los elementos de A no nulos ni unidades pero que no admitan una descomposici´on en irreducibles. Hemos de probar que S es vac´ıo.
Si existe un elemento a en S, entonces a no es unidad, luego (a) = A. Si
a fuera irreducible entonces ´el mismo ser´ıa una descomposici´on en irreducibles, luego no lo es. Podemos factorizar a = bc donde ni b ni c es una unidad (ni 0). Si ninguno estuviera en S entonces se descompondr´ıan en producto de irreducibles, y a tambi´en. Por tanto al menos uno de los dos est´a en S. Digamos que b∈ S. Como b| a se cumple que (a) ⊂ (b). La inclusi´on es estricta, pues si (a) = (b) entonces a y b ser´ıan asociados, es decir, a = bu para cierta unidad u, pero entonces bu = bc, luego c = u ser´ıa una unidad, cuando no lo es.
En definitiva hemos probado que para cada a∈ S existe un b ∈ S tal que (a) (b). Repitiendo este proceso obtendr´ıamos una sucesi´on creciente de ideales (ao) (a1) (a2) · · · en contradicci´on con el teorema 3.9. Por lo
tanto S ha de ser vac´ıo y as´ı todo elemento no nulo ni unitario de A admite una descomposici´on en irreducibles.
Supongamos que los irreducibles coinciden con los primos y que tenemos dos descomposiciones en irreducibles de un mismo elemento a = c1· · · cn =
d1· · · dm. Podemos suponer que m≤ n.
Como dm es primo, ha de dividir a uno de los factores de c1· · · cn y como ´estos son irreducibles, de hecho ha de ser asociado a uno de ellos. Pongamos que dm es asociado a cn. Entonces cn= umdm para cierta unidad um.
Simplificando dmobtenemos que c1· · · cn−1um= d1· · · dm−1. Repitiendo el proceso con dm−1 (y teniendo en cuenta que un irreducible no puede dividir a una unidad), llegamos tras m pasos a que c1· · · cn−mu1· · · um = 1, lo que obliga a que n = m, pues ning´un irreducible puede dividir a 1. Adem´as hemos obtenido que cada ci es asociado a di, luego la descomposici´on es ´unica.
Con esto tenemos probada la factorizaci´on ´unica deZ y de los anillos K[x] donde K es un cuerpo. Para el caso deZ es posible dar argumentos directos m´as elementales basados en el buen orden de N. Por ejemplo, para encontrar un factor irreducible de un n´umero entero basta tomar el menor natural que lo divide. Lo mismo ocurre con K[x] considerando el grado de los polinomios.
4.3
Divisibilidad en
Z
En Z podemos afinar la unicidad de la descomposici´on en factores primos exigiendo que ´estos sean positivos, es decir, n´umeros naturales. As´ı, la descom- posici´on en primos del n´umero 60 es 60 = 2· 2 · 3 · 5, y no consideraremos otras como 2· 2 · (−3) · (−5). Si no se indica lo contrario, cuando hablemos de primos enZ nos referiremos a naturales primos.
El problema m´as elemental que surge a ra´ız de todo esto es encontrar un m´etodo para obtener las factorizaciones en primos de n´umeros cualesquiera. En particular ser´ıa conveniente hallar un m´etodo para reconocer los n´umeros primos. El m´etodo m´as simple para hallar todos los primos hasta un n´umero dado es la llamada criba de Erat´ostenes, que consiste en escribir una lista con
los primeros n naturales, tachar el 1, que no es primo por definici´on, despu´es tachar todos los m´ultiplos de 2 (salvo el propio 2), dejar el menor n´umero que queda (el 3) y tachar sus m´ultiplos, dejar el menor n´umero que queda (el 5) y tachar sus m´ultiplos, etc. Los n´umeros que sobrevivan ser´an los primos menores que n. He aqu´ı la lista de los primos menores que 100, que hacen un total de 25.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Para descomponer un n´umero en factores primos podemos ir probando a dividirlo por los primos menores que ´el hasta hallar uno que lo divida e ir repitiendo la operaci´on con los cocientes que vayamos obteniendo. Notar que si queremos factorizar un n´umero n y m cumple que n≤ m2, entonces, si n no es
primo, el menor primo que divide a n ha de ser menor que m. Por ejemplo, el menor primo que divida a un n´umero menor que 100 ha de ser menor que 10, es decir, si un n´umero menor que 100 no es divisible entre 2, 3, 5 o 7, entonces es primo.
En cualquier caso, siempre es posible distinguir los n´umeros primos de los compuestos y hallar la factorizaci´on de cualquier n´umero en un n´umero finito de pasos. M´as adelante encontraremos t´ecnicas para abordar este problema con m´as elegancia.
Una cuesti´on importante es si el n´umero de primos es finito o infinito. La respuesta es que es infinito. Para probarlo observemos que en general un primo
p no puede dividir al mismo tiempo a un n´umero n y a n + 1, pues entonces dividir´ıa a su diferencia, que es 1. De hecho, enZ, si p divide a n, el pr´oximo n´umero al que divide es n + p. Sabiendo esto demostramos:
Teorema 4.10 (Euclides): EnZ hay infinitos n´umeros primos.
Demostraci´on: Dado un n´umero n consideremos n! Se cumple que todo n´umero menor o igual que n divide a n!, luego ning´un n´umero menor o igual que n divide a n! + 1. En consecuencia un divisor primo de n! + 1 ha de ser mayor que n. Por lo tanto por encima de cada n´umero n hay siempre un n´umero primo. Esto implica que hay infinitos primos.
Definici´on 4.11 Sea A un dominio ´ıntegro y X un subconjunto de A. Diremos
que un elemento d de A es un m´aximo com´un divisor (mcd) de los elementos
de X si d divide a los elementos de X y cualquier elemento de A que cumpla lo mismo es un divisor de d.
Diremos que un elemento m de A es un m´ınimo com´un m´ultiplo (mcm) de
los elementos de X si es m´ultiplo de todos los elementos de X y todo elemento de A que cumpla lo mismo es un m´ultiplo de m.
Es obvio que m es un mcd o un mcm de X si y s´olo si lo es cualquiera de sus asociados, es decir, estos conceptos son ´unicos salvo unidades. Por supuesto
4.3. Divisibilidad enZ 37 el mcd o el mcm de un conjunto dado no tiene por qu´e existir. No obstante, cualquier subconjunto finito de un DFU tiene mcd y mcm. El lector puede entretenerse probando que las siguientes “recetas” nos dan un mcd y un mcm de cualquier subconjunto finito X de un DFU.
Un mcd de X est´a formado por el producto de los primos que dividen a todos los elementos de X elevados al m´ınimo exponente con el que aparecen en alguno de los elementos de X.
Un mcm de X est´a formado por el producto de todos los primos que dividen a alg´un elemento de X elevados al mayor exponente con el que aparecen en los elementos de X.
Por ejemplo, dados los n´umeros 22· 3 · 75, 2· 5 · 7, 34· 52· 7, el mcd es 7 y el
mcm es 22· 34· 52· 75.
Escribiremos mcd(a1, . . . , an) y mcm(a1, . . . , an) para representar el mcd y el
mcm de los elementos a1, . . . , an. A veces el mcd lo representaremos simplemente por (a1, . . . , an).
En Z el mcd es ´unico si lo exigimos positivo. Si no se indica lo contrario siempre lo supondremos as´ı.
Hay que prestar un poco de atenci´on al cero: por definici´on todo elemento de un anillo divide a 0, de donde se sigue f´acilmente que el mcd de un conjunto de elementos que contenga a 0 es el mismo que el del conjunto que resulte de eliminarlo. Por otra parte si un conjunto de elementos contiene una unidad, su mcd es 1.
Los elementos de un conjunto son primos entre s´ı si su mcd es 1, es decir, si no tienen divisores primos comunes. No hay que confundir esto con que sean primos entre s´ı dos a dos, que es m´as fuerte. Si dividimos los elementos de un conjunto por su mcd obtenemos un conjunto de elementos primos entre s´ı, pues si d es el mcd y p es un primo que dividiera al conjunto resultante, entonces dp dividir´ıa al conjunto original, luego dp| d y p ser´ıa una unidad.
En un DIP el m´aximo com´un divisor de un conjunto finito de n´umeros cumple una propiedad muy importante:
Teorema 4.12 (Relaci´on de Bezout): Sea A un DIP y a1, . . . , an elementos
de A. Sea d un mcd de a1, . . . , an. Entonces (d) = (a1) +· · · + (an), luego
existen ciertos elementos r1, . . . , rn en A de manera que d = r1a1+· · · + rnan. Demostraci´on: Sea (d) = (a1) +· · · + (an) (por definici´on). Vamos a ver que d es un mcd de a1, . . . , an.
Como cada ai est´a en (d), ciertamente d | ai. Si s divide a todos los ai, entonces (ai)⊂ (s), luego (d) = (a1) +· · · + (an)⊂ (s), luego s | d.
Observemos que si des cualquier otro mcd de los elementos dados, entonces (d) = (d), luego la relaci´on de Bezout es v´alida para cualquiera de ellos.
Este resultado se aplica especialmente a pares de elementos primos entre s´ı: si m y n son primos entre s´ı, existen r y s tales que rm + sn = 1.