divisores comunes posibles sean 2 y 3, pero 3s2+ q2 es impar (luego 2 no sirve)
y 3 q, (luego tampoco sirve).
Consecuentemente 32·2s = u3y 3s2+ q2= v3. Por el resultado de la secci´on
anterior, q = a(a− 3b)(a + 3b), s = 3b(a − b)(a + b).
Por otro lado 32· 2s = 33· 2b(a − b)(a + b) es un cubo, luego 2b(a − b)(a + b)
tambi´en lo es. El resto de la prueba es pr´acticamente igual al caso anterior.
6.7
Enteros ciclot´omicos
Hay dos aspectos de la prueba anterior que conviene destacar. Uno es el uso de la descomposici´on x3+ y3= (x + y)(x2− xy + y2) en el comienzo de la
demostraci´on. El otro es el uso del anilloZ√−3 como un medio de obtener resultados sobre n´umeros enteros pasando por n´umeros “imaginarios”.
El caso p = 5 del ´ultimo teorema de Fermat fue demostrado independiente- mente por Dirichlet y Legendre mediante t´ecnicas similares, considerando fac- torizaciones m´as complejas y ayud´andose del anillo Z√−5. Sin embargo la prueba resulta mucho m´as complicada que la que acabamos de ver y los ca- sos superiores se vuelven pr´acticamente intratables debido a que la complejidad aumenta desmesuradamente. Dirichlet intent´o probar el caso p = 7, pero s´olo consigui´o una prueba para exponente 14.
Fue Kummer quien, bas´andose en ideas de Lam´e, obtuvo una prueba del teo- rema de Fermat para una amplia clase de primos. No estamos en condiciones de abordar la teor´ıa de Kummer, pero podemos indicar en qu´e se basa. Esencial- mente se trata de usar n´umeros “imaginarios” para simplificar la factorizaci´on de xp+ yp. Concretamente, tenemos la factorizaci´on
xp− 1 = (x − 1)(xp−1+· · · + x + 1),
y vimos en el cap´ıtulo anterior que el factor p(x) = xp−1 +· · · + x + 1 es irreducible. El teorema 5.21 nos da que existe un cuerpo Q[ω] en el que p(x) tiene una ra´ız ω. Concretamente
Q[ω] = {ap−2ωp−2+· · · + a1ω + ao| ap−2, . . . , a0∈ Q},
y adem´as la expresi´on de cada elemento es ´unica. Por razones que ahora no podemos explicar a este cuerpo se le llama cuerpo ciclot´omico p–´esimo.
Como p(ω) = 0 y p(x) | xp− 1, resulta que ωp− 1 = 0, o sea, ωp = 1 y, obviamente, ω= 1.
No puede ocurrir que ωn = 1 para 0 < n < p, pues entonces, tomando el m´ınimo n que cumple esto, p = nc + r con 0 < r < p (p es primo), y entonces
ωp= (ωn)c·ωr= ωr= 1, contradicci´on. Esto significa que las potencias 1 = ω0, ω, ω2, . . . , ωp−1, son distintas dos a dos, pues si ωi= ωj, entonces ωi−j= 1.
Adem´as todas cumplen (ωi)p= 1, luego son las p ra´ıces del polinomio xp−1, o sea, xp− 1 = (x − 1)(x − ω) · · · (x − ωp−1).
Sustituyendo x =−x/y y multiplicando por −ypobtenemos la factorizaci´on
xp+ yp= (x + y)(x + ωy)· · · (x + ωp−1y).
Esta factorizaci´on en polinomios de grado 1 es la m´as simple posible, y es la clave para obtener pruebas del teorema de Fermat para numerosos valores de p. Para ello es necesario estudiar el cuerpoQ[ω] as´ı como el anillo de los llamados
enteros ciclot´omicos:
Z[ω] = {ap−2ωp−2+· · · + a1ω + a0| ap−2, . . . , a0∈ Z}.
Ello supone desarrollar una compleja teor´ıa que nos queda muy lejana. Sin embargo vamos a hacer alguna observaci´on adicional sobre estos anillos.
Como la relaci´on ωp= 1 es m´as sencilla de manejar que la relaci´on
ωp−1+· · · + ω + 1 = 0, (6.5) resulta conveniente trabajar con los elementos deQ[ω] en la forma
ap−1ωp−1+· · · + a1ω + a0 (6.6)
(de modo que, al operar, simplemente reducimos las potencias ωp que puedan aparecer).
El ´unico inconveniente es que la expresi´on ya no es ´unica. Si tenemos
ap−1ωp−1+· · · + a1ω + a0= 0,
usando la relaci´on (6.5) tenemos que
ap−1ωp−1+· · · + a1ω + a0− ap−1(ωp−1+· · · + ω + 1) = 0, o sea,
(ap−2− ap−1)ωp−2+· · · + (a1− ap−1)ω + (a0− ap−1) = 0, y por la unicidad
ap−1= ap−2=· · · = a1= a0.
De aqu´ı se sigue en general que
ap−1ωp−1+· · · + a1ω + a0= bp−1ωp−1+· · · + b1ω + b0
si y s´olo si (restando los dos miembros)
ap−1− bp−1= ap−2− bp−2=· · · = a1− b1= a0− b0,
o en otras palabras, si existe un n´umero racional c tal que ai = bi+ c, para todo
i = 0, . . . , p− 1. Equivalentemente, los coeficientes de una expresi´on (6.6) est´an
un´ıvocamente determinados salvo suma de un n´umero racional (o de un n´umero entero si el elemento est´a en Z[ω]).
6.7. Enteros ciclot´omicos 85 En los pr´oximos cap´ıtulos iremos aplicando a estos anillos los resultados que vayamos obteniendo.
Para terminar, notemos que para p = 3 el elemento ω es ra´ız del polinomio
x2+ x + 1, y por lo tanto
ω = −1 + √
−3
2 .
De aqu´ı se sigue f´acilmente que Q[ω] = Q[√−3], aunque Z[√−3] Z[ω]. Esta inclusi´on es en el fondo la raz´on por la que se cumplen los resultados que hemos visto en la secci´on 6.3, pues sucede que el anillo
Z[ω] = Z
1 +√−3 2
s´ı tiene factorizaci´on ´unica (es un dominio eucl´ıdeo), y lo que hemos visto en la secci´on 6.3 es un reflejo de dicha factorizaci´on en el subanillo Z[√−3]. No estamos en condiciones de probar te´oricamente la relaci´on entre la factorizaci´on de uno y otro anillo, pero lo dicho basta para comprender que los resultados que hemos probado mediante c´alculos prolijos pueden ser vistos como consecuencias claras de fen´omenos abstractos conceptualmente mucho m´as simples y mucho m´as comprensibles.
Ejercicio: Justificar que la igualdad 2 · 2 = (1 +√−3)(1 −√−3) no contradice la
Cap´ıtulo VII
M´odulos y espacios
vectoriales
En este cap´ıtulo introduciremos una nueva estructura algebraica m´as sencilla que la de anillo. La idea es que la estructura de los anillos es en general muy complicada, pero, prescindiendo en parte de la operaci´on de producto, obte- nemos una estructura m´as simple que puede ser analizada con facilidad y nos proporciona informaci´on importante.
7.1
M´odulos
Definici´on 7.1 Sea A un anillo unitario. Un A–m´odulo izquierdo es una terna
(M, +,·) tal que M es un conjunto, + : M × M −→ M es una operaci´on interna en M y· es lo que se llama una operaci´on externa en M con dominio de operadores en A, lo que significa simplemente que · : A × M −→ M. Adem´as se han de cumplir las propiedades siguientes:
1. (r + s) + t = r + (s + t) para todos los r, s, t∈ M. 2. r + s = s + r para todos los r, s∈ M.
3. Existe un elemento 0∈ M tal que r + 0 = r para todo r ∈ M. 4. Para todo r∈ M existe un elemento −r ∈ M tal que r + (−r) = 0. 5. a(r + s) = ar + as para todo a∈ A y todos los r, s ∈ M.
6. (a + b)r = ar + br para todos los a, b∈ A y todo r ∈ M. 7. a(br) = (ab)r para todos los a, b∈ A y todo r ∈ M. 8. 1r = r para todo r∈ M.
Observamos que la suma en un m´odulo ha de cumplir las mismas propiedades que la suma en un anillo, por lo que las propiedades elementales de la suma de anillos valen para m´odulos. Por ejemplo, el elemento 0 que aparece en la propiedad 3 es ´unico, as´ı como los elementos sim´etricos que aparecen en 4.
Un A–m´odulo derecho se define igualmente cambiando la operaci´on externa por otra de la forma· : M × A −→ M. La ´unica diferencia significativa es que la propiedad 7 se convierte en (rb)a = r(ba), que escrito por la izquierda ser´ıa
a(br) = (ba)r (en lugar de a(br) = (ab)r, que es la propiedad de los m´odulos izquierdos).
Mientras no se indique lo contrario s´olo consideraremos m´odulos izquierdos, aunque todo vale para m´odulos derechos. Seguiremos el mismo convenio que con los anillos, seg´un el cual las operaciones de un m´odulo se representar´an siempre con los mismos signos, aunque sean distintas en cada caso. Tambi´en escribiremos M en lugar de (M, +,·).
Si D es un anillo de divisi´on, los D–m´odulos se llaman espacios vectoriales. Tenemos disponibles muchos ejemplos de m´odulos:
En primer lugar, si A es un anillo unitario, entonces A es un A–m´odulo con su suma y su producto.
M´as en general, si B es un anillo unitario y A es un subanillo que contenga a la identidad, entonces B es un A–m´odulo con la suma de B y el producto restringido a A× B.
M´as en general a´un, si φ : A −→ B es un homomorfismo de anillos uni- tarios tal que φ(1) = 1, entonces B es un A–m´odulo con la suma en B y el producto dado por ab = φ(a)b (el ejemplo anterior ser´ıa un caso particular de ´
este tomando como homomorfismo la inclusi´on).
Un caso particular de este ejemplo es que si A es un anillo unitario e I es un ideal de A, entonces el anillo cociente A/I es un A–m´odulo con su suma y el producto dado por a[b] = [ab] (basta tomar como φ el epimorfismo can´onico).
Otro caso particular es que si A es un anillo unitario, entonces A es un Z– m´odulo con el producto usual de un entero por un elemento de A (tomando
φ(m) = m1).
Enunciemos a continuaci´on las propiedades elementales de los m´odulos. To- das se demuestran igual que para anillos. Observar que el producto de n´umeros enteros por elementos de un m´odulo est´a definido exactamente igual que para anillos.
Teorema 7.2 Sea A un anillo unitario y M un A–m´odulo. 1. Si r + s = r + t entonces s = t para todos los r, s, t∈ M, 2. r + r = r si y s´olo si r = 0, para todo r∈ M,
3. −(−r) = r para todo r ∈ M,
7.1. M´odulos 89
5. a0 = 0r = 0, para todo a∈ A y todo r ∈ M,
6. n(ar) = (na)r = a(nr), para todo n∈ Z, a ∈ A y r ∈ M,
7. Si A es un anillo de divisi´on, a ∈ A, r ∈ M y ar = 0, entonces a = 0 o r = 0.
(Por ejemplo, la propiedad 7 se cumple porque si a= 0, entonces existe a−1 y por tanto a−1ar = a−10 = 0, 1r = 0, r = 0).
Definici´on 7.3 Sea A un anillo unitario y M un A–m´odulo. Diremos que un m´odulo N es un subm´odulo de M si N ⊂ M y las operaciones de N son las
mismas que las de M .
Evidentemente, si un subconjunto de un m´odulo dado puede ser dotado de estructura de subm´odulo, la forma de hacerlo es ´unica (pues las operaciones en N han de ser las restricciones de las de M ). Por tanto es indistinto ha- blar de subm´odulos de M que de subconjuntos que pueden ser estructurados como subm´odulos. No siempre es posible considerar a un subconjunto como subm´odulo (por ejemplo si no contiene al 0), las condiciones que se han de cumplir las da el teorema siguiente.
Teorema 7.4 Sea A un anillo unitario y M un A–m´odulo. Un subconjunto N de M puede ser dotado de estructura de subm´odulo si y s´olo si cumple las condiciones siguientes:
1. N= ∅,
2. Si r, s∈ N entonces r + s ∈ N, 3. Si a∈ A y r ∈ N, entonces ar ∈ N.
Demostraci´on: Obviamente si N es un subm´odulo ha de cumplir estas condiciones. Si N cumple estas condiciones entonces por 2) y 3) la suma y el producto est´an definidos en N . Por 1) existe un r∈ N, por 3) −r = (−1)r ∈ N, por 2) 0 = r− r ∈ N. Por tanto N tiene neutro y de nuevo por 3) el sim´etrico de cada elemento de N est´a en N . El resto de las propiedades exigidas por la definici´on se cumplen por cumplirse en M .
Observar que las condiciones 2) y 3) del teorema anterior pueden resumirse en una sola:
Teorema 7.5 Sea A un anillo unitario y M un A–m´odulo. Un subconjunto N de M puede ser dotado de estructura de subm´odulo si y s´olo si N = ∅ y para todos los a, b∈ A y todos los r, s ∈ N se cumple que ar + bs ∈ N.
Definici´on 7.6 De los teoremas anteriores se desprende que si A es un anillo
unitario y M es un A–m´odulo, entonces M y 0 = {0} son subm´odulos de M, y se llaman subm´odulos impropios. Cualquier otro subm´odulo de M se llama
Tambi´en es obvio que la intersecci´on de una familia de subm´odulos de M es un subm´odulo de M . Si X es un subconjunto de M llamaremos subm´odulo generado por X a la intersecci´on de todos los subm´odulos de M que contienen a X. Lo representaremosX.
Es inmediato a partir de la definici´on que si N es un subm´odulo de M y
X ⊂ N, entonces X ⊂ N. Igualmente si X ⊂ Y ⊂ M, entonces se cumple X ⊂ Y . Notar que ∅ = 0.
Cuando el conjunto X sea finito, X = {x1, . . . , xn}, escribiremos tambi´en
X = x1, . . . , xn.
Si M = X diremos que el conjunto X es un sistema generador de M. Diremos que M es finitamente generado si tiene un sistema generador finito. El modulo M es mon´ogeno si admite un generador con un solo elemento.
Teniendo en cuenta que al considerar a un anillo conmutativo y unitario A como A–m´odulo los subm´odulos coinciden con los ideales, es inmediato que el subm´odulo generado por un subconjunto X coincide con el ideal generado por
X, es decir, (X) =X.
Es f´acil reconocer los elementos del subm´odulo generado por un subconjunto:
Teorema 7.7 Sea A un anillo unitario, M un A–m´odulo y X ⊂ M. Entonces X = n i=1 airin∈ N, ai∈ A, ri∈ X .
La prueba es sencilla: un subm´odulo que contenga a X ha de contener necesariamente al conjunto de la derecha, pero es f´acil ver que este subconjunto es de hecho un subm´odulo, luego contiene aX.
Veamos algunos ejemplos concretos. El cuerpo Q√−3 considerado en el cap´ıtulo anterior es un Q–espacio vectorial. Como cuerpo no tiene ideales propios, pero comoQ–espacio vectorial tiene infinitos subespacios. Por ejemplo
1 = {a1 | a ∈ Q} = Q, o √−3 = {a√−3 | a ∈ Q}, 5 + 2√−3 =
{a5 + 2a√−3 | a ∈ Q}, etc.
El anillo Z√−3 es un Z–m´odulo. Cambiando Q por Z en los ejemplos anteriores tenemos ejemplos de subm´odulos deZ√−3.
Los m´odulos cociente se definen exactamente igual que los anillos cociente, aunque para nosotros tendr´an un inter´es secundario.
Definici´on 7.8 Sea A un anillo unitario, M un A–m´odulo y N un subm´odulo de M . Definimos en M la relaci´on de congruencia m´odulo N mediante
r≡ s (m´od N) si y s´olo si r − s ∈ N.
Es f´acil probar que se trata de una relaci´on de equivalencia en M . Llamare- mos M/N al conjunto cociente. La clase de equivalencia de un elemento r∈ M es