(x, y, z) = (2pq, p2− q2, p2+ q2),
donde p, q son n´umeros naturales primos entre s´ı, q < p y de paridad opuesta. Rec´ıprocamente, es f´acil comprobar que cualquier terna en estas condiciones es una terna pitag´orica primitiva. Por lo tanto ya sabemos enumerarlas todas. La tabla 6.1 contiene las correspondientes a los valores de p≤ 7.
En una tablilla cuneiforme aproximadamente del a˜no 1.500 a.C. se ha en- contrado una enumeraci´on de ternas pitag´oricas, entre las cuales se encontraba (4.961, 6.480, 8.161). Se obtiene con p = 81 y q = 40.
Ejercicio: Comprobar que toda terna pitag´orica contiene un m´ultiplo de 3, un
m´ultiplo de 4 y un m´ultiplo de 5.
6.2
Sumas de dos cuadrados
Una pregunta relacionada con el problema anterior es ¿qu´e n´umeros natu- rales pueden expresarse como suma de dos cuadrados? Antes de teorizar sobre ellos echemos una ojeada a las sumas de los primeros diez cuadrados. Los primos est´an en negrita. 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 8 13 20 29 40 53 68 85 104 18 25 34 45 58 73 90 109 32 41 52 65 80 97 116 50 61 74 89 106 125 72 85 100 117 136 98 113 130 149 128 145 164 162 181 200
Antes de interpretar la tabla pensemos un poco qu´e debemos buscar en ella. Notemos que si z = x2+ y2 entonces para todo natural n se cumple tambi´en n2z = (nx)2+ (ny)2, es decir, que si multiplicamos una suma de cuadrados por
un cuadrado, obtenemos otra suma de cuadrados. Se dice que un n´umero n es libre de cuadrados si todos los primos que lo dividen tienen multiplicidad 1. Todo n´umero n puede expresarse de forma ´unica como producto de un cuadrado perfecto y de un n´umero libre de cuadrados. Basta agrupar por un lado todos los pares de primos que lo dividen y por otro los primos que queden sin pareja. Lo que dec´ıamos hace un momento es que si la parte libre de cuadrados de un n´umero natural n es suma de dos cuadrados, entonces n tambi´en lo es. Lo primero que podemos observar en la tabla es que se cumple el rec´ıproco, es decir, la parte libre de cuadrados de todos los n´umeros de la tabla est´a tambi´en en la tabla. Por ejemplo: la parte libre de cuadrados de 117 es 13. Esto nos lleva a
nuestra primera conjetura: Un n´umero es suma de dos cuadrados si y s´olo si lo es su parte libre de cuadrados.
Ahora qued´emonos tan s´olo con los n´umeros de nuestra lista que son libres de cuadrados, es decir:
0, 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 34, 37, 41, 53, 58,
61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, 101, 106, 109, 113.
Esta lista contiene todos los n´umeros libres de cuadrados menores que 121 (el primer n´umero que falta en la tabla) que pueden expresarse como suma de dos cuadrados.
Vemos que no est´an todos los primos, pero los primos que aparecen en los compuestos est´an tambi´en en la lista: 10 = 2· 5, 26 = 2 · 13, 34 = 2 · 17, 58 = 2· 29, 65 = 5 · 13, 74 = 2 · 37, 82 = 2 · 41, 85 = 5 · 17, 106 = 2 · 53.
La conjetura es, pues, que un n´umero libre de cuadrados es suma de dos cuadrados si y s´olo si lo son los primos que lo componen. Respecto a los primos que son suma de dos cuadrados nos quedan los siguientes
2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113.
Si el lector no conjetura nada a simple vista, no cuesta mucho encontrar una condici´on que han de cumplir. Si un primo impar es de la forma p = x2+ y2,
entonces x e y han de tener paridades opuestas, digamos x = 2u, y = 2v + 1. Como consecuencia resulta que p = 4u2+ 4v2+ 4v + 1, es decir, p = 4m + 1. Si
el lector calcula los primeros primos de la forma 4n + 1 obtendr´a precisamente la lista anterior (sin el 2, claro).
Sospechamos entonces que un primo impar es suma de dos cuadrados si y s´olo si es congruente con 1 m´odulo 4. La conjetura general ser´ıa entonces que un n´umero es suma de dos cuadrados si y s´olo si los primos impares que lo dividen con multiplicidad impar son congruentes con 1 m´odulo 4. Vamos a probar que la conjetura es exacta.
Consideremos en primer lugar la f´ormula
(a2+ b2)(c2+ d2) = (ac− bd)2+ (ad + bc)2.
Esta f´ormula no sale del aire, sino que es simplemente la forma expl´ıcita de expresar que la norma de un producto de elementos del cuerpoQ[i] es igual al producto de las normas. En este contexto nos garantiza que un producto de n´umeros expresables como suma de dos cuadrados es tambi´en expresable como suma de dos cuadrados. Ya hemos comentado que el rec´ıproco no es totalmente cierto, pero algo podemos probar.
Veamos que si a = pb donde p es primo y tanto a como p son suma de dos cuadrados, entonces b tambi´en lo es.
Para ello observemos que si p = u2+ v2 y a = r2+ s2, entonces
(us− rv)(us + rv) = u2s2− r2v2= u2s2+ u2r2− u2r2− r2v2
= u2(s2+ r2)− r2(u2+ v2) = u2a− r2p,
6.2. Sumas de dos cuadrados 69 Si p| (us + rv), entonces, como p2| ap y
ap = (r2+ s2)(u2+ v2) = (ru− sv)2+ (rv + us)2,
resulta que p2| (ru−sv)2, luego b =a p =
(ru−sv)2
p2 +
(rv+us)2
p2 , suma de cuadrados. Si p| (us − rv) razonamos igual con la f´ormula
ap = (s2+ r2)(u2+ v2) = (su− rv)2+ (sv + ur)2.
Esto implica que si un n´umero a, expresable como suma de dos cuadrados, es divisible por un n´umero b que no lo es, entonces el cociente tiene un factor primo no expresable como suma de dos cuadrados, pues tendr´ıamos a = bc y si todos los factores primos de c fueran expresables como suma de dos cuadrados, una aplicaci´on repetida del resultado anterior nos dar´ıa que b es tambi´en expresable como suma de dos cuadrados.
Ahora viene el resultado fundamental: si p es un primo tal que (a, b) = 1 y
p| (a2+ b2), entonces p es suma de dos cuadrados. Notar que si r es libre de
cuadrados y r = a2+ b2, entonces (a, b) = 1, pues si d| a y d | b, entonces d2| r.
Por lo tanto un n´umero libre de cuadrados es suma de dos cuadrados si y s´olo si sus factores primos lo son.
En efecto, sea a = pm± c, b = pn ± d, donde |c|, |d| ≤ p/2 (si el resto de la divisi´on resulta mayor que p/2 sumamos 1 al cociente y tomamos resto negativo).
Entonces a2+ b2= m2p2±2mpc+c2+ n2p2±2npd+d2= Ap + (c2+ d2). En
consecuencia p| (c2+ d2), o sea, c2+ d2= py, para cierto y. Como (c, d) < p, p no lo divide, luego (c, d)2| y.
Ahora dividimos la ecuaci´on c2+ d2= py hasta obtener e2+ f2= pz, donde
(e, f ) = 1 y pz≤ c2+ d2≤ (p/2)2+ (p/2)2= p2/2, luego z≤ p/2.
Si p no fuera suma de dos cuadrados, por el resultado anterior z tiene un factor primo q que tampoco es expresable como suma de dos cuadrados. En particular q≤ z < p.
Hemos probado que si existen n´umeros p, a, b, tales que p es primo, (a, b) = 1 y p divide a a2+ b2, entonces existen n´umeros q, e, f , en las mismas condiciones
y con q < p. Pero si existieran tales ternas de n´umeros deber´ıa haber una con
p m´ınimo, y seg´un lo visto es imposible.
Esto prueba la mayor parte de nuestra conjetura: Sea n = u2v donde v es
libre de cuadrados y supongamos que n es suma de dos cuadrados, n = a2+b2=
(a, b)2(c2+ d2) con (c, d) = 1. Entonces (a, b) | u, luego v | (c2+ d2). Por el
resultado que acabamos de probar todo primo que divide a v (luego a c2+ d2)
es suma de dos cuadrados, luego v es suma de dos cuadrados.
En resumen, tenemos probado que un n´umero es suma de dos cuadrados si y s´olo si lo es su parte libre de cuadrados, si y s´olo si los primos que dividen a su parte libre de cuadrados son suma de dos cuadrados. S´olo falta probar que los ´unicos primos impares expresables como suma de dos cuadrados son exactamente los congruentes con 1 m´odulo 4. La necesidad ya est´a probada. Veamos la suficiencia. Necesitamos un hecho curioso:
Consideremos las cuartas potencias de los primeros n´umeros naturales: 1, 16, 81, 256, 625, 1.296, 2.401, 4.096, 6.561, 10.000.
Ahora calculemos las diferencias entre cada n´umero obtenido y su anterior: 15, 65, 175, 369, 671, 1.105, 1.695, 2.465, 3.439.
Otra vez:
50, 110, 194, 302, 434, 590, 770, 974. Y otra vez:
60, 84, 108, 132, 156, 180, 204. Y a la cuarta vez obtenemos
24, 24, 24, 24, 24, 24.
Si el lector parte de otro exponente n distinto de cuatro llegar´a a un resultado similar. Unos cuantos ensayos le llevar´an a convencerse de que la sucesi´on obtenida se vuelve constante a partir del n–simo paso y que la constante que aparece es concretamente el n´umero n! ¿Sabr´ıa dar una prueba?
Veamos, para ello, que si p(x) es un polinomio con coeficientes enteros y de grado n no nulo, entonces p(x + 1)− p(x) es un polinomio de grado n − 1 cuyo coeficiente director es n veces el coeficiente director de p(x).
En efecto, sea p(x) = ni=0aixi. As´ı
p(x + 1)− p(x) = n i=0 ai(x + 1)i− n i=0 aixi.
Cada polinomio (x + 1)i tiene grado i, luego el ´unico monomio de grado n que aparece en p(x + 1) es el de an(x + 1)n, o sea, anxn, que se anula con el monomio correspondiente de p(x), luego el grado de p(x + 1)−p(x) es a lo sumo
n− 1. Ahora calculemos el monomio de grado n − 1.
En ni=0ai(x + 1)i tenemos dos sumandos con grado ≥ n − 1, a saber,
an(x + 1)n y an−1(x + 1)n−1. El monomio de grado n− 1 en cada uno de ellos es nanxn−1 y an−1xn−1, respectivamente, pero el ´ultimo se cancela con el correspondiente monomio de p(x). Por tanto el monomio de grado n− 1 en
p(x + 1)− p(x) es exactamente nanxn−1, con lo que ciertamente se trata de un polinomio de grado n− 1 con coeficiente director nan.
En consecuencia, si partimos del polinomio xn, las diferencias sucesivas son los valores que toma el polinomio (x + 1)n− xn, que es un polinomio de grado
n− 1 con coeficiente director n, las siguientes diferencias vienen dadas por un
polinomio de grado n− 2 y coeficiente director n(n − 1), luego las diferencias
n–simas vienen dadas por un polinomio de grado 0, o sea, constante y con
6.2. Sumas de dos cuadrados 71 Con ayuda de este hecho vamos a probar la conjetura que ten´ıamos pendien- te, seg´un la cual si un n´umero primo es congruente con 1 m´odulo 4, entonces es suma de dos cuadrados.
En efecto, sea p = 4n + 1. Por el teorema de Fermat sabemos que todo n´umero a entre 1 y p− 1 cumple [a]p−1 = 1 m´odulo p, es decir, [a]4n= 1, luego
[a + 1]4n− [a]4n = 0, es decir, p| (a + 1)4n− a4n para 1≤ a ≤ 4n − 1.
Por otra parte (a + 1)4n− a4n = ((a + 1)2n+ a2n)((a + 1)2n− a2n), luego o
bien p| (a + 1)2n+ a2n o bien p| (a + 1)2n− a2n.
Si p| (a + 1)2n+ a2n para alg´un n´umero a, entonces, como (a, a + 1) = 1,
sabemos que p es suma de dos cuadrados. Veamos que no es posible que p no divida a ninguno de estos n´umeros, es decir, que no es posible que se cumpla
p| (a + 1)2n− a2n para todo n´umero a entre 1 y 4n− 1. En tal caso p divide a
las 4n− 2 diferencias de las potencias 2n–simas de los 4n − 2 primeros n´umeros enteros, luego tambi´en a las 4n− 3 diferencias de sus diferencias, etc. y as´ı deber´ıa dividir a las 2n diferencias de orden 2n, que valen (2n)!, pero como p es primo, resulta que p divide a un m≤ 2n, lo cual es imposible ya que p = 4n+1. Lo que hemos visto es un ejemplo t´ıpico de una demostraci´on de teor´ıa de n´umeros de finales del siglo XVIII. Ahora vamos a probar los mismos resulta- dos con las t´ecnicas de principios del siglo XIX (siempre —por supuesto— con notaci´on moderna).
La norma en el anilloZ[i] viene dada por N(a + bi) = a2+ b2(ver el cap´ıtulo
anterior), luego un n´umero n es suma de dos cuadrados si y s´olo si existe un
u∈ Z[i] tal que N(u) = n.
Sabemos queZ[i] es un dominio de factorizaci´on ´unica. Notemos que
a + bi| (a + bi)(a − bi) = N(a + bi),
es decir, todo entero de Gauss divide a su norma.
Si π es un entero de Gauss primo, entonces π | N(π) y N(π) es un n´umero natural que se descompone en producto de primos enZ, luego π ha de dividir a uno de esos primos. Es decir, existe un primo p tal que π| p, luego N(π) | p2,
luego N(π) = p o N(π) = p2.
Si N(π) = p2 = N(p) entonces p y π son asociados (pues π divide a p y el
cociente tiene norma 1, luego es una unidad), luego π =±p, ±pi, y en particular concluimos que p es primo en Z[i]. A su vez esto implica que no hay primos de norma p, ya que tal primo ρ deber´ıa dividir a p, pero al ser p primo ρ ser´ıa asociado de p, luego su norma ser´ıa p2 y no p.
En resumen, un primo de Gauss π tiene norma p (y entonces p es suma de dos cuadrados) o bien tiene norma p2 (y entonces no hay primos de norma p,
luego p no es suma de dos cuadrados).
De aqu´ı se siguen la mayor´ıa de los hechos que hemos probado antes: un n´umero n es suma de dos cuadrados si y s´olo si existe un entero de Gauss u tal que N(u) = n. Si descomponemos u = π1· · · πr en producto de primos queda
n = N(π1)· · · N(πr).
Ahora es obvio que si un primo p divide a n con exponente impar, uno de los factores N (πi) ha de ser igual a p (si s´olo hubiera del tipo p2el exponente en n
ser´ıa par), luego p es suma de dos cuadrados. Rec´ıprocamente, si los primos que dividen a n con exponente impar son suma de dos cuadrados, podemos formar un entero de Gauss u de norma n (multiplicando primos de Gauss de norma p si el exponente de p en n es impar y primos naturales p si el exponente es par). En resumen: un n´umero es suma de dos cuadrados si y s´olo si los primos que lo dividen con exponente impar son sumas de dos cuadrados. Teniendo en cuenta que la parte libre de cuadrados de un n´umero es el producto de los primos que lo dividen con exponente impar, esto implica todo lo que hab´ıamos probado excepto una cosa: que los primos que son suma de dos cuadrados son 2 y los congruentes con 1 m´odulo 4. En t´erminos de enteros de Gauss esto significa que hay enteros de Gauss de norma p si y s´olo si p = 2 o bien
p≡ 1 (m´od 4).
La prueba que hemos visto de que los primos impares p = x2 + y2 son
congruentes con 1 m´odulo 4 es trivial, por lo que no tiene sentido buscar una alternativa. Por el contrario, vamos a dar una prueba “m´as moderna” del rec´ıproco.
Supongamos que p ≡ 1 (m´od 4). Hemos de probar que p es suma de dos cuadrados o, equivalentemente, que p no es primo enZ[i] (pues esto ya implica que p factoriza en dos primos de norma p, luego es suma de dos cuadrados). A su vez, para ello basta probar que existe un n∈ Z tal que −1 ≡ n2(m´od p). En
efecto, en tal caso p| n2+ 1 = (n + i)(n− i), pero claramente p n ± i en Z[i],
luego p no puede ser primo.
En otros t´erminos, hemos de probar que −1 tiene ra´ız cuadrada en Z/pZ. Para ello consideramos el polinomio x(p−1)/2− 1, entre cuyas ra´ıces est´an todos
los cuadrados no nulos deZ/pZ (por el teorema de Fermat 5.7). Por otra parte, en Z/pZ hay (p − 1)/2 cuadrados no nulos (x2 = y2 si y s´olo si y = ±x, y x= −x). Como un polinomio tiene a lo sumo tantas ra´ıces en un cuerpo como
indica su grado, concluimos que las ra´ıces de x(p−1)/2− 1 son exactamente los
elementos con ra´ız cuadrada. Ciertamente, si p≡ 1 (m´od 4) tenemos que −1 es una de dichas ra´ıces.
Con lo visto podemos comprender la utilidad de los conceptos algebraicos tales como el anillo de enteros de Gauss. La prueba que hemos obtenido con ellos es mucho m´as sencilla, no requiere apenas c´alculos, es por tanto m´as f´acil de recordar y explica realmente por qu´e la propiedad de ser suma de dos cuadrados depende s´olo de la parte libre de cuadrados. En muchos casos, las t´ecnicas algebraicas permiten llegar a resultados que ser´ıan imposibles mediante meros c´alculos. M´as adelante veremos m´as ejemplos.