Descripción de trayectorias de aprendizaje-enseñanza en el presente

En este trabajo voy a utilizar las trayectorias de aprendizaje desde dos perspectivas distintas. Desde una visión más amplia, en la que los objetivos de aprendizaje suponen grandes ideas matemáticas como plantean Clements y Sarama (2009) y en la que me voy a centrar en el desarrollo de conocimientos sobre el valor posicional de los números a lo largo de primero de educación primaria. En un nivel de concreción máxima, utilizaré los caminos de aprendizaje para una tarea, de una manera similar a la planteada por González y Gómez (2015).

Comienzo describiendo las trayectorias de aprendizaje-enseñanza desde la visión más amplia. En este trabajo voy a considerar la trayectoria de aprendizaje-enseñanza para un objetivo de aprendizaje concreto, tal como lo hacen Clements y Sarama (2009). Estará compuesto por los tres elementos:

 Objetivo de aprendizaje, que puede llegar a ser un objetivo de etapa, como puede ser el aprendizaje del valor posicional en educación primaria, o un objetivo más concreto, como el aprendizaje del agrupamiento de 10 y la decena en primero de educación primaria.  Camino de aprendizaje, entendida como la progresión del desarrollo del conocimiento de

los niños hacia ese objetivo de aprendizaje, que podrá desglosarse en niveles de comprensión del contenido matemático.

 Camino de enseñanza, como la secuencia de tareas diseñadas para estimular a los niños a desarrollar ese pensamiento.

El objetivo de aprendizaje de esta investigación es la comprensión del valor posicional en primer curso de primaria. El desarrollo de este conocimiento no es aislado, depende de otras ideas matemáticas como el desarrollo de la comprensión de la suma y la resta y la fluidez de cálculo con números de varias cifras. Los documentos curriculares comentados en el Capítulo 1 (NCTM, 2003; NCTM, 2006; CCSSI, 2010; MEC, 2014b) proponen la articulación y la conexión de los objetivos de aprendizaje a lo largo de los cursos, relacionándolos con el desarrollo del pensamiento de los niños lo que permite llevar a cabo una enseñanza adecuada. Para esta investigación, los contenidos implicados están relacionados con el bloque del número y operaciones. En la Figura 1.14 indiqué los focos curriculares del NCTM sobre este bloque que me ayudarán a organizar los objetivos de aprendizaje en el curso. La tesis se concreta en primer curso de educación primaria, curso de transición entre educación infantil y educación primaria, por lo que en la Figura 1.14 represento las ideas matemáticas importantes que señalan los focos curriculares desde educación infantil a segundo curso de primaria, para tener una perspectiva más amplia de la articulación de los contenidos en los cursos anteriores y posteriores.

Dado que el estudio se realiza a lo largo de un curso con niños que provienen de educación infantil, interesa tener de referencia la trayectoria de aprendizaje-enseñanza a lo largo de una etapa como han realizado Clements y Sarama (2009). Las trayectorias de aprendizaje- enseñanza que elaboro a continuación para la iniciación a la aritmética y el sistema de numeración decimal a través de resolución de los problemas verbales aritméticos, son el resultado de considerar el modelo teórico elegido de la CGI (Carpenter, Ansell y otros, 1993; Carpenter, Franke y otros, 1997; Carpenter, Fennema y otros, 1999; Ambrose, Baek y Carpenter, 2003). En los apartados anteriores he revisado el modelo teórico donde se plantea la progresión de las estrategias que desarrollan los niños al resolver problemas aritméticos verbales. Voy a plasmar estos resultados en trayectorias de aprendizaje-enseñanza con el objetivo de aprendizaje de cada una de ellas, que se corresponderá con un foco curricular del NCTM, con los diferentes niveles de desarrollo de ese conocimiento y las tareas que se

110

plantean, todo ello basándome en los estudios de la CGI. Los resultados de esta investigación serán comparados con las trayectorias de aprendizaje-enseñanza deducidas de los trabajos previos, lo que me permitirá identificar implicaciones de mi estudio.

Comienzo con el objetivo de aprendizaje de la aritmética con números de una cifra. En la Figura 2.16, se puede observar los focos curriculares articulados desde educación infantil hasta segundo de primaria referidos al número. La flecha indica los objetivos de cada curso referentes al aprendizaje de la suma y la resta con números de una cifra. El objetivo de aprendizaje final es la recuperación de hechos numéricos de suma y resta, pero antes hay unos objetivos intermedios en cursos anteriores.

Figura 2.16. Focos curriculares desde Kindergarten a Grado 2 sobre la suma y la resta con números de una cifra (NCTM, 2006)

El enfoque CGI muestra una progresión del pensamiento de los niños a través de las estrategias utilizadas al plantearles problemas aritméticos verbales de estructura aditiva con números de una cifra. En la Figura 2.17 he relacionado esta progresión del pensamiento de los niños con el camino de aprendizaje, cuyos niveles quedan reflejados en el gráfico. Los primeros niveles consisten en estrategias de modelización directa, después estrategias de conteo, el uso flexible de estrategias y por último, el uso de hechos numéricos básicos y derivados. Estos niveles se deducen de la evolución de las estrategias explicadas en las Tablas 2.3 y 2.4. Las tareas que motivan este desarrollo conforman un camino de enseñanza basado en el planteamiento de problemas verbales aritméticos de estructura aditiva. En mi trabajo utilizo tareas de este tipo para promover el aprendizaje siguiendo la misma progresión que el modelo teórico del CGI.

Figura 2.17. Trayectoria de aprendizaje-enseñanza para la suma y resta con números de una cifra (deducida de los trabajos de la CGI)

111

Los focos curriculares tienen el inicio al desarrollo de la comprensión de la multiplicación y división en Grado 2. Desde la CGI se propone el planteamiento de problemas aritméticos verbales de estructura multiplicativa desde mucho antes de su instrucción formal en el aula. Carpenter, Ansell y otros (1993) proporcionan una progresión del desarrollo del pensamiento de los niños a través del planteamiento de problemas de agrupamiento y reparto. A partir de este estudio, puedo identificar los caminos de aprendizaje para resolver problemas de multiplicación, división medida y división partitiva, donde la evolución de las estrategias de los niños pasa por una etapa de modelización directa, seguida de estrategias de conteo a saltos que son menos utilizadas, hasta el uso de hechos numéricos. En la Figura 2.18, se puede ver la trayectoria de aprendizaje para la multiplicación con números de una cifra deducida de Carpenter, Fennema y otros (1999).

Figura 2.18. Trayectoria de aprendizaje para la multiplicación con números de una cifra (deducida de los trabajos de la CGI)

En la Figura 2.19 muestro el camino de aprendizaje para la resolución de problemas de división partitiva deducida de la CGI. Igual que en los problemas anteriores las primeras estrategias se basan en la modelización directa, más tarde se utilizan las estrategias de conteo, en las que se observa dos subniveles (contar por unidades cada grupo o contar a saltos). Por último, las estrategias más formales están basadas en el uso de hechos numéricos.

Figura 2.19. Trayectoria de aprendizaje para la división medida con números de una cifra (deducida de los trabajos de la CGI)

Para terminar con la multiplicación y división con números de una cifra, en la Figura 2.20 muestro el camino de aprendizaje para la resolución de problemas de división partitiva con números de una cifra, adaptada de los trabajos de la CGI, donde la evolución del pensamiento para por distintos niveles de estrategias como ocurre en problemas anteriores.

112

Figura 2.20. Trayectoria de aprendizaje para la división partitiva con números de una cifra (deducida de los trabajos de la CGI)

El objetivo de aprendizaje central para este estudio es la comprensión del valor posicional, que en primero de primaria se concreta en la comprensión del agrupamiento de 10 y la decena. Los objetivos intermedios que marcan los focos curriculares del NCTM (2006) a los largo de educación infantil y primeros cursos de primaria se pueden ver en la Figura 2.21, marcados con una flecha.

Figura 2.21. Focos curriculares desde Kindergarten a Grado 2 sobre la comprensión del valor posicional (NCTM, 2006)

En el marco teórico de referencia de la CGI también se han descrito la evolución de las estrategias ante el planteamiento de problemas de estructura multiplicativa con agrupamientos de 10. Carpenter, Fennema y otros (1999), plantean utilizar estos problemas para que los niños vayan conociendo la estructura de cantidades distribuidas en grupos de 10 y unidades sueltas. En un principio, se le proporciona a los niños contadores individuales o barras de 10 hechas con 10 cubos encajados. Para los problemas de multiplicación con agrupamiento de 10, los niños utilizan inicialmente las estrategias de agrupamiento en la que hacen montones de 10 contadores, que cuentan de uno en uno. A los niños se les anima a coger las barras de 10 cubos encajados para que comprueben que hay 10 objetos, e intenten resolver el problema. Los niños inicialmente cuentan los cubos de estas barras de uno en uno, y más tarde lo harán de 10 en 10. Después, pasan por una fase de estrategia de conteo, de 10 en 10 sin material, en la que cuentan tantas veces de 10 en 10 como grupos hay. Y finalmente, reconocen los grupos de 10 como la posición de las decenas, y los objetos sueltos, como la posición de las unidades. En Carpenter, Franke, y otros (1997), se utiliza esta tarea con bloques de base 10 para evaluar la comprensión del valor posicional. En Carpenter, Fennema y otros (1999) se propone utilizar estas tareas, dando a los niños cantidades representadas con bloques de base 10 para la resolución, para poder valorar el desarrollo de la comprensión del valor posicional. Teniendo en cuenta la evolución de las estrategias de estructura multiplicativa anterior, puedo representar la trayectoria de aprendizaje como se ve en la Figura 2.23. Igual que en los

113

caminos de aprendizaje y enseñanza anteriores, según se va oscureciendo el diagrama, las estrategias muestran un nivel más alto de comprensión de la decena. Las tareas son problemas del mismo tipo pero en el camino de enseñanza, Carpenter, Fennema y otros (1999) describen las estrategias incluyendo contadores individuales y barras hechas con cubos encajados. Por lo tanto, incorporo las estrategias que estos autores han observado que se utilizan, para un problema de estructura multiplicativa con objetos para modelizar, incluyendo barras de 10 cubos encajados que explican animan a los niños a comprobar que hay 10.

Figura 2.22. Trayectoria de aprendizaje-enseñanza para el valor posicional con problemas de multiplicación (deducida de los trabajos de la CGI)

La trayectoria de aprendizaje para el valor posicional, utilizando como tareas problemas de división medida con agrupamientos de 10, se muestra en la Figura 2.24. En este caso no se diferencia entre conteo de uno en uno o de 10 en 10, porque hay que contar el número de grupos.

Figura 2.23. Trayectoria de aprendizaje-enseñanza para el valor posicional con problemas de división medida (deducida de los trabajos de la CGI)

Para valorar el nivel de comprensión del valor posicional, y más concretamente, la comprensión de la decena, tengo como referencia las concepciones de Fuson de cantidades hasta 99 (1992), los niveles de comprensión de la decena de Wright y otros (2006) y la evolución de las estrategias de los problemas de grupos de 10 de Carpenter, Fennema y otros (1999). En la Figura 2.24 muestra los tres caminos de aprendizaje sobre la comprensión del valor posicional de los números de dos cifras, siendo más oscuro cuanto más cerca está el desarrollo de la comprensión de la decena del conocimiento más formal. Los caminos de aprendizaje mostrados para la comprensión de la decena y el valor posicional abarcan varios cursos por lo que dicho camino tiene una panorámica amplia del desarrollo de la comprensión de la decena.

114

Figura 2.24. Caminos de aprendizaje para la comprensión de la decena de los tres trabajos de referencia (Fuson, 1992; Wright y otros, 2006; Carpenter, Fennema, y otros, 1999).

El aprendizaje de la suma y la resta con números de dos cifras es un foco curricular implicado también en la comprensión del valor posicional. En la Figura 2.25 se muestra la flecha que relaciono todo ello.

Figura 2.25. Focos curriculares desde Kindergarten a Grado 2 sobre la comprensión de la suma resta con números de dos cifras (NCTM, 2006)

La CGI muestra la evolución de las estrategias de resolución de problemas de estructura aditiva con dos cifras, inicialmente proporcionando objetos individuales, y más tarde, proporcionando materiales con estructura de base 10 como son los bloques de base 10 a los niños. En la tablas 2.9 y 2.10 describo los distintos niveles de desarrollo de estrategias para estos problemas, incidiendo en el conocimiento del valor posicional. En la Figura 2.26 muestro el camino de aprendizaje de la suma y resta de dos cifras, que se puede relacionar con los distintos niveles de comprensión de la decena.

115

Figura 2.26. Trayectoria de aprendizaje-enseñanza para problemas aditivos con números de dos cifras (deducida de los trabajos de la CGI)

La CGI también tiene trabajos que han estudiado las estrategias con problemas de estructura multiplicativa con números de dos y tres cifras, proporcionando a los alumnos bloques de base 10 (Ambrose, Baek y Carpenter, 2003). Así, puedo deducir la trayectoria de aprendizaje- enseñanza para la multiplicación de dos cifras como se puede ver en la Figura 2.27.

Figura 2.27. Trayectoria de aprendizaje-enseñanza para la multiplicación con números de dos cifras (deducida de los trabajos de la CGI)

La trayectoria de aprendizaje-enseñanza para la división medida con números de dos cifras se puede observar en la Figura 2.28.

Figura 2.28. Trayectoria de aprendizaje-enseñanza para la división medida con números de dos cifras (deducida de los trabajos de la CGI)

Y por último, la trayectoria de aprendizaje para la división partitiva o reparto con números de dos cifras, se puede observar en la Figura 2.30.

116

Figura 2.29. Trayectoria de aprendizaje para la división partitiva con números de dos cifras (deducida de los trabajos de la CGI)

Las tres trayectorias tienen una primera fase de modelización directa con bloques de base 10, y después pasan por una fase de estrategias inventadas, llegando al uso de sumas y resta reiteradas.

Las trayectorias de aprendizaje-enseñanza anteriores tienen como objetivos focos curriculares del NCTM (2003) que se pueden definir a lo largo de una etapa o curso. Los caminos de aprendizaje se describen a través de las estrategias de resolución de problemas aritméticos verbales marcados por el camino de enseñanza. En este estudio se pretende utilizar la resolución de problemas aritméticos verbales adecuados para primero de educación primaria para desarrollar conocimientos informales sobre el valor posicional y las operaciones aritméticas. Las trayectorias de aprendizaje-enseñanza que acabo de describir partiendo de los estudios previos me servirán de referencia para el análisis de las estrategias de la intervención que voy a proponer.

Desde una visión más concreta, voy a partir de la interpretación de los caminos de

aprendizaje para una tarea de los trabajos de Gómez y Lupiáñez (2006), Gómez (2007) y

González y Gómez (2015) donde el objetivo específico de esta tarea se desglosa en capacidades necesarias para su resolución y se identifican los posibles errores y dificultades de los alumnos. Los caminos de aprendizaje para una tarea se utilizan como herramienta para hacer un análisis cognitivo dentro del análisis didáctico de un contenido matemático (Gómez, 2007). Este análisis puede ser previo al planteamiento de la tarea y se puede hacer un grafo inicial basándose en las hipótesis del profesor sobre las capacidades y dificultades de sus alumnos al resolver la tarea. Tras la interacción en el aula, se puede rediseñar el grafo con la información obtenida de la evaluación de la puesta en práctica de la tarea.

Para describir el camino de aprendizaje para una tarea, puedo describir inicialmente las capacidades necesarias para su resolución, y los posibles errores, basándome en los estudios previos. Como indican Rico y Lupiáñez (2010), hay que definir primero las capacidades en las que se desglosa la expectativa de aprendizaje que, en este caso, partirán de objetivo específico de un tema muy concreto y que el alumno desarrollará para la resolución de la tarea. Una de los objetivos de este trabajo es definir las capacidades y errores de cada uno de los problemas del taller que conformará la intervención, y construir el grafo de las distintas secuencias de capacidades que utilizan los niños para resolver esas tareas. Este grafo permitirá ver el nivel de desarrollo de la comprensión de los distintos contenidos implicados en la tesis, como es la decena, y la comprensión de la suma y la resta en problemas aritméticos de estructura aditiva con números de dos cifras. En este trabajo, voy a construir el grafo tras cada sesión para completar la información del marco teórico sobre la resolución de los problemas con la observada en la puesta en práctica del taller de problemas aritméticos en el aula.

117