas, 3,5 kg, 120 km/h” (1988, p. 125). En el caso particular de cantidades discretas, que serán las que utilice en el taller de resolución de problemas, cada cantidad está formada por un número y un tipo de objeto. En algunos trabajos previos, en los que se estudia la representación infantil de cantidades discretas (Alvarado, 2005; El Bouazzaoui, 1982; Hughes, 1987), no se da apenas importancia a este doble aspecto de la cantidad. De Castro y Bosch (en prensa) describe distintos tipos de representaciones de cantidades discretas, considerando las cantidades como un par ordenado {x, o} donde x el número de objetos y o el objeto representado.

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En la Tabla 2.14 puede observarse en las columnas la representación del número, que comienzan con marcas simples, una por cada objeto. Después empiezan a utilizar los numerales pero no con el significado que cada numeral como símbolo indica una cantidad, sino que cada numeral representa a un objeto. Finalmente, utilizan el numeral como etiqueta de la cardinalidad o la palaba-numeral. En las filas, aparece la representación del objeto, que puede no darse, o puede aparecer con un icono o con el sustantivo que describe los objetos.

Tabla 2.14. Tipos de representaciones de cantidades discretas (De Castro, en prensa) Representación del número

Representación

del objeto 1. Icónica

2. Con aspectos icónicos y simbólicos 3. Simbólico (con cifras) 4. Simbólico