Ahora obtendremos algunos resultados ´utiles sobre las unidades de un anillo. Muchos de ellos, especialmente 5.13 son inmediatos a partir de los resultados de la teor´ıa de grupos finitos, pero preferimos dar aqu´ı pruebas directas que no nos desv´ıen de la teor´ıa de anillos. Empezamos estudiando en particular el anilloZ/nZ. ¿Cu´antas unidades tiene? Para responder a esta pregunta conviene responder antes a otra m´as pretenciosa: ¿cu´ales son?
El lector deber´ıa construirse tablas y conjeturar algo. Hemos visto que los divisores de cero enZ/nZ se deben a las factorizaciones de n, es decir, si d | n, entonces [d] es un divisor de cero, luego no es una unidad. Por otra parte un m´ultiplo no nulo de un divisor de cero es tambi´en un divisor de cero, luego basta con que d y n tengan un divisor com´un para que [d] sea un divisor de cero. Por ejemplo, enZ/8Z la clase [6] no es unidad, pues como (6, 8) = 2, resulta que [6][4] = [0], donde el 4 sale de que 8 = 2· 4.
Esto significa que para que [m] sea una unidad de Z/nZ hace falta que (m, n) = 1. La condici´on es suficiente, pues si (m, n) = 1, por la relaci´on de Bezout existen ciertos enteros r y s tales que rm + sn = 1, de donde [1] = [r][m] + [s][0] = [r][m].
Resumiendo:
Teorema 5.8 El conjunto de las unidades deZ/nZ es Un =
[m]| (m, n) = 1.
Definici´on 5.9 Llamaremos φ(n) al n´umero de n´umeros naturales menores que
n y primos con n, o sea, al n´umero de unidades deZ/nZ. La funci´on φ se llama
5.3. Unidades 55 Una versi´on m´as general del teorema de Fermat (consecuencia directa del teorema 5.6) es que si a y n son n´umeros enteros primos entre s´ı, entonces
aφ(n)≡ 1 (m´od n). Es f´acil calcular los primeros valores de φ:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
φ(n) 0 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8
¿Encuentra el lector alguna regularidad? La hay. La funci´on de Euler es multiplicativa. Lo probaremos a partir de un hecho general de inter´es. Note- mos que si A y B son anillos el producto A× B es tambi´en un anillo con las operaciones definidas componente a componente, es decir,
(a, b) + (a, b) = (a + a, b + b), (a, b)(a, b) = (aa, bb).
Igualmente se puede definir el producto de una familia finita de anillos. En general esta construcci´on no es muy ´util porque los anillos producto nunca son dominios ´ıntegros, pero ahora nos va a servir para comprender la estructura de los anillosZ/nZ.
Teorema 5.10 Sean m1, . . . , mn n´umeros naturales primos entre s´ı dos a dos.
Sea m = m1· · · mn. Entonces la aplicaci´on
f :Z/mZ −→ (Z/m1Z) × · · · × (Z/mnZ)
dada por f[a]=[a], . . . , [a]es un isomorfismo de anillos.
Demostraci´on: Es inmediato comprobar que est´a bien definida. M´as a´un, es inyectiva, pues si[a], . . . , [a]=[b], . . . , [b]entonces cada mi| b−a, y como son primos entre s´ı es claro que m| b − a, es decir, [a] = [b] (m´odulo m).
Como los dos anillos tienen m elementos podemos concluir que f es un isomorfismo.
Es f´acil ver que las unidades de un producto A×B son los pares (u, v) donde
u es una unidad en A y v una unidad en B. Por lo tanto, si m y n son enteros
primos entre s´ı el isomorfismo entreZ/mnZ y Z/mZ × Z/nZ hace corresponder los elementos de Umncon los de Um×Un, y esto prueba que φ(mn) = φ(m)φ(n). Esta propiedad reduce el c´alculo de la funci´on de Euler a las potencias de primos, pero es f´acil ver que φ(pn) = (p−1)pn−1(pues los n´umeros menores que
pn y que no son primos con pn son los pn−1 m´ultiplos de p). As´ı por ejemplo, para calcular φ(45) basta hacer φ(45) = φ(32)φ(5) = 2· 3 · 4 = 24.
El teorema 5.10 tiene un enunciado cl´asico, conocido por los chinos desde hace m´as de 1.500 a˜nos.
Teorema 5.11 (Teorema chino del resto) Sean m1, . . . , mn n´umeros naturales
primos entre s´ı dos a dos y sean c1, . . . , cn enteros cualesquiera. Entonces las
congruencias xi ≡ ci(m´od mi), para i = 1, . . . , n tienen una soluci´on com´un
´
Ejercicio: Probar que si a ≡ b (m´od d) y d = (m, n), entonces las congruencias
x ≡ a (m´od m) y x ≡ b (m´od n)
tienen una soluci´on com´un ´unica m´odulo el m.c.m. de m y n.
Todav´ıa hay algo importante que podemos decir de las unidades de una dominio ´ıntegro en general cuando ´estas son un n´umero finito.
Definici´on 5.12 Sea A un dominio con un n´umero finito de unidades. Sea u una unidad de A. Llamaremos orden de u al menor natural no nulo tal que
un = 1. Lo representaremos oA(u). El teorema 5.6 garantiza la existencia de oA(u).
Si n y m son n´umeros enteros primos entre s´ı, llamaremos on(m) al orden de la clase [m] enZ/nZ.
Por ejemplo, el n´umero d que consider´abamos al estudiar los primos de Mersenne, no es sino d = op(2). Como vimos entonces, si s es un n´umero entero y s = oA(u)c + r con 0≤ r < oA(u), entonces us=
uoA(u)cur= ur= 1 salvo que r = 0, luego us= 1 si y s´olo si o
A(u)| s.
M´as en general, dos potencias coinciden ui = uj si y s´olo si uj−i = 1, si y s´olo si oA(u)| j − i, si y s´olo si i ≡ j
mod oA(u)
.
Esto significa que si u es una unidad de un dominio con un n´umero finito de unidades, entonces las potencias u0, u, u2, u3, . . . se repiten c´ıclicamente, de
modo que 1 aparece exactamente en las potencias de exponente divisible entre oA(u).
El teorema 5.6 afirma que oA(u) es un divisor del n´umero total de unidades. He aqu´ı unos cuantos ejemplos de ´ordenes de unidades en distintos anillos Z/nZ: Para n = 5, φ(5) = 4 m 1 2 3 4 o5(m) 1 4 4 2 Para n = 7, φ(7) = 6 m 1 2 3 4 5 6 o7(m) 1 3 6 3 6 2 Para n = 8, φ(8) = 4 m 1 3 5 7 o8(m) 1 2 2 2 Para n = 9, φ(9) = 6 m 1 2 4 5 7 8 o9(m) 1 6 3 6 3 2
5.3. Unidades 57 Para n = 11, φ(11) = 10
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
o11(m) 1 10 5 5 5 10 10 10 5 2
Observamos que cuando n es primo existen elementos de todos los ´ordenes posibles, es decir, de todos los ´ordenes que dividen al n´umero de unidades. En general no es cierto, como muestra el ejemplo n = 8. Vamos a probar este hecho importante.
Teorema 5.13 Sea A un dominio ´ıntegro con un n´umero finito n de unidades. Entonces para cada divisor m de n existe una unidad en A de orden m.
Demostraci´on: Probemos que si u es una unidad de A, n = oA(u), y
m| n, entonces oA(um) = n/m. En efecto, (um)n/m
= un = 1, luego oA(um) | n/m. Por otro lado, si (um)r= 1, entonces n| mr, luego n/m | r, y as´ı oA(um) = n/m.
Si u, v son unidades de A, oA(u) = r, oA(v) = s y (r, s) = 1, entonces oA(uv) = rs.
En efecto, (uv)rs= (ur)s (vs)r
= 1· 1 = 1, luego oA(uv)| rs. Si (uv)m= 1, entonces umvm= 1, luego um= v−m y o
A(um) = oA(v−m). Como (um) r
= 1, tenemos oA(um)| r e igualmente oA(v−m)| s, luego oA(um) = oA(v−m) = 1, o sea, um= v−m= 1 y por lo tanto r | m y s | m. Como (r, s) = 1, podemos concluir que rs| m. As´ı pues, rs es el menor natural no nulo que hace 1 a uv al calcular la exponencial, es decir, oA(uv) = rs.
Supongamos ahora que u y v son unidades de A, oA(u) = r, oA(v) = s, pero no necesariamente (r, s) = 1. Descompongamos r y s en potencias de primos y formemos como sigue dos n´umeros r y s: el n´umero r es el producto de todas las potencias de primos que dividen a r con exponente mayor o igual que a s, mientras que s est´a formado por el producto de las potencias de primos que dividen a s con exponente mayor estrictamente que a r. De este modo r | r,
s| s, rs= mcm(r, s) y (r, s) = 1. As´ı oA(ur/r ) = r y oA(vs/s ) = s, luego oA(ur/r vs/s) = rs= mcm(r, s). Es decir, si existe una unidad de orden r y otra de orden s, existe una tercera de orden mcm(r, s). Aplicando esto varias veces obtenemos una unidad u tal que su orden m es m´ultiplo de los ´ordenes de todas las unidades de A. Sabemos que m = oA(u)| n, pero por otro lado, toda unidad de A es ra´ız del polinomio
xm− 1, y no puede haber m´as de m ra´ıces, con lo que n ≤ m. As´ı pues, oA(u) = n.
Para cada divisor m de n, el elemento un/m tiene orden m.
Definici´on 5.14 Una unidad en un dominio cuyo orden sea igual al n´umero de unidades se llama una ra´ız primitiva de la unidad.
En general, una ra´ız de la unidad de un dominio A es un elemento u de A que cumple un = 1 para cierto entero n no nulo (en particular es una unidad
porque u· un−1 = 1). El teorema 5.6 afirma que si hay un n´umero finito de unidades, todas ellas son ra´ıces de la unidad. El teorema anterior prueba que si adem´as el dominio es ´ıntegro, entonces existen ra´ıces primitivas de la unidad. En el caso concreto de los anillos Z/pZ las ra´ıces primitivas de la unidad (o mejor los enteros cuyas clases son ra´ıces primitivas de la unidad) se llaman
ra´ıces primitivas m´odulo p. El nombre de ra´ıces primitivas se debe a que todas las dem´as unidades se obtienen de ellas por exponenciaci´on.
Por ejemplo, una ra´ız primitiva m´odulo 7 es 3 y sus potencias m´odulo 7 son [3]0= [1], [3]1= [3], [3]2= [2], [3]3= [6], [3]4= [4], [3]5= [5], [3]6= [1],
´
estos son todos los elementos deZ/7Z (salvo [0], que no es una unidad). No hay criterios para obtener ra´ıces primitivas m´odulo p, pero sabemos que existen y podemos encontrarlas. Se pueden dar algunas condiciones que facilitan la b´usqueda, pero en la pr´actica es preferible consultar tablas de ra´ıces primitivas o usar ordenadores que las calculen. He aqu´ı la lista de las m´ınimas ra´ıces primitivas para los menores primos:
Tabla 5.2: Ra´ıces primitivas (m´od p)
p r p r p r p r p r 2 1 13 2 31 3 53 2 73 5 3 2 17 3 37 2 59 2 79 3 5 2 19 2 41 6 61 2 83 2 7 3 23 5 43 3 67 2 89 3 11 2 29 2 47 5 71 7 97 5