Pierre de Fermat fue un eminente matem´atico que realiz´o grandes descubri- mientos en teor´ıa de n´umeros, pero, de acuerdo con las costumbres de su ´epoca, jam´as public´o nada, y su trabajo es conocido por la correspondencia que man- tuvo con otros matem´aticos as´ı como por la publicaci´on p´ostuma de sus obras, llevada a cabo por su hijo Samuel. Entre las notas as´ı publicadas se encontraban ciertas anotaciones en los m´argenes de una edici´on de la Aritm´etica de Diofanto, una de las cuales, situada junto al punto en el que Diofanto encuentra las ternas pitag´oricas, afirma que mientras —ciertamente— existen n´umeros enteros que satisfacen la ecuaci´on x2+ y2= z2, el resultado es falso para exponentes mayo-
res que dos, es decir, la ecuaci´on xn+ yn= zn no tiene soluciones positivas para
n > 2. Fermat afirma tener una maravillosa demostraci´on de este hecho, pero que no cabe en el margen del libro. Indudablemente Fermat debi´o de cometer un error, pues s´olo recientemente se ha encontrado una compleja prueba basada en potentes t´ecnicas algebraicas de las que Fermat distaba mucho de disponer.
La afirmaci´on:
La ecuaci´on xn+ yn= zn no tiene soluciones enteras positivas para
exponentes n > 2.
se conoce con el nombre de ´Ultimo Teorema de Fermat, aunque, seg´un lo dicho, es pr´acticamente seguro que Fermat nunca lo demostr´o ni tampoco fue su ´ultima conjetura, ni mucho menos.
Aqu´ı vamos a resolver algunos casos particulares del ´Ultimo Teorema de Fermat y daremos algunas indicaciones del camino que permite obtener m´as re- sultados sobre ´el.El caso m´as simple, dado el estudio sobre las ternas pitag´oricas que hemos llevado a cabo, es el caso n = 4.
Teorema 6.2 La ecuaci´on, x4+ y4= z2no tiene soluciones enteras positivas. En particular el ´Ultimo Teorema de Fermat es cierto para n = 4.
Demostraci´on: Si existen soluciones positivas de la ecuaci´on x4+ y4= z2, entonces (x2, y2, z) es una terna pitag´orica. Notar que si dividimos x, y, z por su
m.c.d. obtenemos n´umeros primos entre s´ı que siguen cumpliendo la ecuaci´on (notemos que si un primo p divide a x y a y, entonces p2 divide a z), luego
podemos suponer que (x, y, z) = 1, y claramente esto implica que en realidad son primos entre s´ı dos a dos y que la terna (x2, y2, z) es primitiva.
Seg´un los resultados de la secci´on primera, x2= 2pq, y2= p2−q2, z = p2+q2,
donde p y q son n´umeros enteros primos entre s´ı, de distinta paridad y p > q > 0 (intercambiamos x con y si es necesario para que x2 sea el par).
Ahora, p2= y2+ q2, luego (q, y, p) es otra terna pitag´orica, lo que obliga a
que p sea impar, luego q ha de ser par, y as´ı q = 2ab, y = a2− b2, p = a2+ b2,
para ciertos enteros a y b primos entre s´ı, de paridad opuesta, a > b > 0 (notar que se trata de una terna primitiva porque (p, q) = 1).
Por lo tanto x2= 4ab(a2+ b2) y en consecuencia ab(a2+ b2) = (x/2)2. Por
6.6. El ´Ultimo Teorema de Fermat 81 Ahora usamos una vez m´as un argumento muy simple pero importante: si el producto de dos n´umeros naturales primos entre s´ı es un cuadrado, entonces ambos son cuadrados, pues cada uno de ellos debe tener cada factor primo con exponente par.
Concluimos que ab y a2+ b2 son cuadrados y, por el mismo argumento,
tambi´en lo son a y b. Digamos a = u2, b = v2, a2+ b2= w2.
Entonces u4+ v4= a2+ b2= w2= p < p2+ q2= z < z2.
En resumen, si existe una terna de n´umeros positivos (x, y, z) de manera que
x4+ y4 = z2, existe otra (u, v, w) que cumple lo mismo pero con w2 < z2. Si
existieran tales ternas deber´ıa haber una con z m´ınimo, lo cual es falso seg´un lo visto, por lo que la ecuaci´on no tiene soluci´on.
Es importante notar que el teorema anterior no s´olo prueba el ´Ultimo Teo- rema de Fermat para n = 4, sino en general para n = 4k. En efecto, si existieran n´umeros positivos (x, y, z) tales que x4k+ y4k= z4k, entonces (xk, yk, zk) ser´ıa una soluci´on a la ecuaci´on x4+ y4 = z4, lo cual es imposible. En particular el
´
Ultimo Teorema de Fermat es cierto para las potencias de dos.
De aqu´ı se sigue ahora que si el ´Ultimo teorema de Fermat es cierto para exponentes primos impares, entonces es cierto para todo exponente. En efecto, si existen soluciones positivas a una ecuaci´on xn+ yn = zn, entonces n no puede ser potencia de 2, luego existe un primo impar p tal que p| n, o sea, n = pk, para cierto entero k, luego (xk, yk, zk) es una soluci´on positiva a la ecuaci´on
xp+ yp= zp.
Observemos que si p es impar el ´Ultimo Teorema de Fermat equivale a la no existencia de soluciones enteras no triviales (o sea, con xyz= 0) de la ecuaci´on
xp+ yp+ zp= 0,
lo que muestra que en realidad el papel de las tres variables es sim´etrico. Esto simplifica algunos argumentos.
El caso p = 3 fue demostrado por Euler, y en la prueba aparecen nuevas ideas de inter´es. Vamos a verlo.
Teorema 6.3 No existen enteros no nulos x, y, z tales que x3+ y3= z3.
Demostraci´on: Vamos a seguir la prueba del teorema 6.2. Para empe- zar suponemos que existen n´umeros (x, y, z) que cumplen x3+ y3 = z3. Di-
vidi´endolos entre su m.c.d. podemos suponer que son primos entre s´ı y, al cum- plir la ecuaci´on, han de ser primos entre s´ı dos a dos. Es obvio que a lo sumo uno de los tres n´umeros puede ser par, pero si x, y son impares entonces z es par, luego exactamente uno de ellos es par.
Por simetr´ıa podemos suponer que x e y son impares. Entonces x + y, x− y son pares, digamos x + y = 2p, x− y = 2q. As´ı x = p + q, y = p − q.
Ahora consideramos la factorizaci´on siguiente:
x3+ y3= (x + y)(x2− xy + y2)
[No es dif´ıcil llegar a ella: basta observar que el polinomio x3+ 1 tiene una ra´ız
x3+ 1 = (x + 1)(x2− x + 1). Ahora se sustituye x por x/y y se multiplica por y3.]
Sustituyendo obtenemos
x3+ y3= 2p(p + q)2− (p + q)(p − q) + (p − q)2= 2p(p2+ 3q2). Adem´as podemos afirmar que p y q son primos entre s´ı (un factor com´un lo ser´ıa de x e y) y tienen paridades opuestas (porque x = p + q es impar). Cambiando el signo de x, y, z si es necesario podemos suponer que x + y > 0, luego p > 0 e, intercambiando x con y si es necesario, tambi´en q > 0 (no puede ser que x = y, pues q ser´ıa 0, y como (x, y) = 1 habr´ıa de ser x = y = 1, y entonces z3= 2, lo cual es imposible).
En resumen, si existe una soluci´on (x, y, z) con x e y impares, entonces existen n´umeros naturales no nulos p y q de paridad opuesta, primos entre s´ı tales que el n´umero 2p(p2+ 3q2) es un cubo.
El an´alogo en la prueba del teorema 6.2 era la factorizaci´on x2= 4ab(a2+b2),
que nos daba que ab(a2+ b2) deb´ıa ser un cuadrado. Igualmente nosotros hemos
de justificar que los n´umeros 2p y p2+ 3q2son primos entre s´ı, con lo que cada
uno de ellos ser´a un cubo.
En realidad esto no tiene por qu´e ser cierto, pero poco falta. Notemos primero que, como p y q tienen paridad opuesta, p2+ 3q2es impar, de donde se
sigue claramente que (2p, p2+ 3q2) = (p, p2+ 3q2) = (p, 3q2) y como (p, q) = 1
el ´unico factor com´un de p y 3q2 es 3. En otras palabras, si 3 no divide a p,
entonces (2p, p2+ 3q2) = 1. Supongamos que es as´ı.
Entonces, seg´un lo dicho, 2p y p2+ 3q2 son cubos. En este punto usamos
el resultado de la secci´on anterior (el an´alogo en el caso que nos ocupa a la clasificaci´on de las ternas pitag´oricas). Tenemos que p = a(a− 3b)(a + 3b),
q = 3b(a− b)(a + b). Claramente a y b son primos entre s´ı y tienen paridades
opuestas (o si no p y q ser´ıan pares).
Por otra parte 2p = 2a(a− 3b)(a + 3b) es un cubo. Veamos de nuevo que los factores 2a, a− 3b y a + 3b son primos entre s´ı dos a dos, con lo que los tres ser´an cubos.
Como a y b tienen paridades opuestas, a− 3b y a + 3b son impares, luego un factor com´un de 2a y a± 3b es un factor de a y a ± 3b, luego un factor com´un de a y 3b. Igualmente un factor com´un de a + 3b y a− 3b lo es de a y 3b, luego basta probar que (a, 3b) = 1. Puesto que (a, b) = 1, lo contrario obligar´ıa a que 3| a, pero entonces 3 | p y estamos suponiendo lo contrario.
As´ı pues, 2a = u3, a−3b = v3, a+3b = w3, luego v3+w3= 2a = u3. Nuestro
objetivo es encontrar una soluci´on de la ecuaci´on de Fermat con z3par y menor
(en valor absoluto) que el valor del que hemos partido. As´ı podremos concluir que no pueden existir tales soluciones ya que no puede haber una m´ınima. Hemos de reordenar la terna (u, v, w) para dejar en tercer lugar la componente par. Como u3v3w3= 2a(a−3b)(a+3b) = 2p | z3, lo cierto es que la componente
par, sea cual sea, es menor en m´odulo que z3.
Falta llegar a la misma conclusi´on si 3| p. Supongamos que p = 3s y que 3 q. Entonces nuestro cubo es 2p(p2+ 3q2) = 32· 2s(3s2+ q2) y los n´umeros
6.7. Enteros ciclot´omicos 83