Temas tratados en las investigaciones sobre resolución de problemas

Respecto a la temática, presento a continuación una breve descripción de las tendencias más importantes recogidas en las revisiones sobre investigación en resolución de problemas. A principios del siglo XX, el filósofo Dewey reflexiona sobre cómo pensamos las personas cuando resolvemos problemas, y postula que este pensamiento puede ser enseñado y aprendido (Castro, 2002). Partiendo del modelo de Dewey, en el que se describen etapas del pensamiento en la resolución de problemas, los primeros trabajos de Polya estudian el empleo de estrategias heurísticas en la resolución de problemas matemáticos, proponiendo una colección de indicaciones, preguntas y sugerencias para ayudar a los estudiantes en su resolución. Estas indicaciones se agrupan en cuatro fases: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la solución obtenida (Polya, 1957). Estos estudios se centran en correlaciones entre los usos de diferentes estrategias de resolución y el éxito de la solución, buscando la caracterización de los procesos de resolución de problemas y su impacto en el éxito de la resolución, proponiendo un modelo heurístico para resolver problemas de matemáticas con enunciado verbal en el contexto escolar (Schoenfeld, 2007, Santos-Trigo, 2007).

La heurística se encuentra presente en España desde principios del siglo XX en los trabajos de la Institución Libre de Enseñanza, la obra de Puig Adam y la serie de libros de Rey Pastor (Puig, 2008). Castro (2008) afirma que los modelos de Dewey y Polya pudieron influenciar en las propuestas curriculares a partir de la década de 1980 en España, al comenzar a incluir la resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas. Así, décadas más tarde, el Grupo Cero utiliza la resolución de problemas como método de enseñanza, y propone un diseño curricular con el centro de interés en las estrategias de resolución de problemas utilizando herramientas heurísticas.

Autores como Puig y Cerdán plantearon la resolución de problemas con estilo heurístico para producir aprendizaje significativo y dotar de sentido a conceptos, objetos, hechos y técnicas estableciendo relaciones entre ellos. Más tarde, Puig describe un modelo de competencia en resolución de problemas siguiendo ese estilo heurístico y analiza estructuras de varias herramientas heurísticas indicando cómo hacer ese análisis y las actuaciones de los alumnos al aprenderlas (Puig, 2008).

En la década de 1980 se produjo un cambio de enfoque hacia perspectivas más cognitivas del aprendizaje, en la línea que Castro (2008) relaciona con el pensamiento, cómo pensamos cuando resolvemos problemas (Verschaffel, Greer y De Corte, 2007). Lesh y Zawojewski (2007) identifican estos trabajos con investigaciones de pensamiento de nivel superior3 en los que incluyen la metacognición, creencias y disposiciones. Se comienza a indagar sobre el pensamiento matemático, cómo desarrollar formas de razonamientos consistentes con evolución del pensamiento matemático, las diferencias entre estudiantes novatos y expertos al resolver problemas, metacognición, afectividad y creencias que afectan a la resolución de problemas y cómo desarrollar conceptos a través de la resolución de problemas en contextos (Santos-Trigo, 2007; Schoenfeld, 2007).

Schoenfeld (1985) inicialmente documenta aspectos relacionados con el empleo de estrategias heurísticas, indaga sobre la naturaleza del pensamiento matemático, las creencias de los estudiantes y la relevancia de las estrategias cognitivas en la resolución de problemas. Schoenfeld (1992) estudia la influencia de la metacognición, especialmente de la supervisión

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y la autorregulación, y los sistemas de creencias en la configuración de las conductas de los estudiantes al resolver un problema, concluyendo que el papel de las experiencias de las personas con las matemáticas, tanto dentro como fuera del aula, eran determinantes en las creencias de la gente y sus prácticas cuando se dedican a la resolución de problemas. Schoenfeld (1992) concluyó que el modelo heurístico no resultaba exitoso por el uso de grandes listas de heurísticas a las que los alumnos no llegaban a acceder, recomendando desarrollar estrategias para problemas específicos y vincularlas a clases de problemas. En España, también existen trabajos que se apartan del modelo heurístico de Polya, como el de Puig Adam (1985), que consideraba que la heurística no podía generalizarse. Más tarde, Schoenfeld (2007) explica que aquellas teorías basadas en la enseñanza de heurísticas aportaba lo que había que tener en cuenta cuando las personas resuelven problemas y proporcionaba explicaciones de éxito y fracaso, y la caracterización de la resolución de problemas, pero quedaba elaborar cómo se lleva a la práctica.

En esta misma década, hubo un gran número de investigaciones sobre la resolución de problemas aritméticos escolares verbales (PAEV), estableciendo categorías semánticas, estudiando la dificultad y las estrategias utilizadas por los niños según estas categorías y dependiendo del lugar que ocupase la incógnita del problema (Castro, 2008). La clasificación de los problemas aritméticos verbales de estructura aditiva fue objeto de estudio de muchas investigaciones y se llegó a mayor consenso en su clasificación que en la de los problemas de estructura multiplicativa (Puig y Cerdán, 1988; Castro, 2008). Destaco, por su relevancia en esta tesis, el grupo de investigaciones que estudian el pensamiento matemático de los niños al resolver problemas aritméticos verbales recogidas en Carpenter, Moser, y Romberg (1982) y Carpenter y Moser (1984). La comprensión del problema y la relación con la representación que se hace para resolverlo también son objeto de estudio en estos años (Vergnaud, 1982; Hiebert y Carpenter, 1992). En España, se realizan estudios partiendo de este marco teórico, como las investigaciones que se realizan sobre problemas aritméticos verbales escolares, ejemplo de los cuales es la realizada por Ayala, Galve, Mozas y Trallero (1997), Bermejo y Lago (1988), Bermejo, Lago y Rodríguez (1994 y 1998), Bermejo y Rodríguez (1987a, 1987b, 1990 y 1992), Caballero (2005), Castro (1991, 1995), Castro, Batanero, Rico y Castro (1991), Castro, Rico y Gil (1992), Díaz (2005), Díaz y Bermejo (2007), Dopico (2001), Lago, Rodríguez y Caballero (1999), Lago, Rodríguez, Zamora y Madroño (1999), Lago, Rodríguez, Dopico y Lozano (2001), Lago, Rodríguez, Enesco, Jiménez y Dopico (2008), López de los Mozos (2001), Puig y Cerdán (1988), Puig (1996), Rodríguez y Bermejo (1987); Rodríguez, Lago, Caballero, Dopico, Jiménez y Solbes (2008). En el primer simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM) en 1997, se realizó un seminario sobre problemas aritméticos verbales, donde se presentaron trabajos con problemas aditivos con números negativos (Socas, Hernández y Noda, 1997), problemas de dos etapas (Castro, Castro, Rico, Gutiérrez, Tortosa, Segovia, González, Morcillo, Fernández, 1997) y sobre la comprensión (González Marí, 1997).

La invención de problemas sigue apareciendo en diversos trabajos como (Tortosa y Castro, 1997; Ayllón, Castro y Molina, 2010; Ayllón, 2012; Cázares, 2000 y 2007), donde se reformulan los problemas durante la resolución, pueden incorporarse en las tareas escolares como parte de la metodología de resolución de problemas como para descubrir aspectos cognitivos de los estudiantes (Castro, 2008). Castro (2008) propone seguir trabajando en esta línea con alumnos con talento con atención diversificada, completar el trabajo con los problemas verbales de estructura multiplicativa y de varias etapas, el uso de nuevas tecnologías como potencial representacional, y las actitudes de los solucionadores hacia la resolución de problemas.

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La investigación en resolución de problemas en la década de 1980 tuvo un gran auge hasta que, a mediados de la década de 1990, experimentó un descenso (Puig, 2008; Schoenfeld, 2007; Santos-Trigo, 2008). Lesh y Zawojewski (2007) indican que la falta de impacto de la investigación en resolución de problemas en la práctica educativa pudo ser motivo de este descenso en la investigación. Schoenfeld (1992, 2007) lo relaciona con la consideración cíclica de la resolución de problemas en el currículo de EEUU, que varía cada 10 años, tendiendo unas veces a destrezas básicas y otras a resolución de problemas. Castro (2004 y 2008) indica que en la década 1990 cae el interés por la investigación de la clasificación semántica de los problemas aritméticos verbales, surgiendo nuevos focos de investigación como los problemas compuestos (Nesher, 1991; Castro, Rico, Castro y Gutiérrez, 1994; Castro, Castro, Rico, Gutiérrez, Tortosa, Segovia, González, Morcillo, Fernández, 1997; Castro y Frías, 2013), la invención de problemas (Tortosa y Castro, 1997; Ayllón, 2012), y problemas de paso de la aritmética al álgebra (Carpenter, Franke, y Levi, 2003; Molina, 2006).

Desde principios de la década de 1990, la investigación en educación matemática ha pasado de estudios de un enfoque cognitivo en el que se analizaba el pensamiento matemático de los niños individualmente, así como las variables que influían en los procesos de aprendizaje que permiten diagnosticar dificultades, a un enfoque más socio-constructivista donde se estudia cómo aprenden y piensan los niños las matemáticas en un contexto social y cultural complejo, con un objetivo más práctico para el profesor como diseñar, implementar y evaluar innovaciones curriculares, instrumentos o actividades (Verschaffel y otros, 2007, p. 593). Se utiliza una nueva perspectiva de la construcción del conocimiento situada/pragmática- sociohistórica (Verschaffel et al., 2007) que surge de la etnografía, la psicología ecológica y la teoría de situaciones, que incluyen en los procesos de pensamiento y aprendizaje variables sociales y culturales que afectan a cómo los niños piensan. Se estudia el razonamiento matemático, la construcción de relaciones y los marcos que los sustentan, además de proponer cambios curriculares para introducir las nuevas tecnologías en la resolución de problemas (Santos-Trigo, 2007). Aparecen investigaciones en las que se crean ambientes de aprendizaje productivos, que permiten avances conceptuales y metodológicos, donde los investigadores desarrollan herramientas y técnicas para la caracterización de los mecanismos por los cuales los individuos se desarrollan e interactúan con su medio ambiente, ya sea dentro o fuera del aula (Schoenfeld, 2007). Las características comunes de estos ambientes son que se debe animar a los estudiantes a asumir los problemas, teniendo cierta responsabilidad ante los demás y la disposición de recursos suficientes para hacer resolver los problemas (Lesh y Zawojewski, 2007, Schoenfeld, 2007).

Lesh y Zawojewski (2007) identifican tres líneas de investigación en los últimos años referentes a la resolución de problemas en educación matemática. La primera es la cognición

situada que se refiere al aprendizaje y resolución de problemas en contexto, donde se apoya

que las personas que resuelven problemas en un contexto local puedan desarrollar estructuras conceptuales para otras situaciones problemáticas. Otras línea es la investigación en

comunidades de prácticas, que surgen desde la perspectiva social mencionada, y por último

las investigación en fluidez representacional (Lesh y Zawojewski, 2007). Estos autores ponen de manifiesto que en los cambios tecnológicos continuos de nuestra sociedad requieren adaptar la forma de aprender y enseñar matemáticas, planteando una nueva perspectiva basadas en modelos y modelización. Lesh y Zawojewski (2007) distinguen dos usos de la resolución de problemas en la práctica educativa: un enfoque tradicional, en el que primero se ayuda a los estudiantes a ser dominadores de ideas y destrezas descontextualizadas; practicando, en un segundo momento, con problemas verbales de aplicación directa de lo recién aprendido; siguiendo con resolución de problemas con apoyo heurístico; y finalmente,

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si el tiempo lo permite, planteamiento de situaciones de la vida real para aprender a usar las ideas, destrezas y heurísticos recién aprendidos. El otro enfoque de modelos y modelización, el aprendizaje de las matemáticas se consigue a través de la resolución de problemas de la vida real, donde los alumnos tienen que crear, revisar y adaptar modelos matemáticos, dando un significado propio al problema, ganando comprensión durante este proceso de

matematización.

El enfoque de la Educación Matemática Realista (RME) tienes sus raíces en la idea de Freudenthal de que las matemáticas deben ser un valor humano, tener relación con la realidad y estar cercanas a todos, por lo que se deben utilizar situaciones reales o problemas contextualizados para desarrollar conceptos y herramientas matemáticas, que tengan sentido en la vida diaria (Van de Heuvel-Panhuizen, 2003). Desde este enfoque, se pretende plantear problemas realistas en el sentido que los alumnos puedan imaginar y entender la situación. Las Matemáticas no son en sí solo contenidos matemáticos, sino la actividad de resolver problemas realistas, lo que denominan matematización. Como veremos más avanzado el capítulo, este proceso de matematización se divide en dos partes y va influir en el diseño de elaboración de pruebas que evalúan la competencia matemática (OCDE, 2005). En España hay trabajos como el de Jiménez (2008) que estudian el “conocimiento real” al resolver problemas no-rutinarios de adición.

Otra de las direcciones de futuro en la resolución de problemas es el uso de las TIC (Castro, 2008; Puig, 2008; Santos-Trigo. 2008), un buen ejemplo son los trabajos realizados por Arnau y Puig que estudian las actuaciones de los estudiantes al resolver problemas verbales con herramientas con Excel o sistemas tutoriales inteligentes (Arnau, 2010; Arnau y Puig, 2005 y 2013; González-Calero, Arnau y Puig, 2013; González-Calero, Arnau, Puig y Arevalillo- Herráez, 2014; González-Calero, 2014).

Otro campo de investigación en resolución de problemas es cómo se lleva a la práctica el aprendizaje basado en resolución de problemas, cómo se organiza y se estructura el contenido, y qué actividades se deben plantear en el aula. Puig (2008) opina que los “puentes están rotos entre el trabajo de investigación que se hace y quienes elaboran las directrices curriculares, que se rigen por una lógica distinta (p. 2)”. Este autor afirma que los resultados de investigación en resolución de problemas no terminan de reflejarse en el currículo, existe una falta de relación entre la investigación y el diseño y desarrollo curricular, lo que provoca que no se dé la aplicación en el aula. La inclusión en el currículo de la resolución de problemas no es fácil y hay que estudiar cuáles son las condiciones que debe cumplir la resolución de problemas como método de enseñanza. Además, al tratar la resolución de problemas como contenido, pone “énfasis en el problema de la institucionalización de los aprendizajes de los contenidos de la heurística, que necesitan ser tratados de forma específica en situaciones o secuencias de enseñanza dedicadas en concreto a ello, para que puedan ser institucionalizados” (Puig, 2008, p. 6).

Este tema también apareció en el número monográfico de la revista ZDM mencionado anteriormente. Comento, a continuación, algunas de las conclusiones. Arcavi y Friedlander (2007) proponen una línea de investigación enfocada a observar y documentar de manera exhaustiva cómo puede fomentarse la enseñanza basada en resolución de problemas en el aula, y a diseñar e implementar un currículo teniendo como eje central la resolución de problemas. Santos-Trigo (2007, 2008) también propone investigar sobre cómo estructurar y organizar los contenidos del currículo basados en resolución de problemas:

El reconocimiento de que pueden existir varios caminos para organizar una propuesta del currículo que promueva la resolución de problemas implica la necesidad de explicitar cómo los principios de esta perspectiva se distinguen en la organización y estructura de contenidos. Por

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ejemplo, si en la resolución de problemas interesa que los estudiantes identifiquen, representen, exploren y justifiquen diversas conjeturas asociadas con la comprensión de los conceptos matemáticos, entonces resulta esencial que el currículum se organice alrededor de las ideas o conceptos fundamentales que se deben estudiar de manera profunda en los distintos niveles educativos. Es decir, es necesario transformar las listas extensas de temas o contenidos que aparecían en las propuestas tradicionales del currículo en un conjunto de temas relevantes donde se muestre su desarrollo y las formas de conectarse en diversos dominios que antes se estudiaban de manera independiente como el álgebra, la geometría, la estadística, el cálculo y probabilidad (Santos-Trigo, 2008, p. 17).

En un análisis del currículo de México, Santos-Trigo (2007) encuentra que las propuestas de los planes de estudio oficiales para los grados PK-6 y 7-9 reconocen la importancia de la resolución de problemas en las actividades de aprendizaje de los estudiantes de matemáticas, pero no muestran claramente la importancia de los procesos que deben seguir los estudiantes para conjeturar y buscar argumentos. También realiza un análisis de dos libros de texto, dado que los profesores se ayudan de éstos para organizar sus clases, y encuentra que la estructura de los libros de texto tampoco favorece la resolución de problemas, ya que marcan las preguntas a hacer, en vez de dejar a los niños que formulen sus propias preguntas. Cada contenido que se incluye lleva aparejadas una serie de preguntas relacionadas con ese contenido y parece independiente de las demás lecciones, por lo que no da cabida a la reflexión e integración de los contenidos previos. De hecho no se ven reflejados procesos como conjeturar, argumentar o comunicar. A la revisión curricular para estructurar los contenidos desde el enfoque de resolución de problemas, también hay que añadirle la revisión de los libros de texto (Santos-Trigo, 2007). Este autor afirma que “es importante proponer un currículo en términos de secuencias de problemas donde se reflejen los aspectos inherentes que transforman las asignaturas tradicionales en líneas de pensamiento numérico, algebraico, geométrico y estadístico (Santos-Trigo, 2008, p. 21)”. Además, concluye que la evaluación no sólo depende del trabajo individual, sino de la escucha a los demás y la exposición de las propias ideas en el aula.

Hino (2007) recomienda una estructuración de las clases de matemáticas con las siguientes fases o actividades: Revisar la lección previa y planteamiento preliminar del problema del día; trabajo individual y la presentación de ideas al grupo; presentación del problema del día, trabajo individual y su presentación a la clase; comparación de estrategias de resolución, analizando ventajas y limitaciones; y finalmente, reflexiones sobre la sesión. Cai y Nie (2007) proponen la inclusión de distintos tipos de problemas como los problemas abiertos, que poseen múltiples soluciones, u otros tipos de actividades donde se resuelven variaciones del problema inicial, o se guía a los estudiantes a usar un método para resolver varios problemas. Da Ponte (2007) recomienda incluir actividades que él llama “exploraciones matemáticas”, que son realmente investigaciones realizadas en el aula, en las que los estudiantes desarrollan aspectos de la actividad matemáticas como la formulación de preguntas, la búsqueda y la justificación de conjeturas (Da Ponte, 2007). Incluir las exploraciones utilizando las nuevas tecnologías puede dar soporte al desarrollo del conocimiento y es una línea de investigación todavía abierta. Santos-Trigo (2007 y 2008) propone también en esta línea el trabajo con herramientas computacionales para el trabajo de resolución de problemas.

Una vez sintetizadas las tendencias actuales en la resolución de problemas, voy a describir cómo aparece la resolución en documentos curriculares importantes a nivel internacional. En este trabajo, el centro de interés está en la resolución de problemas aritméticos verbales, por lo que también describiré estos contenido en el currículo.

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2. Marco curricular: la importancia de la resolución de