Capítulo 1. Planteamiento del problema, antecedentes y objetivos de la
2. Marco curricular: la importancia de la resolución de problemas en los
2.1. El NCTM
Voy a comenzar con las propuestas realizadas desde el NCTM para la educación matemática. El NCTM (1980) incluye la resolución de problemas, en el documento An agenda for action:
Recommendations for school mathematics of the 1980s, cuando el desarrollo de la
investigación entonces no era suficiente para apoyar su puesta en práctica y el cambio de metodología provocaba una resistencia al cambio de los profesores. Además, las editoriales se resistían a una modificación costosa de los libros de texto (Schoenfeld, 2007). El NCTM (1980) realiza recomendaciones para la enseñanza de las matemáticas entre las que se planteaba que (a) los planes de estudios de matemáticas deben organizarse en torno a la resolución de problemas; (b) la definición y el lenguaje de la resolución de problemas en matemáticas deben desarrollarse y ampliarse para incluir una amplia gama de estrategias,
Marco curricular de referencia
NCTM
Principios y Estándares (2000) Curriculum Focal Points (2006) Prácticas CCSSM (2010) Declaración conjunta (NAEYC Y NCTM, 2013)NRC
MLEC (2009) Adding It Up (2001)OCDE
PISA (2003) PISA (2012)MEC
Currículos ( 2007 y 2014)13
procesos y modos de presentación, que abarquen todo el potencial de las aplicaciones matemáticas; (c) los maestros de matemáticas deben crear ambientes en clase propicios para la resolución de problemas; (d) se deben desarrollar materiales curriculares apropiados para enseñar la resolución de problemas en todos los grados; (e) los programas de matemáticas deben involucrar a los estudiantes en la resolución de problemas, y (f) los investigadores y los organismos de financiación deben dar prioridad a las investigaciones sobre la naturaleza de la resolución de problemas y para el desarrollo de formas efectivas de resolver problemas (NCTM, 1980). En todas estas recomendaciones se ve implicada la resolución de problemas, ya sea como contenido a enseñar, o como herramienta indispensable para organizar y desarrollar los contenidos matemáticos.
Con la ayuda de National Science Foundation (NSF), que entre 1989 y 1991 respaldó una serie de propuestas para desarrollar el currículo alineadas con las normas del NCTM, la resolución de problemas empezó a incorporarse en la educación matemática de los EEUU. En concreto, el NCTM (1989) incluía en sus recomendaciones cuatro estándares básicos para la enseñanza de las matemáticas: la resolución de problemas, la comunicación, el razonamiento y conexiones matemáticas, que habían sido objetivo de la investigación durante la década de los 80. Entre los objetivos deseables para los estudiantes estaba que se convirtieran en solucionadores de problemas matemáticos, que aprendiesen a comunicarse matemáticamente y a razonar matemáticamente, añadiendo que los estudiantes debían ser expuestos a experiencias que les permitiesen comprender y valorar el papel de las matemáticas en la vida real (Schoenfeld 2007).
Para actualizarse con los avances en investigación de la década de los 90, y las experiencias recogidas desde los anteriores estándares de 1989, el NCTM publicó en el año 2000 los
Principios y Estándares para la Educación Matemática, como recurso y guía para todos los
que toman decisiones que afectan a la educación matemática, tanto desde una perspectiva curricular, como para reflexión sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas escolares (NCTM, 2003). El NCTM pretende con este trabajo exponer los objetivos de forma coherente para orientar los currículos, la enseñanza y la evaluación de las matemáticas, proponer un recurso para analizar y mejorar la calidad de los programas de matemáticas, guiar el desarrollo curricular, las evaluaciones y los materiales utilizados en la educación, y estimular las ideas y el debate sobre cómo ayudar a los alumnos a mejorar la comprensión de las matemáticas desde todas las instituciones y responsables de educación matemática (NCTM, 2003). Este ha sido uno de los documentos más influyentes en el contexto internacional de la educación matemática (Castro, 2008; Puig, 2008; Santos-Trigo, 2007; y Schoenfeld, 2007, 2008).
Schoenfeld relata que no todos los Estados en EEUU incorporaron los Estándares del NCTM (2000). Cuando las primeras generaciones de estudiantes de los Estados que los tenían incorporados en su currículo terminaron los estudios básicos, las evaluaciones realizadas indicaban que, cuando se ponían a prueba las destrezas, los estudiantes en los cursos basados en estos Estándares tenían un rendimiento más o menos igual que los que habían estudiado planes de estudios tradicionales (sin diferencias estadísticamente significativas). Sin embargo, cuando se ponían a prueba la comprensión conceptual y la resolución de problemas, los estudiantes de cursos basados en Estándares superaban significativamente a los estudiantes que habían estudiado planes de estudios tradicionales (Schoenfeld, 2007).
Los Principios son “enunciados que reflejan preceptos básicos fundamentales para una educación matemática de calidad” (NCTM, 2003, p. 11). Los Estándares son descripciones acerca de lo que la enseñanza de las matemáticas debería capacitar a los estudiantes para saber y hacer, describen el conocimiento matemático que los escolares de todos los niveles deben
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adquirir, desarrollar y usar adecuadamente al terminar su formación (Rico y Lupiáñez, 2008, p. 273). Se dividen en Estándares de Contenidos, que describen explícitamente los contenidos que deben adquirir los estudiantes en las distintas etapas educativas, repartidos en las áreas de
Números y Operaciones, que será el implicado en este trabajo, Álgebra, Geometría, Medida y Análisis de Datos y Probabilidad; y Estándares de Procesos, que describen formas de
adquisición y uso de dichos contenidos que son Resolución de Problemas, Razonamiento y
Demostración, Conexiones, Comunicación y Representación (NCTM, 2003, p. 31). Los diez Estándares, tanto Procesos como Contenidos, están relacionados, no se trabajan aisladamente
y pueden ser base para diseños curriculares coherentes. Ambos, Principios y Estándares, muestran cómo hacer matemáticas en clase utilizando como base la investigación y experiencias de clase (Rico y Lupiáñez, 2008).
En la Tabla 1.1 reflejo los Principios según los define el NCTM (2003) que muestran características importantes para la enseñanza de las matemáticas.
Tabla 1.1. Principios del NCTM (2003, p. 11)
Igualdad La excelencia en la educación matemática requiere igualdad: altas expectativas y fuerte apoyo para todos los estudiantes.
Currículo
Un currículo es algo más que una colección de actividades: debe ser coherente, estar centrado en matemáticas importantes y bien articulado a través de los diferentes niveles.
Enseñanza Una enseñanza efectiva requiere conocer lo que los alumnos saben, lo que necesitan aprender y luego estimularles y darles apoyo para que lo aprendan bien.
Aprendizaje
Los estudiantes deben aprender las matemáticas comprendiéndolas, y construir activamente nuevos conocimientos a partir de la experiencia y los conocimientos previos.
Evaluación La evaluación debería apoyar el aprendizaje de matemáticas importantes y proporcionar información útil a profesores y alumnos.
Tecnología La tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas; influye en las matemáticas que se enseñan y potencia el aprendizaje.
El Principio de Igualdad aboga por una educación matemática para todos los alumnos, independientemente de sus características, lo que supone grandes expectativas de aprendizaje para los estudiantes, siendo necesario métodos efectivos de apoyo y recursos, para poder llegar a todos ellos (NCTM, 2003). El Principio Curricular remarca la importancia de desarrollar un currículo centrado en ideas matemáticas importantes de forma coherente y bien articuladas a los largo de la escolaridad, que preparen a los niños para la resolución de problemas en el aula o en la vida cotidiana (NCTM, 2003, p. 15). Los contenidos matemáticos importantes que capacitan a los estudiantes para desarrollar otras ideas importantes, deben ser centro de atención del diseño curricular, como el valor posicional que es un conocimiento imprescindible para los algoritmos. El currículo debe permitir a los alumnos construir conocimientos cada vez más complejos, construyendo conocimientos más profundos según avanzan en la escuela (NCTM, 2003, p. 16).
El Principio Curricular afirma que el pensamiento matemático, las habilidades de razonamiento, formulación de conjeturas, desarrollar argumentos sólidos deductivos, experiencias para modelizar fenómenos del mundo real, que se realizan durante la resolución de problemas, tienen vital importancia en el currículo, como indican los Estándares de
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El Principio de Enseñanza enfatiza que los profesores deben conocer las ideas previas de los niños, los objetivos de aprendizaje, y ser capaces de diseñar tareas para estimularles para conseguir estos objetivos (NCTM, 2003). Los profesores deben ayudar a los niños a adquirir habilidad para aplicar los conocimientos matemáticos a la resolución de problemas, y a conectar los conocimientos previos con los nuevos a la hora de resolver problemas. Este principio señala que las experiencias que proporcionan los profesores a sus alumnos marcan el aprendizaje de éstos, su comprensión de los conocimientos matemáticos, su habilidad para aplicarlos a la resolución de problemas, su confianza al hacerlo y su disposición hacia la asignatura. Los profesores deben crear un entorno que favorezca el aprendizaje “animando a los alumnos a pensar, a preguntar, a resolver problemas y a discutir sus ideas, estrategias y soluciones” (NCTM, 2003, p. 19), así los alumnos formulan conjeturas, experimentan diversos enfoques para resolver problemas, construyen argumentos matemáticos y responden a los argumentos de los compañeros. Las tareas tienen que hacer que los alumnos se sientan implicados, tareas motivadoras y desafiantes para ellos, analizando situaciones, elaborando y resolviendo problemas, dando sentido así a los conceptos y procedimientos matemáticos (NCTM, 2003, p. 20).
El Principio de Aprendizaje afirma que los alumnos deben construir activamente sus conocimientos, de forma significativa a través de sus experiencias, y que debe prestarse atención a la comprensión de los contenidos matemáticos. Este principio pone de manifiesto la importancia de la comprensión conceptual para poder aplicar después los nuevos conocimientos en otras situaciones no familiares (NCTM, 2003). Trabajos como el de Carpenter y Lehrer (1999), que comentaré en el Capítulo 2, muestran la importancia del aprendizaje de comprensión. Aprender con comprensión da más sentido a los contenidos matemáticos y se pueden aplicar a nuevas situaciones si están bien conectados. Este Principio plantea construir conocimientos matemáticos a partir de conocimientos informales adquiridos por los niños en sus experiencias cotidianas (NCTM, 2003, p. 22)
El Principio de Evaluación plantea la evaluación como herramienta docente con el objetivo de guiar el diseño de las tareas, y como ayuda al alumno para asumir responsabilidades sobre su propio aprendizaje. La evaluación debe tomarse como una tarea rutinaria que permite conocer la progresión de los estudiantes, lo que van aprendiendo, y poder adaptar las tareas su situación para conseguir el objetivo de aprendizaje. Por otro lado, la retroalimentación a partir de la evaluación ayuda al estudiante a reflexionar sobre su propio aprendizaje (NCTM, 2003). Finalmente, el Principio Tecnológico plantea que la tecnología apoya a la enseñanza de forma eficaz si se utiliza bien, ya que facilita la ejecución de procedimientos rutinarios, lo que permite dedicar más tiempo a desarrollar conceptos y modelizar (NCTM, 2003, p. 26).
Respecto a los Estándares, además de los Estándares de Contenidos, destacan los Estándares
de Procesos, que describen las formas de adquisición y uso de los contenidos, que son: la resolución de problemas, el razonamiento y demostración, las conexiones, la comunicación y
la representación (NCTM, 2003). Uno de los procesos es la Resolución de Problemas, tema central de este trabajo, pero voy a hacer una revisión de los demás procesos, porque considero que se ven implicados en la resolución de problemas. Santos-Trigo (2007) afirma que los
Principios y Estándares de la Educación Matemática es “el documento que mejor promueva
el desarrollo de los estudiantes de experiencias matemáticas basada en la resolución de problemas” (p. 527). En los Principios y Estándares para la Educación Matemática se proponen las capacidades que se deben trabajar desde el prekindergarten4 hasta el High
School en EEUU, que es el periodo equivalente en España desde Educación Infantil hasta
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finalizar Educación Secundaria, momento en que esas capacidades deben ser adquiridas. Este trabajo señala por etapas (de prekindergarten a grado 2, de grado 3 a grado 5, de grado 6 a grado 8, y de grado 9 a grado 12) los estándares y expectativas de enseñanza y aprendizaje de cada una de dichas etapas. De todos ellos, me voy a centrar en los estándares de la etapa de
prekindergarten a Grado 2 que corresponden con mi trabajo.
Tabla 1.2. Estándares de Procesos de NCTM (2003)
Resolución de Problemas (p. 55)
Construir nuevos conocimientos matemáticos a través de la resolución de problemas.
Resolver problemas que surjan de las matemáticas y de otros contextos. Aplicar y adaptar una variedad de estrategias para resolver problemas.
Controlar el proceso de resolución de los problemas matemáticos y reflexionar sobre él.
Razonamiento y
Demostración (p. 59)
Reconocer el razonamiento y la demostración como aspectos fundamentales de las matemáticas.
Formular e investigar conjeturas matemáticas.
Desarrollar y evaluar argumentos y demostraciones matemáticos.
Seleccionar y utilizar diversos tipos de razonamiento y métodos de demostración.
Comunicación (p. 64)
Organizar y consolidar su pensamiento matemático a través de la comunicación. Comunicar su pensamiento matemático con coherencia y claridad a los
compañeros, profesores y otras personas.
Analizar y evaluar las estrategias y el pensamiento matemático de los demás. Usar el lenguaje de las matemáticas para expresar ideas matemáticas con precisión.
Conexiones (p. 68)
Reconocer y usar conexiones entre ideas matemáticas.
Comprender cómo las ideas matemáticas se interconectan y construyen unas sobre otras para producir un todo coherente.
Reconocer y aplicar las matemáticas en contextos no matemáticos.
Representación (p. 71)
Crear y utilizar representaciones para organizar, registrar y comunicar ideas matemáticas.
Seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para resolver problemas.
Usar representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos.
En la Tabla 1.2 aparecen los estándares que deben adquirir los estudiantes en los distintos procesos a lo largo de toda la escolaridad. La Resolución de Problemas se plantea como “parte integral de todo el aprendizaje de las matemáticas”, dando así, la oportunidad a todos los estudiantes de utilizar y aplicar sus conocimientos y destrezas en todos los estándares de contenido (NCTM, 2003, p. 55). Los alumnos pueden construir conocimientos nuevos al resolver problemas, por lo que el profesor debe analizar previamente las ideas matemáticas importantes que están implicadas en su resolución, para asegurarse de que el problema ayudará a los alumnos a conseguir los objetivos de aprendizaje (NCTM, 2003). El NTCM considera la resolución de problemas como objetivo y como método para aprender
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matemáticas y más tratándose de los niños más pequeños que tienen una gran curiosidad y flexibilidad ante situaciones nuevas (NCTM, 2003).
Los profesores deberían animar a los niños a encontrar matemáticas en sus experiencias, creando una buena disposición hacia la resolución de problemas, favoreciendo la creación de sus estrategias y reflexionando sobre ellas, utilizando contextos desde situaciones de su rutina diaria hasta situaciones extraídas de los cuentos. Los profesores deben dejar tiempo para pensar, confiar que los alumnos pueden resolver el problema, escuchar a los estudiantes, valorar el trabajo de los alumnos y ayudarles a hacer explícitas las estrategias (NCTM, 2003). El Estándar de razonamiento y demostración, en las primeras edades escolares, se reduce a dos elementos importantes del razonamiento que son el reconocimiento de patrones y destrezas de clasificación. El NCTM indica que para desarrollar este proceso hay que animar a los niños a formular conjeturas, que las prueben y que justifiquen sus ideas, favoreciendo así, desarrollar el razonamiento formal. Los niños de esta edad no poseen muchas herramientas de razonamiento pero son capaces de buscar estrategias de situaciones matemáticas y de convencerse por sí mismos que son válidas. La percepción, las pruebas empíricas y las cadenas cortas de razonamientos son los métodos que utilizan los niños de estas edades para justificar sus respuestas dependiendo de la madurez y las oportunidades vividas. El NCTM afirma que en estas edades se debería proporcionar a los alumnos materiales físicos para que puedan manipular objetos ya que a partir de ejemplos concretos los niños son capaces de generalizar. A través del debate, aparecen ejemplos y contraejemplos para demostrar las conjeturas planteadas (NCTM, 2003).
El NCTM indica que la explicación de estrategias obliga a los niños a articular, aclarar, aclarar y ordenar su pensamiento. Es importante escuchar atentamente sus explicaciones ya que el pensamiento de los niños no siempre coincide con el del adulto (NCTM, 2003). El
Estándar de Comunicación sugiere que los profesores deben animar a los niños a compartir
sus estrategias de cálculo con los compañeros y debatir en clase sobre ellas. Así pueden desarrollar y perfeccionar sus estrategias escuchando las descripciones de los compañeros y razonando sobre las propias, y para descubrir por ellos mismos posibles errores. Los niños expresan sus ideas con ayuda de dibujos y materiales, intentan organizar y esclarecer sus ideas para poder expresar lo más claramente posible su pensamiento. Además, escuchan las ideas de otros compañeros que pueden darles otra perspectiva que no habían contemplado, y reflexionan sobre ello. Utilizar el lenguaje oral y/o escrito permite el desarrollo del pensamiento matemático. Las oportunidades que tengan los niños de comunicar, en la escuela o en su entorno familiar, y la madurez, son factores que intervienen en el desarrollo de la comunicación. De hecho, cuando los niños entran en la escuela, si sus oportunidades de comunicación son mayores, entonces aumentará el desarrollo del lenguaje y el pensamiento matemático. La comunicación se puede hacer de forma verbal, con dibujos, objetos y símbolos, dando la oportunidad de desarrollar el lenguaje matemático (NCTM, 2003).
En NCTM pone de manifiesto que, en la etapa de educación infantil y primeros cursos de educación primaria, las Conexiones más importantes que se deben trabajar son las que se establecen entre los conocimientos matemáticos intuitivos y adquiridos de manera informal, que los niños han aprendido a través de sus experiencias, y los conocimientos matemáticos que se aprenden en la escuela. De esta manera, el aprendizaje de las matemáticas se consigue de forma significativa. Así, los profesores deberían mostrar que los conceptos y destrezas no son hechos aislados, sino que están relacionados, y ayudar a los niños a establecer conexiones entre las ideas matemáticas, el vocabulario asociado a las mismas y las formas en que se representan. Deben aprovechar las situaciones diarias de los niños para relacionarlas con las matemáticas, para dar sentido y utilidad a las matemáticas. Por ejemplo, los niños conectan
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las estrategias iniciales en las que resuelven problemas de suma o resta con objetos o con estrategias de conteo, con las dos operaciones (NCTM, 2003).
El NCTM afirma que los niños utilizan representaciones para expresar sus ideas matemáticas y para construir conocimientos nuevos, que muestran su comprensión hacia éstas. Estas representaciones permiten analizar, junto con las explicaciones de los niños, el desarrollo del pensamiento matemático, y además muestran información para guiar el aprendizaje. En esta etapa, los niños utilizan dibujos y materiales para explicar sus estrategias, pero también empiezan a explicar sus respuestas por escrito, usando diagramas y algunos símbolos matemáticos. Este estándar es complementario al de la Comunicación, ya que los niños se sirven del lenguaje y las representaciones para explicar su pensamiento. Los niños van construyendo imágenes mentales a base de representar sus ideas con objetos físicos, con el lenguaje natural, o incluso con diagramas, símbolos o gestos que intercambian con sus compañeros y el profesor. Las representaciones ayudan a mostrar ideas que todavía no han interiorizado. En las representaciones concretas se encuentra el fundamento del posterior uso de los símbolos y ayudan a reconocer la naturaleza matemática común de situaciones distintas. Además, se debería ayudar a los estudiantes a comprender que las representaciones modelizan fenómenos de naturaleza matemática de diferentes contextos. Cuando los alumnos son capaces de utilizar varias representaciones para traducir la misma idea se desarrolla la comprensión y facilita el uso de conceptos y procedimientos matemáticos (NCTM, 2003). En la siguiente 1.3 muestro las relaciones que se pueden establecer entre el proceso de la
resolución de problemas y los demás Estándares de Procesos.
Figura 1.3. Relaciones entre la resolución de problemas y demás Estándares de Procesos
El NCTM indica que cuando se plantea problema en un ambiente de indagación y discursivo,