Estructura conceptual de los números naturales: sistema decimal de

El campo conceptual de los números naturales es central en las matemáticas escolares elementales (Verschaffel y otros, 2007). El aprendizaje del valor posicional del sistema de numeración decimal forma parte de los objetivos de este estudio. Por esta razón, voy a realizar el análisis de este contenido con objeto de describir la estructura conceptual del sistema de numeración decimal, así como conocer la diversidad de sus significados, necesarios para planificar y orientar el aprendizaje de los estudiantes (Rico, 2015).

El análisis del contenido matemático consiste en la descripción y organización de los conceptos y procedimientos que conforman un tema de matemáticas, el análisis de las diferentes formas de representar esos conocimientos, y un análisis de los campos de fenómenos y de los contextos vinculados con tales conocimientos y mediante los que se generan problemas en diferentes situaciones, que ponen en juego esos conceptos y procedimientos y todas sus propiedades y relaciones (Rico y Lupiáñez, 2008, p. 290).

Un sistema de numeración lo constituyen un conjunto finito de signos y reglas, que hacen posible expresar cualquier número que se desee mediante el uso de los signos de que consta el sistema y siguiendo sus reglas (Castro y Molina, 2011). Un sistema de numeración debe permitir representar cantidades fácilmente y operar con ellas de la forma más sencilla (Gómez, 1989).

Gómez (1989) explica cómo evolucionan los sistemas de numeración ante la necesidad de representar cantidades más grandes y realizar cálculos con ellas. La representación simple es la forma de representar una cantidad en la que se utiliza un solo símbolo para representar cada uno de los elementos de un conjunto. Para representar números muy grandes se recurre al

agrupamiento simple, donde se sustituye un paquete de símbolos iniciales por un nuevo

símbolo, eligiéndose así una base para el agrupamiento. Las cantidades siguen aumentando y se pueden realizar grupos de la misma base de los grupos anteriores y denotar un nuevo símbolo. Así conseguimos nuevos símbolos, donde cada uno de ellos representa la potencia de la base inmediatamente superior, lo que se denomina agrupamiento múltiple. Todos estas formas de representar las cantidades están basadas en el principio aditivo, en el cual, el valor de un número se obtiene como suma del valor de todos los símbolos utilizados en su representación (Castro y Molina, 2011).

En los sistemas aditivos no hay límite en la cantidad de símbolos necesarios, pero sí de las veces que se repite, que como máximo es la base del agrupamiento. Para evitar esta repetición, se introdujeron dos tipos de símbolos, uno para las potencias de la base y otros para la función multiplicadora de aquellos, que formaron los sistemas multiplicativos (Gómez,

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1989). El siguiente paso fue ordenar los símbolos en el orden que marcan las potencias, hasta que se empezó a escribir sin los símbolos de dichas potencias al entender que siempre ocupaban el mismo lugar. Así surgieron los sistemas posicionales donde el cero apareció para ocupar los lugares donde no había cantidades.

En el sistema de numeración decimal, la base es diez, por lo que los distintos órdenes son las sucesivas potencias de diez, que reciben el nombre de decenas, centenas, unidades de millar… (Gómez, 1989). Tener la base diez implica que cada diez unidades de un orden constituyen una unidad de orden superior. Para saber el cardinal de una colección se puede utilizar el método del agrupamiento, en el que se hacen grupos de tantos objetos como indica la base, pudiendo quedar objetos sin agrupar. Una vez realizada la agrupación, se cuenta el número de unidades sueltas que serán la unidades de primer orden, y después se cuenta el número de grupos que serán las unidades de segundo orden (Castro y Molina, 2011). En el caso de que el número de grupos hechos sea igual o mayor que la base, se vuelven a realizar agrupaciones y el número de los nuevos grupos serán las unidades de tercer orden, donde las cantidades utilizadas no superaran la centena.

Para profundizar en el contenido de un tema hay que determinar los conceptos y procedimientos que implica, articulando sus conexiones; además hay que describir sus sistemas de representación y su fenomenología. El sistema de numeración decimal está incluido en el bloque de contenidos del número natural más amplio. El número natural se puede organizar entorno a cinco focos conceptuales curriculares prioritarios: significados y uso de los números naturales, sistema decimal de los números naturales, orden entre naturales, suma de números naturales y producto de los números naturales. Esta disposición permite organizar los contenidos de cada foco conceptual (Rico y Lupiáñez, 2008, ver Tabla 2.1):

Tabla 2.1. Focos conceptuales prioritarios de Números naturales (Rico y Lupiáñez, 2008, p. 296) Significados y usos Secuencia-contar; ordinal-ordenar; cardinal-cuantificar; signo-codificar;

símbolos-estructurar; números-operar; recta-visualizar; noción y concepto; números pequeños, medianos y grandes

Sistema decimal Símbolos; cero; base: principio de agrupamiento; unidades de orden superior; escritura, lectura, notación polinómica; tablas, algoritmos

Suma Símbolos de suma y resta; noción de suma y resta; composiciones aditivas;

tablas; algoritmos; calculadora; propiedades; estructura (N; +); estimación

Orden Siguiente y anterior; secuencia; comparar; relación orden; estructura ordinal

de N; orden magnitud; orden aproximación

Producto Símbolos; noción; notación; tablas; algoritmos; calculadora; divisibilidad; factorización; estructura (N; ×); estimación

En este trabajo, el foco conceptual prioritario es el sistema de numeración decimal, pero para analizar bien el contenido implica tener en cuenta las conexiones que tiene con el resto de los focos conceptuales, que como indican Rico y Lupiáñez (2008) no se pueden observar en esta tabla. En esta investigación, que se centra en la transición de educación infantil a educación primaria, toman importancia el agrupamiento con base 10 y la decena, que permiten realizar composiciones y descomposiciones de los números. Para poder contemplar las relaciones del sistema de numeración decimal con los demás focos conceptuales de los números naturales se puede mirar el mapa conceptual de la Figura 2.2, como adaptación al mapa conceptual construido por Rico y Lupiáñez, 2008).

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Figura 2.2. Mapa conceptual del sistema de numeración decimal (adaptado de Rico y Lupiáñez, 2008, p. 303)

En la Figura 2.2, los recuadros grises se corresponden con los contenidos del foco conceptual del sistema de numeración decimal. El principio de agrupamiento y el concepto de base son el objetivo de aprendizaje más importante de esta tesis. En tonos azules, están los contenidos de los otros cuatro focos conceptuales que están relacionados directamente. La intervención que planteo en este estudio es a través de la resolución de problemas aritméticos, por lo que los focos conceptuales de las operaciones aritméticas están implicados, así como la secuencia numérica. En los recuadros con fondo blanco aparecen las representaciones y contextos y usos de los números naturales, que afectan a este trabajo, y que son necesarios para el análisis de este contenido, ya que son los que permiten manejar los números naturales y darles significado.

El principio de agrupamiento es un contenido base para el sistema de numeración decimal, que en el taller de resolución de problemas que se propone es un conocimiento central. El taller contiene problemas con agrupamientos de 10, para desarrollar la comprensión de la decena y el valor posicional en números de los números pequeños24. La representación de estas cantidades, que comento más abajo, con grupos de 10 y unidades sueltas, permite introducir la idea de unidades de unidades de distinto orden, que conllevarán la comprensión de la notación polinómica. La composición y descomposición de un número en las decenas que los comprenden y las unidades es una descomposición aditiva relacionada con el valor posicional de las cifras. El taller es de resolución de problemas aritméticos verbales, y servirá de contexto estructural para dar significado a las operaciones con los números naturales. Rico y Lupiáñez (2008) indican que además de tener en cuenta los focos conceptuales y su estructura, es importante considerar las distintas formas de representación (simbólica, verbal, materiales manipulativos y gráficos). En este trabajo, voy a prestar especial atención a las representaciones que utilicen los niños. Además, se les facilitará materiales y recursos que les

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pueda ayudar a evolucionar en sus estrategias. En la Figura 2.3, relaciono los tipos de representaciones con materiales que incluyo en las sesiones de trabajo con los niños. En la Figura 2.2 se puede observar los contenidos relacionados con el foco conceptual significados y usos de los números naturales.

Figura 2.3. Sistema de representaciones de los números naturales en este trabajo (adaptado de Rico y Lupiáñez, 2008, p. 299).

El uso de materiales con agrupaciones de 10 como los bloques de base 10 de tipo estructurado se complementa con materiales fungibles de la vida cotidiana como cartones de decenas de huevos. También incluyo materiales gráficos como la banda numérica o Tabla 100, que puede permitir la evolución de las estrategias de modelización directa a las estrategias de conteo. El rekenrek o rejilla aritmética facilita la memorización de los hechos numéricos básicos y el desarrollo de los hechos numéricos derivados. Es un material manipulativo, que además contiene una configuración basada en grupos de 5. Además, los niños disponen de contadores como los cubos encajables, plastilina con la que pueden fabricar sus propios contadores y otros materiales utilizados en clase, que ellos mismo pueden elegir para utilizarlos como objetos que representen las cantidades implicadas en los problemas.