Empresas Fundamentales.

Ivan Mojsej, Alena Tartaľová

Abstract: The presence of the extreme values on the both tails of the income distribution can

affect the characteristics constructed from the data. Social indicators of poverty and inequality are known to be potentially sensitive to the occurrence of extreme incomes. The paper presents sensitivity analysis of indicators estimated from EU SILC which is the reference source for comparative statistics on income distribution and social exclusion in the EU. We considered simple data adjustment, trimming and winsorizing.

Abstrakt: Prítomnosť extrémnych hodnôt na oboch koncoch rozdelenia príjmov môže

ovplyvniť vypočítané číslené charakterstiky z týchto údajov. Sociálne indikátory nerovnosti a chudoby su známe tým, že sú citlivé na výskyt extrémenych hodnôt. V práci prezentujeme analýzu citlivosti vybraných indikátorov odhadnutých na základe údajov z databázy EU SILC, ktorá predstavuje referenčný zdroj údajov, ktorý slúži na porovnávanie príjmového rozdelenia a sociálnej exklúzie v rámci EÚ. Uvažovali sme dve metódy úpravy údajov, „trimming” a „winsorizing”.

Key words: inequality, extreme income, trimming, winsorizing, EU SILC Kľúčové slová: nerovnosť, extrémne príjmy, trimming, winsorizing, EU SILC JELclassification: C13, I30, I32

1.Úvod

Hlavným nástrojom v analýzach o príjmoch a životných podmienkach v EÚ je databáza EU SILC (EU Statistics on Income and Living Conditions), ide o zisťovanie, ktoré sa od roku 2003 nariadením EK č. 1177/2003 každoročne realizuje. Výberové zisťovanie EU SILC realizuje od roku 2005 na Slovensku Štatistický úrad Slovenskej republiky. Ide o harmonizované zisťovanie členských štátov EU, ktorého úlohou je zabezpečiť produkciu pravidelných, včasných a kvalitných údajov o príjmoch, chudobe a sociálnom vylúčení. Zisťovanie EU SILC sa stalo zdrojovou základňou pre analýzy životnej úrovne obyvateľstva, ako i pre koncepčné zámery a prijímanie opatrení smerujúcich k zvyšovaniu kvality života občanov SR. Jednotkami výberu v EU SILC sú hospodáriace domácnosti a jej súčasní členovia, preto tieto mikroúdaje umožňujú porovnanie na úrovni domácností rovnako aj na úrovni jednotlivca. Hlavným cieľom zisťovania je ponúknuť porovnateľné indikátory chudoby a nerovnosti v rámci EÚ. Problémom týchto indikátorov je však ich citlivosť na extrémne vysoké, ale tiež extrémne nízke príjmy. Navyše niektoré indexy (napríklad Atkinsonov index nerovnosti, Wattsov index chudoby, indexy založené na entropii a pod.) nie sú pre záporné príjmy, ktoré sa v databáze vyskytujú, definované. Podľa odporúčania Eurostatu (pozri Eurostat 2006), by sa mali záporné príjmy nahradiť nulou alebo úplne z databázy vylúčiť. Vo viacerých prácach autorov bolo ukázané, že odhad indexov chudoby a nerovnosti je citlivý na výskyt extrémnych príjmov a to rovnako v prípade extrémne vysokých ako aj nízkych príjmov. Pred samotným výpočtom určitého indikátora by sa teda mala určitá úprava vstupných údajov urobiť. Cieľom tohto príspevku je analýza vplyvu extrémnych hodnôt na vybrané indikátory a tiež metódy úpravy údajov a ich efekt na výslednú hodnotu indikátora. Ukážeme si dve metódy – metódu nazvanú „trimming“ a metódu „winsorizing“, ktoré neprekladáme, keďže zatiaľ nemajú slovenský ekvivalent. (pozri Eurostat 2007)

2.Úprava súboru s extrémnymi hodnotami a výsledky analýzy citlivosti

Na úpravu údajov sa používajú najmä dve metódy – trimming a winsorizing. Často krát sa tieto metódy zamieňajú, dokonca niekedy aj nesprávne používajú.

Trimming – predstavuje odseknutie určitého percenta údajov na pravom aj ľavom konci rozdelenia, teda vylúčenie najnižších a najvyšších. Môže sa pritom použiť aj to, že sa odsekne napríklad 10 najnižších a 10 najvyšších príjmov. Uvádzame aj kód v programe R na príklade odseknutia 5% hodnôt na oboch koncoch rozdelenia..

x_0.05 <- x[ x>quantile(x, .05) & x<quantile(x, .95)]

Winsorizing – tento spôsob je podobný predchádzajúcemu, no namiesto vylúčenia hodnôt, sú extrémne nízke a extrémne vysoké hodnoty nahradené hodnotou, ktoré predstavuje tzv. prah odseknutia. V programe R by úprava údajov vyzerala takto:

winsorize <- function(x, q=0.05) { extrema <- quantile(x, c(q, 1-q)) x[x<extrema[1]] <- extrema[1] x[x>extrema[2]] <- extrema[2] x }

Analýzu citlivosti vykonáme na vybraných indikátoroch a indexoch nerovnosti, ktoré sa dajú rozdeliť do troch skupín (pozri Van Kern, 2006):

• Indikátory založené na strednej hodnote – patrí sem stredná hodnota, teda aritmetický priemer hodnôt a medián. Očakávame, že stredná hodnota, bude viac ovplyvnená úpravou údajov ako medián.

• Indikátory nerovnosti:

- Podiel P80/P20 – veľmi jednoduchý, ale pritom efektívny spôsob ako vyjadriť príjmovú nerovnosť je porovnanie decilov. Pomer P80/P20 vyjadruje pomer príjmu, ktorý sa nachádza na 80-tom percentile, teda oddeľuje 20 % najvyšších príjmov, a príjmu, ktorý sa nachádza na 20-tom percentile a oddeľuje 20 % najnižších príjmov. Napríklad hodnota pomeru rovná 3 vyjadruje, že 20 % domácností s najvyššími príjmami má príjem 3-krát vyšší ako 20 % domácností s najnižšími príjmami. Všeobecne platí, že čím je tento podiel vyšší, tým väčšia je miera príjmovej nerovnosti.

- Podiel P90/P10 – podobne ako podiel P80/P20, vyjadruje pomer 10 % najvyšších a 10% najnižších príjmov.

• Indexy príjmovej nerovnosti

- Giniho koeficient - Tento ukazovateľ príjmovej nerovnosti je určite najznámejším koeficientom resp. indexom, ktorý sa používa na hodnotenie príjmovej nerovnosti. Giniho koeficient je matematicky založený na Lorenzovej krivke. Giniho koeficient

potom počítame ako pomer plochy medzi nivelizovanou a skutočnou Lorenzovou krivkou k ploche pod nivelizovanou krivkou. (pozri Cowell, 2000)

- Atkinsonov index - Index je založený na výpočte tzv. spravodlivého primerného príjmu, ktorý je definovaný ako príjem skupiny, ktorý je rovnomerne rozdelený medzi príjemcov. (pozri Cowell, 2000)

- Generalized Entropy (GE) index – Ide o všeobecný index, ktorý spĺňa vlastnosti tzv. „ mean independence“, čo znamená, že ak sa všetky príjmy vynásobia určitou konštantou, miera nerovnosti sa nezmení. Ďalej je to „additive decomposability“ odkazujúca k možnosti dekomponovať nerovnosť na sumu vnútro-skupinových nerovnosti a nerovností medzi skupinami. Dôležitou charakteristikou je aj splnenie tzv. „transfer axiom“, ktorý vyžaduje, aby pri akomkoľvek transfere od bohatého jedinca k chudobnejšiemu došlo k zvýšeniu nerovnosti. (pozri Cowell, 2000)

V tabuľke 1 sú zhrnuté výsledky pre základné charakteristiky a indikátory nerovnosti. V prvom stĺpci je výpočet prevedený pre pôvodné údaje, bez úpravy hodnôt. Ďalších šesť stĺpcov predstavuje výpočet pre dva spôsoby úpravy údajov s rôznymi hranicami.

Tak, ako sme očakávali, medián nie je ovplyvnený žiadnou úpravou údajov. Toto pozorovanie podporuje metodiku využívania mediánového príjmu pri určovaní hranice chudoby. Stredná hodnota je viac ovplyvnená, najnižšia hodnota priemerného príjmu je pre prípad, ak odsekneme z údajov 5 % hodnôt z oboch koncoch rozdelenia. Ak údaje z oboch koncov rozdelenia neodsekneme, ale iba nahradíme príslušnými percentilmi, stredná hodnota sa zmení (zníži sa), ale zmena nie je taká výrazná ako pri prvej metóde. Podiel percentilov je pri metóde „winsorizing“ nezmenený, čo je pochopiteľné, keďže sme použili hranicu maximálne 5 %, pri ktorej sa uvažované percentily a teda ani ich podiel nezmenil. Iná situácia je už pri metóde „trimming“, kde sa podiel percentilov zmenil, nakoľko sa zmenil aj počet údajov.

Tab.6: Porovnanie pôvodných a upravených charakteristík príjmovej nerovnosti Pôvodné údaje Trimming Winsorizing 1% 2,5% 5% 1% 2,5% 5% Počet hodnôt 49 286 48 288 46 804 44 345 49 286 49 286 49 286 Stredná hodnota 7117,864 6966,141 6907,701 6842,970 7017,161 6980,367 6936,827 Medián 6546,722 6546,722 6546,722 6546,722 6546,722 6546,722 6546,722 P90/P10 3,005 2,879 2,704 2,446 3,005 3,005 3,005 P80/P20 1,942 1,902 1,865 1,784 1,942 1,942 1,942 Zdroj: Vlastné spracovanie na základe údajov EU SILC

Analýzu citlivosti na úpravu údajov o extrémne nízke a vysoké hodnoty sme urobili aj pre vybrané indexy, ktoré bežne používame na meranie príjmovej nerovnosti. Giniho koeficient sa úpravou údajov zmenil najmenej. Index vypočítaný z pôvodných údajov mal hodnotu na úrovni 24, 6 %. Po úprave údajov metódou „trimming“ sa hodnoty indexy znížili a pohybujú sa od 22,1 % po 18,4 %. To znamená, že ak vynecháme 5 % najnižších a 5 % najvyšších príjmov, príjmová nerovnosť bude na úrovni 18, 4 %. Pri úprave údajov metódou „winsorizing“ nie je zmena Giniho koeficientu taká výrazná. Hodnoty indexu sa pohybujú od 21, 4 % po 23,4%. Opäť, najnižšia hodnota Giniho koeficientu je v prípade, ak sa 5 %

najvyšších a 5 % najnižších hodnôt nahradí 95. resp. 5 percentilom. O Giniho koeficiente je známe ( pozri De Maio, 2007), že je najviac citlivý na zmenu príjmu v strede rozdelenia. Výraznejšia zmena po úprave údajov nastala pri Atkinsonovom indexe. Index vypočítaný z pôvodných údajov mal hodnotu 10,8 %, no po použití úpravy údajov metódou „trimming“ s hranicou 5 %, sa hodnota zmenšila o viac ako polovicu na 5, 2%. Najvýraznejšia zmena nastala po úprave údajov pri výpočete GE indexu. Index vypočítaný zo všetkých hodnôt je 11, 2 %. Ak odsekneme 5 % hodnôt na oboch koncoch rozdelenia, hodnota indexu je iba 5,2 %. Pri nahradení týchto hodnôt v metóde „winsorizing“ je hodnota indexu 7,2 %. Týmto sa nám potvrdilo to, čo pozorovali aj iní autori.

Tab.2: Porovnanie pôvodných a upravených indexov na meranie príjmovej nerovnosti

Koeficient Pôvodné údaje Trimming Winsorizing

5% 2,5% 1% 5% 2,5% 1%

Giniho 0,246 0,184 0,204 0,221 0,214 0,227 0,234

Atkinsonov 0,108 0,052 0,066 0,080 0,072 0,083 0,092

GE index 0,112 0,052 0,066 0,079 0,072 0,082 0,090 Zdroj: Vlastné spracovanie na základe údajov EU SILC

3.Záver

Veľmi vysoké ako aj veľmi nízke príjmy predstavujú určitú kontamináciu údajov. Nájsť vhodnú metódu, ako na extrémne hodnoty v analýze prihliadať je veľmi zložité. Napriek tomu, je nutné kontrolovať vplyv týchto hodnôt s cieľom zlepšiť porovnateľnosť výsledkov z rôznych krajín. Metód na úpravu údajov existuje niekoľko, my sme v príspevku popísali dve základné metódy nazývané „trimming“ a „winsorizing“. Tieto metódy nie sú v podmienkach SR veľmi známe o čom svedčí aj fakt, že zatiaľ nemajú slovenský ekvivalent.

V príspevku sme sa venovali analýze indikátorov nerovnosti v prípade prítomnosti extrémnych príjmov. Táto situácia je pri analýze príjmov domácnosti častá, keďže príjmové rozdelenie je pravostranne zošikmené s extrémnymi hodnotami najmä na pravom konci rozdelenia. Ako zdroj údajov sme použili databázu EU SILC. Ukázali sme, že najmä indexy príjmovej nerovnosti, Giniho, Atkinsonov a GE index sú citlivé na akúkoľvek zmenu, či úpravu údajov. Najmenej ovplyvnený úpravou údajov je pritom Giniho index a naopak najviac ovplynený je GE (Generalized Entropy) index, čo potvrdzuje aj zistenia iných autorov. Možným riešením tohto problému by bolo napríklad samostatné modelovanie chvostov rozdelenia. Ďalším námetom je aj štúdium robustných metód a odhad parametrov rozdelenia pomocou tzv. OBRE (optional B-robust estimator) algoritmu, ktorý je popísaný v prácach autorov Victoria- Feser, 1996 a Victoria-Feser, 2000.

Príspevok bol vytvorený s podporou vedeckovýskumných projektov VEGA1/0127/11 Priestorová distribúcia chudoby v Európskej únii a VEGA1/0344/14 Matematické a štatistické metódy v ekonomickom rozhodovaní.

Literatúra

COWELL F.A. 2000. Measurement of Inequality. In Atkinson A.B., Bourguignon F. (Eds.) Handbook of Income Distribution . Amsterdam, Elsevier, Vol. 1, pp. 87-166.

R DEVELOPMENT CORE TEAM. 2012. R: A language and environment for statistical computing. Viedeň: R Foundation for Statistical Computing. ISBN 3-900051-07-0. URL http://www.R-project.org/.

De MAIO, F.G. 2007. Income Ineaquality Measures, J Epidemiol Community Health. 2007 October; 61(10): 849–852.

EUROSTAT. 2006, ‘Some proposals on the treatment of negative incomes’, EU-SILC Documents TFMC-15/06, European Commission, Eurostat.

EUROSTAT. 2007, An examination of outliers at upper end of income distribution. Report N. ISRI.12, Project EU-SILC (Community statistics on income and living conditions) 2005/S 116-114302 – Lot 1 (Methodological studies to estimate the impact on comparability of the national methods used).

Van KERN, P. 2006. Extreme incomes and the estimation of poverty and inequality indicators from EU-SILC.

VICTORIA-FESER, M.P. AND ALAIZ M.P. 1996. Modelling Income Distribution in Spain: A Robust Parametric Approach. DARP Discussion Paper 20, London School of Economics VICTORIA-FESER, M.P. 2000. Robust methods for the analysis of income distribution, inequality and poverty. International Statistical Review 68 (3), 277-293

STANKOVIČOVÁ, I. 2009. Analýza monetárnej chudoby v domácnostiach Českej republiky, In: Forum Statisticum Slovacum, č.7, 2009, s. 151-156

ŠÚ SR. (2011). Zisťovanie o príjmoch a životných podmienkach EU SILC 2010 (UDB_31/08/11). [databáza s mikroúdajmi]. Bratislava: Štatistický úrad SR.

Adresa autorov:

RNDr. Ivan Mojsej, PhD. Ústav matematických vied Jesenná 5, 040 01 Košice [email protected]

Mgr. Alena Tartaľová, PhD. Katedra aplikovanej matematiky a hospodárskej informatiky Nemcovej 32, 040 01 Košice [email protected]

Aplikace modifikované metody CPM v rámci logistického řetězce